Теорема о существовании и единственности (Теорема Коши)

 

 

Реферат

на тему:

Теорема о существовании и единственности

(Теорема Коши)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: Айманбетова Э. А.

                                                                                                      Проверил: Алдибеков Т. М.

Дифференциальные  уравнения первого порядка.

 

 Определение. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких аргументов, причем в уравнение входят не только сами функции, но и их производные. Если рассматривать функции одного независимого аргумента, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется

максимальный  порядок входящих в уравнение производных или

 дифференциалов  от неизвестных функций.

Если  уравнение содержит производные  первого порядка, то его общий вид 

      ,                                  (1)

x-независимая переменная

y-неизвестная функция

F-некоторая заданная функция от трех переменных

       Функция F может быть определена не во всей области значений её аргумента, а в некоторой области B, которая называется областью задания F.

         Решением уравнения (1) называется  такая функция , которая определена на интервале (возможны случаи  и ), что при подстановке данной функции в (1) мы получаем тождество на всем интервале.

Определение. Интервал (a,b)-называется интервалом определения решения и обозначается .

Подставляя решение  в (1) мы предполагаем, что на интервале решение имеет первую производную (то - есть, непрерывна), кроме того, необходимо чтобы выполнялось условие: точка с координатами .

Определение.  Решение или интеграл дифференциального уравнения, содержащее число произвольных постоянных равное порядку дифференциального уравнения называется общим решением дифференциального уравнения и имеет вид , где С - любые постоянные. Выбрав некоторое частное значение С, мы получаем частное решение.

Решение дифференциального  уравнения можно полагать найденным, если оно представлено в виде выражения содержащего квадратуры, т.е. неопределенные интегралы, для которых ответ может быть получен в элементарных функциях или если решение вычислено приближенно.

Решение всегда может быть проверено подстановкой в дифференциальное уравнение.

 

                    Дифференциальные уравнения первого

            порядка, разрешенные относительно производной

 

В этом случае дифференциальное уравнение определяет переменную как однозначную неявную функцию переменных . То есть

                                                или

                                        .       (2)

Если  , то . Константу С можно определить, если известно  значение , тогда .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрическое представление

                          

  Пусть дана плоскость XOY и функция , определяющая  дифференциальное уравнение (2).

Функция может быть  определена не на всей плоскости,  а лишь в точках некоторого множества . Будем полагать, что - открытое множество. Пусть функция и её частная производная -  непрерывные функции аргументов и на  . Решение уравнения (2)   в плоскости XOY  представлено в виде кривой. Эта кривая в каждой точке  имеет касательную  и полностью принадлежит .Такая кривая называется интегральной кривой дифференциального уравнения (2).

Уравнение (2) устанавливает зависимость между  координатами точки и угловым  коэффициентом касательной к графику решения в этой точке. То есть, зная  , можно вычислить , а, значит,  дифференциальное уравнение (2) определяет поле направлений (некоторое векторное поле).

Задачей интегрирования дифференциального  уравнения является нахождение интегральных кривых, направления касательных к которым в каждой точке совпадают с направлением поля.         

      

Пример.

Дано дифференциальное уравнение  или . В каждой точке, отличной от точки (0,0),  угловой коэффициент касательной к искомой интегральной кривой равен отношению ,то есть он совпадает с угловым коэффициентом прямой, направленной из начала координат в точку . Очевидно, интегральными кривыми в этом случае будут прямые , так как направление этих кривых всюду совпадает с направлением поля.

 

                    Теорема о существовании и единственности. (Теорема Коши)

Так как дифференциальное уравнения  имеет бесконечное множество решений, то речь идет не о числе решений, а о том, как можно описать совокупность всех решений данного дифференциального уравнения.

Теорема. Пусть          (1)

дифференциальное уравнение. Будем  предполагать, что  задана на некотором открытом множестве , которое принадлежит плоскости (декартовых координат). Предположим, что и непрерывны на . Тогда:

1. Для любой точки найдется решение уравнения (1), которое удовлетворяет условию       (2)
2. Если два решения уравнения (1) совпадают хотя бы в одной точке , то решение и будут тождественно равны для всех значений переменной , для которых они определены.

 

Определение. Числа называется начальными значениями для решения , а условие (2) называется начальными условиями.

Теорема утверждает, что координаты могут быть начальными значениями для некоторого решения уравнения (1). Два решения с общими начальными условиями совпадают.

Геометрическая интерпретация.

