Графы. Теорема Эйлера

Для ориентированного графа вводится понятие ориентированного маршр-та – это последовательность вида (1), в которой ei=(vi,vi+1). Аналогом цепи в этой ситуации служить путь (ориентированная цепь). Аналогом цикла служит контур (ориентированный цикл).

Орграф называется сильносвязным, если любые две его вершины достижимы друг из друга. Орграф называется одностороннесвязным, если для любой пары его вершин по меньшей мере одна достижима из другой. Орграф называется сла-босвязным, если любые две вершины его основания соединены маршрутом. Орг-раф называется несвязным, если его основание несвязный псевдограф.

Теорема. Орграф является сильносвязным тогда и только тогда, когда в нем есть остовной циклический маршрут.

Необходимость. Пусть G – сильносвязный орграф и T=(v0, x1, v1,..., xn, v0) – его циклический маршрут, проходящий через максимально возможное число вершин. Если этот маршрут не является остовным, то возьмем вне его вершину v. Так как G – сильносвязный орграф, то существуют маршруты T1=(v0, y1, ..., v), T2=(v, z1, ..., v0). Но тогда циклический маршрут T’=(v0, x1, v1, ..., xn, v0, y1, ..., v, z1, ..., v0) содержит большее число вершин, чем T, что противоречит выбору маршру-та T. Следовательно, T – остовной маршрут.

Достаточность. Пусть u и v – две произвольные вершины орграфа G, а T=(v0, x, ..., v, y, ..., u, z, ..., v0) – циклический маршрут. Тогда u достижима из v спомо-щью маршрута (v, y, ..., u)– части маршрута T,– а v из u – с помощью маршрута (u, z,..., v0, x, ..., v).3

Теорема. Орграф является одностороннесвязным тогда и только тогда, когда в нем есть остовной маршрут.

Теорема. Орграф является слабосвязным тогда и только тогда, когда в его основание есть связный псевдограф.

Сильносвязной компонентой орграфа называется его максимальный относительно включения сильносвязный подграф.

1.5 Расстояния в графах. Диаметр, радиус, центр графа

Пусть G = <V, U> - связный неорграф, Vi, Vj – две его несовпадающие вершины.

Длина кратчайшего (Vi, Vj)-маршрута называется расстоянием между вершинами Vi и Vj и обозначается через ρ (Vi, Vj).

Положим ρ (Vi, Vj) = 0. Очевидно, что введенное таким образом расстояние удовлетворяет следующим аксиомам метрики:

1) ρ (Vi, Vj) ≥ 0;

2) ρ (Vi, Vj) = 0 ↔ Vi = Vj

3) ρ (Vi, Vj) = ρ (Vi, Vj) – симметричность

4) ρ (Vi, Vj) ≤ ρ (Vi, Vj) + ρ (Vj, Vк) – неравенство треугольника.

Если V = {V1, V2,…, Vn}, то матрица Р = (рi,j) = ρ (Vi, Vj), называется матрицей расстояний (где матрица Р симметрична).

Для фиксированной вершины V величина Е (v) = мах { ρ (Vi, Vj) | Vj є V} называется эксцентриситетом вершины V. Таким образом, эксцентриситет вершины равен расстоянию от данной вершины до наиболее удаленной от нее.

Если Р-матрица расстояний, то эксцентриситет Е (Vi) равен наибольшему из числе, стоящих в i-й строке.

Максимальный среди всех эксцентриситетов вершин называется диаметром графа G и обозначается через d (G) : d (G) = vf[ {E(v) | v є V}. Вершина V называется периферийной, если Е (v) = d (G).

Минимальный из эксцентриситетов графа G называется его радиусом и обозначается через r (G) : r (G) = min {E (vi) | vi є V}.

Вершина V называется центральной, если Е (v) = r (G).

Множество всех центральных вершин графа называется его центром.

Задача нахождения центральных вершин возникает в практической деятельности людей. Пусть, например, граф представляет собой сеть дорог, т.е. вершины соответствуют населенным пунктам, а ребра – дорогам между ними. Требуется оптимально разместить больницы, пункты обслуживания и т.п. В подобных ситуациях оптимизация заключается в минимизации расстояния от места обслуживания до наиболее удаленного населенного пункта. Следовательно, местами размещения должны быть центральные вершины графа. Реальные задачи отличаются от этой идеальной темы, что приходится учитывать и другие обстоятельства – расстояния между населенными пунктами, стоимость, время проезда и т.д.

Расстоянием d (Vi, Vj) между вершинами Vi и Vj графа G называют длину кратчайшего пути, их соединяющего. (Если граф G-дерево, то путь соединяющий вершины Vi и Vj, единственный).

Наибольшее из таких чисел называют диаметром графа, наименьшее – радиусом графа.

По тем или иным причинам почти все работы по теории графов таят в себе семена возможных практических применений или по крайней мере потенциально полезны.

Графы эффективно используются в теории планирования и управления, теории расписаний, социологии, экономике, биологии, медицине, в областях прикладной математики.

