Графы. Теорема Эйлера

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ  УО «Витебский государственный университет им. П.М. Машерова»

Курсовая работа  ГРАФЫ. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА

Студент _______________   А.О. Панов подпись, дата Руководитель                                     _______________        М. Н. Подоксенов подпись, дата

Витебск, 2013

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение

1. Теоретическая часть
1. Основные понятия теории графов
2. Матричное представление графов
3. Операции над графами
4. Маршруты, цепи, циклы
5. Расстояния в графах. Диаметр, радиус, центр графа
6. Нагруженные графы. Определение кратчайших маршрутов
2. Эйлеровы графы
3. Теорема Эйлера
4. Практическая часть

Заключение

Литература

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Исторически сложилось так, что теория графов зародилась двести с лишним лет назад именно в ходе решения головоломок. Очень долго она находилась в стороне от главных направлений исследований ученых, была в царстве математики на положении Золушки, чьи дарования раскрылись в полной мере лишь тогда, когда она оказалась в центре общего внимания.

Первая работа по теории графов, принадлежащая известному швейцарскому математику Л. Эйлеру, появилась в 1736 г. Толчок к развитию теория графов получила на рубеже ХIX и ХХ столетий, когда резко возросло число работ в области топологии и комбинаторики, с которыми ее связывают самые тесные узы родства. Графы стали использоваться при построении схем электрических цепей и молекулярных схем. Как отдельная математическая дисциплина теория графов была впервые представлена в работе венгерского математика Кенига в 30-е годы ХХ столетия.

В настоящее время эта теория находит многочисленное применение в разнообразных практических вопросах: при установлении разного рода соответствий, при решении транспортных задач, задач о потоках в сети нефтепроводов, в программировании и теории игр, теории передачи сообщений. Теория графов теперь применяется и в таких областях, как экономика, психология и биология.

В этой работе мы подробнее рассмотрим эйлеровы графы, основные сведения и теоремы, связанные с этим понятием. А также задачи, которые решаются с помощью эйлеровых графов.

 

1. ТЕОРИЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Основные понятия теории графов

Граф G – пара (V,X), где V конечное непустое множество,  содержащее  p вершин, а множество Х содержит q неупорядоченных пар различных вершин из V.

Каждую пару X={u,v} вершин в Х называют ребром графа G и говорят, что Х соединяет u и v.Мы будем писать X=uv и говорить, что u и v – смежные вершины. Вершина u и ребро Х инцидентны, так же как v и Х. Если два различных ребра X и Y инцидентны одной и той же вершине, то они называются смежными. Граф с р вершинами и q ребрами называется (p;q)- графом. Граф (1,0)- называется тривиальным.

Если элементом множества V может быть пара одинаковых элементов u, то такой элемент множества V называется петлёй.

Типы графов:

• Мультиграф, в нём не допускаются петли, но пары вершин могут соединяться более чем одним ребром, эти рёбра называются кратными (рис.1).
• Псевдограф, в нём допускаются петли и кратные рёбра (рис.2).

 

 

                               

           

 

Рис.1                                  Рис.2

• Ориентированный граф, или орграф, состоит из конечного непустого множества V вершин и заданного набора Х упорядоченных пар различных вершин. Элементы из Х называются ориентированными рёбрами, или дугами. Нет петель и кратных дуг (рис. 3).

 

 

 

• Направленный граф – это орграф, не имеющий симметричных пар ориентированных рёбер (рис.4).
• Помеченные графы (или перенумерованные), если его вершины отличаются одна от другой какими-либо пометками. В качестве пометок обычно используются буквы или целые числа.

Степенью вершины vi  в графе G называется число рёбер, инцидентных vi ,обозначается di. Для орграфа вводятся понятия степени входа и выхода. Степенью выхода вершины v называется количество рёбер, для которых v является начальной вершиной, обозначается outdeg(v). Степенью входа вершины v называется количество рёбер , для которых v является конечной вершиной, обозначается indeg(v). Если indeg(v)=0, то вершина v называется источником. Если outdeg(v)=0, то вершина v называется стоком.

1.2 Матричное представление графов

Пусть G –помеченный граф порядка n, VG={1, 2, ... , n}. Определим бинарную n×n-матрицу A=A(G), положив

A(G) называется матрицей смежности графа G. Это симметричная матрица с нулями на диагонали. Число единиц в строке равно степени соответствующей вершины.