Через некоторую точку Г проходит только одна интегральная кривая. Решением (1) обычно называется некоторая функция , заданная на некотором определенном интервале . Наряду с этой функцией может быть определена функция , которая также является решением,  но она задана на другом интервале .  Второй пункт утверждает, что совпадают на интервале, на котором они обе определены. Если полностью содержит , то решение , заданное на  это есть продолжение решения . Поэтому если подразумевать под интегральной кривой график непродолжаемого решения, то утверждение о том, что через каждую точку проходит единственная кривая становится точным.

Доказательство:

1. Переход от дифференциального уравнения к интегральному.

    а) Пусть  некоторое решение (1) определенное на ,тогда выполняется тождество:

                                                                                                   (*)

 при этом пусть:  . Проинтегрировав (*), получим: .                                                 (3)

 Продифференцировав соотношение  (3) по x, получаем (*) , то есть интегральное уравнение (3)  эквивалентно дифференциальному уравнению (*) с соответствующими начальными условиями.

б) Пусть  непрерывная функция, определенная на . Причем график этой функции целиком расположен в открытом множестве Г. Точка ,тогда воспользуемся правой частью тождества (3) и поставим в соответствие некоторую функцию , которая также определена на и                                                (4)

 График  в общем случае может и не принадлежать открытому множеству Г. Такая запись позволяет рассматривать правую часть (4) как оператор, который ставит в соответствие , то есть

      .                                               (5)

 Рассмотрим интегральное уравнение  (3) и перепишем его в виде

  .                                                                                                        (6)

в) Последовательность непрерывных  функций 

                                                                        , (7)

заданных на отрезке будет сходиться равномерно, если

                                                                                         ,             (8)

причем  -сходящийся ряд .

 

Сущность метода последовательных приближений (метод Пикара).

Строится последовательность функций  , все эти функции непрерывны и определены на , точка . Каждая функция (7) определяется через предыдущую

,  i=0,1,…                     (9)

Если график функции  , то функция определяется по  формуле (9) .  Для того чтобы могла быть определена функция нужно чтобы график функции . Это требование можно выполнить, выбрав достаточно малым. За счет уменьшения длины можно добиться того, чтобы для последовательности (7) выполнялось  соотношение:

, где  .                                                             (10)

Тогда , то есть функциональная последовательность (7) будет равномерно сходиться, и её предел будет удовлетворять соотношению (5).

Метод сжатых отображений

Выберем некоторое семейство функций  , заданных на , причем . И график функции из принадлежит множеству Г. Пусть в отношении оператора А семейство удовлетворяет условиям:

1.Применяя  оператор А к любой функции из семейства , мы получаем функцию из .

2.Существует  число  , что для любых двух функций из семейства выполняется: . В этом случае оператор А будет сжатием. Если  для выполняется условие 1 и 2, то исходя из некоторой функций , мы можем получить бесконечную последовательность функций (7) с помощью формулы  (9). Эти функции удовлетворяют всем условиям и сходятся к решению    уравнения .    

Доказательство существования решения

Пусть задано открытое множество Г  и  .  Выберем в Г прямоугольник П с центром в точке . Сторона прямоугольника 2а. Это означает, что точки принадлежащие П, будут удовлетворять условию .            (11)

П- замкнутое множество, содержащиеся в Г, и непрерывные функции ограничены на П: 

.                     (12)

Рассмотрим в П более узкий прямоугольник (13)

 

Обозначим семейство функций непрерывных и заданных на . При этом графики функций принадлежат , то есть функции определенные на этом отрезке, будут принадлежать  , если

.                                                                        (14)

Выберем  r таким образом, чтобы выполнялись условия:

1. Если функция принадлежит , то и .

         2.  Найдется такое число , что для любых функций .                        (15)

Для того  чтобы функция  , необходимо и достаточно, чтобы для неё выполнялось условие (14). Воспользовавшись соотношением (4) и (14), получим: , то есть  при

                                                                                                                   (16)

 функция  и условие 1 выполнено.

Рассмотрим две любые функции, принадлежащие  :

тогда

Воспользовавшись теоремой о среднем,  получим:

,

 - точка, в которой достигается  максимум разности  . Тогда:

 

, если  , то функции будут удовлетворять условию 2. Так как , то

.                                                                              (17)

Если число  удовлетворяет условиям (13),(16) и (17) , то для семейства непрерывных функций будут выполнены условия  1,2.

В дальнейшем будем предполагать, что при выборе числа r условия (13),(16) и (17) выполнены.

Построим последовательность ,

При этом

,                                                                                                                 (18)