Очевидно, что соответствие G→A(G) определяет биекцию множества помеченных графов порядка n на множество бинарных симметричных n×n-матриц с нулевой диагональю.

Аналогично определяются матрицы смежности A мульти- и псевдографов: ik равно числу ребер, соединяющих вершины i и k (при этом петля означает два ребра).

Также определяется матрица смежности A(G) ориентированного графа.

Очевидно, что если A(G)– матрица смежности орграфа G порядка n, то

т.е. число единиц в i-й строке матрицы A(G) равно полустепени исхода i-й вершины, а число единиц в k-м столбце равно полустепени захода k-й вершины.

Теорема. Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы смежности получаются друг из друга одинаковыми перестановками строк и столбцов.

Теорема верна также для мультиграфов, псевдографов и орграфов.

Пусть G –(n, m)-граф, VG={1, 2, ... , n} EG={e1, e2,... , em}. Определим бинарную n×m-матрицу I=I(G) условиями

Матрица I называется матрицей инцидентности графа G. В каждом ее столбце ровно две единицы, равных столбцов нет. Как и выше, соответствие G→I(G) является биекцией множества помеченных (n, m)-графов с занумерованными ребрами на множество n×m-матриц, удовлетворяющих описанным условиям.

Матрица инцидентности I для орграфа:

Теорема. Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы инцидентности получаются друг из друга произвольными перестановками строк и столбцов.

Теорема верна также для мульти графов, псевдо графов и орграфов.

Свойства матриц смежности и инцидентности:

1) Сумма элементов матрицы  A(G), где G=(V, E)– мульти граф, V={v1, v2, ..., vn}, по i-йстроке (или по i-му столбцу) равна δ(vi). 2) Сумма элементов матрицы A(G), где G=(V, E)– ориентированный псевдо граф,

V={v1, v2, ... , vn}, по i-й строке и по i-му столбцу соответственно равны δ(vi), δ(vi).

3) Пусть G– ориентированный мульти граф с непустым множеством дуг. Тогда: а) сумма строк матрицы I(G) является нулевой строкой; б) любая строка матрицы I(G) является линейной комбинацией остальных строк; в) ранг матрицы I(G) не превосходит n–1; г) для любого контура матрицы G сумма столбцов матрицы I(G), соответствующих дугам, входящим в этот контур, равна нулевому столбцу.

4) Пусть G– мульти граф с непустым множеством ребер. Тогда при покоординатном сложении по модулю 2: а) сумма строк матрицы I(G) является нулевой строкой; б) любая строка матрицы I(G) является суммой остальных строк; в) для любого цикла в G сумма столбцов матрицы I(G), соответствующих реб-рам, входящим в этот цикл, равна нулевому столбцу.

1.3 Операции  над графами

Граф H называется подграфом графа G, если VH VG, EH EG. Если H – под-граф графа G, то говорят, что H содержится в G. Подграф называется собственным, если он отличен от самого графа.

Подграф H называется остовным подграфом графа G, если VH =VG.

Если множество вершин подграфа H есть U, а множество его ребер совпадает с множеством всех ребер графа G, оба конца которых принадлежат U, то H называется подграфом, порожденным множеством вершин U, и обозначается G(U).

Если множество ребер подграфа H есть E' EG, а множество его вершин совпадает с множеством всех концов ребер из E' вершин графа G, то подграф H называется подграфом, порожденным множеством ребер E' и обозначается G(E').

Пусть v – вершина графа G. Тогда операцию построения графа H=G–v называют удалением вершины v. Построенный в результате этой операции граф H содержит все ребра множества ЕG кроме инцидентных вершине v, а VH =VG\{v}.

Пусть e – ребро графа G. Тогда операцию построения графа H=G–e называют удалением ребра e. Построенный в результате этой операции граф H содержит все вершины графа G, а EH =EG\{e}.

Удаление вершины или ребра, а также переход к подграфу – это операции, с помощью которых можно из имеющегося графа получать другие графы с мень-шим числом элементов.

Рассмотрим теперь операции, позволяющие получать из имеющихся графов графы с большим числом элементов.

Если вершины u и v графа G=(VG, EG) не смежны, то говорят, что граф H=(VH, EH) получен из графа G добавлением ребра e={u, v}, если VH =VG и EH = EG{e}, то пишут H=G+e.

Граф H называется объединением (или наложением) графов F и G, если H =VF∩VG и EH =EF∩EG. В этой ситуации пишут H=F∩G. Объединение F∩G называется дизъюнктивным, если VF ∩ VG =∅. Аналогично определяются объединение и дизъюнктивное объединение любого множества графов, причем в последнем случае никакие два из объединяемых графов не должны иметь общих вершин.

Пусть G1=(V1, E1) и G2=(V2, E2). Тогда произведением графов (обозначается G1×G2) называется такой граф G, для которого VG =V1×V2– декартово произведе-ние множеств вершин исходных графов, а EG определяется следующим образом: вершины (u1, u2) и (v1, v2) смежны в графе G тогда и только тогда, когда u1=v1, а u2 и v2 смежны в G2, или u2=v2, а u1 и v1 смежны в G1

1.4 Маршруты, цепи, циклы

Чередующаяся последовательность v1, e1, v2, e2, ... , en, vn+1 вершин и ребер графа такая, что ei =vivi+1 (i=1, n ), называется маршрутом, соединяющим вершины 1 и vn+1 (или (v1vn+1)-маршрутом). Очевидно, что для задания маршрута в графе достаточно задать последовательность v1, v2, ..., vn+1. его вершин, либо последовательность e1, e2,... , en его ребер.

Вершина v называется достижимой из вершины u, если существует (u, v)-маршрут. Любая вершина считается достижимой из себя самой.

Маршрут называется цепью, если все его ребра различны, и простой цепью, если все его вершины, кроме, возможно, крайних, различны. Маршрут (1) называется циклическим, если v1=vn+1. Циклическая цепь называется циклом, а циклическая простая цепь – простым циклом. Число ребер в маршруте называется его длиной. Цикл длины 3 часто называют треугольником. Длина всякого цикла не менее трех, если речь идет о простом графе, поскольку в таком графе нет петель и кратных ребер. Минимальная из длин циклов графа называется его обхватом.

Свойства маршрутов, цепей и циклов:

1) Всякий незамкнутый (u, v)-маршрут, содержит в себе простую (u, v)-цепь. В частности, любая (u, v)-цепь, содержит в себе простую (u, v)-цепь. Причем, если (u, v)-маршрут содержит в себе вершину w (w≠u и w≠v), то в общем случае, простая (u, v)-цепь может не содержать в себе вершину w.

2) Всякий непростой цикл  можно разбить на два или  более простых. Причем для замкнутого  маршрута такое утверждение не  верно.

3) Всякая непростая (u, v)-цепь, может быть разбита на простую (u, v)-цепь и один или более простых циклов. Причем для незамкнутого маршрута такое утверждение не верно.

4) Для любых трех вершин  u, w, v из существования (u, w)-цепи их и (w, v)-цепи, следует существование (u, v)-цепи. Причем может не существовать (u, v)-цепи, содержащей вершину w.

5) Объединение двух несовпадающих  простых (u, v)-цепей содержит простой цикл. 6) Если граф содержит 2 несовпадающих цикла с общим ребром e, то после удаления этого ребра граф по-прежнему содержит цикл.

Если два графа изоморфны:

1) то они одного порядка;

2) у них одинаковое  количество ребер;

3) для произвольного i,0≤i≤n–1, (n – порядок графов) количество вершин степени i, у обоих графов одинаковое;

4) у них совпадают обхваты;

5) у них одинаковое  количество простых циклов минимальной  длины (по количеству ребер).

Граф называется связным, если любые две его несовпадающие вершины соединены маршрутом. Очевидно, что для связности графа необходимо и достаточно, чтобы в нем для какой-либо фиксированной вершины u и каждой другой вершины v существовал (u, v)-маршрут.

Теорема. Граф G=(V,E) связен тогда и только тогда, когда множество его вершин нельзя разбить на два непустых подмножества V1 и V2 так, чтобы обе граничные точки каждого ребра находились в одном и том же множестве.

Всякий максимальный связный подграф графа G называется связной компонентой (или компонентой) графа G. Слово "максимальный" означает максимальный относительно включения, т.е. не содержащийся в связном подграфе с большим числом элементов. Множество вершин связной компоненты называется областью связности.