1.6 Нагруженные графы. Определение кратчайших маршрутов

Пусть G = <V,U>- взвешенный граф, имеющий n вершин и матрицу весов W = (wij), wij € R, где вес каждой дуги (Vi, Vj) есть некоторое вещественное число μ(Vi, Vj).

Весом маршрута V1, V2, Vn, Vn+1 называется число μ.

Взвешенным расстоянием (w-расстоянием) ρω(Vi,Vj) между вершинами Vi и Vj называется минимальный из весов Vi,Vj маршрутов.

(Vi,Vj) – маршрут, вес которого равен расстоянию ρω(Vi,Vj) , называется кратчайшим (Vi,Vj) – маршрутом во взвешенном графе G.

Взвешенным эксцентриситетом Eω(Vi) вершины Vi называется число max{ ρω(Vi,Vj)│Vj €V}

Взвешенной центральной вершиной графа G, называется вершина Vj , для которой Eω(Vi)=min{ Eω(Vi)│Vj €V}

Взвешенным эксцентриситет центральной вершины называется радиусом графа G и обозначается через rw(G).

5.   Эйлеровы графы

Исторически топология и теория графов зародились при решении Эйлером задачи о Кенигсбергских мостах. Ее решение мы рассмотрим ниже. В результате решения этой задачи появился еще один вид графов - эйлеровы графы. Эйлеровым путем в графе называется путь, содержащий все ребра графа (т.е. проходящий по каждому ребру ровно по одному разу, но не обязательно замкнутый). Эйлеровым циклом в графе называется цикл, содержащий все ребра графа (т.е. это замкнутый эйлеров путь). Граф, обладающий эйлеровым циклом, называется эйлеровым графом. Интересные факты: В связном графе G существует эйлеров путь тогда и только тогда, когда не более двух его вершин имеют нечетную степень. Граф G является эйлеровым тогда и только тогда, когда он связен и степени всех его вершин четны. Таким образом, замкнутую фигуру, в которой все вершины четные, можно начертить одним росчерком без повторений, начиная обводить ее с любой точки.

Рассмотрим теперь знаменитую задачу о Кенигсбергских мостах. Задача формулируется следующим образом. Мосты через реку Прегель расположены как на рисунке.

 

                                          

 

 

 

 

 

6. Теорема Эйлера.

Если многоугольник разбит на конечное число многоугольников так, что любые два многоугольника разбиения или не имеют общих точек, или имеют общие вершины, или имеют общие ребра, то имеет место равенство

 

В - Р + Г = 1, (*)

 

где В - общее число вершин, Р - общее число ребер, Г - число многоугольников (граней).

 

Доказательство. Докажем, что равенство (*) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике данного разбиения провести диагональ (рис. 2, а).

Действительно, после проведения такой диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р+1 ребер и количество многоугольников увеличится на единицу. Следовательно, имеем

 

В - (Р + 1) + (Г+1) = В – Р + Г.

 

Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие входящие многоугольники на треугольники, и для полученного разбиения покажем выполнимость соотношения (*) (рис. 2, б). Для этого будем последовательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников. При этом возможны два случая:

 

а) для удаления треугольника ABC требуется снять два ребра, в нашем случае AB и BC;

 

б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае MN.

 

В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае после  удаления треугольника граф будет состоять из В-1 вершин, Р-2 ребер и Г-1 многоугольника:

 

(В - 1) - (Р + 2) + (Г -1) = В – Р + Г.

 

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенства (*). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника. Для такого разбиения В = 3, Р = 3, Г = 1 и, следовательно, B - Р + Г= 1. Значит, равенство (*) имеет место и для исходного разбиения, откуда окончательно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо соотношение (*).

 

Заметим, что соотношение Эйлера не зависит от формы многоугольников. Многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать или даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Соотношение Эйлера при этом не изменится.

4. Практическая часть
1. Существует ли эйлеров цикл в графе G. Если существует, найдите его.[2]

 

 

 

 

 

 

                     

 

 

 

 

 

                 Решение:

    А) Так как каждая вершина  имеет чётную степень, то по  критерию в этом графе существует  эйлеров цикл: 1,4,6,9,10,8,5,3,2,4,7,10,11,8,6,5,2,1

    Б) В этом графе также  каждая вершина имеет чётную  степень, значит, существует и эйлеров цикл:  1,2,3,4,5,3,1,4,5,2,1

    В) Здесь каждая вершина  имеет степень 5, то есть нечётную, следовательно, в этом графе (по  критерию) нет эйлерова цикла.

2. Где на выставке следовало бы сделать вход и выход (рис.8) , чтобы можно было провести экскурсию по всем залам, побывав в каждом из них в точности один раз?[2]

 

 

 

 

 

                                                           Рис.8

Решение:

В этом графе вершины А и В имеют степень 3, то есть нечётную, следовательно, в нём существует эйлеров путь с началом в одной из этих вершин и концом в другой. Значит, вход и выход следует установить в вершинах А и В.

 

3. Среди приведённых ниже графов  найдите те, которые имеют эйлеров цикл.[1]

 

 

Решение:

а)  Т.к. этот граф связный и каждая его вершина имеет чётную степень, то по критерию эйлерова графа, данный граф имеет эйлеров цикл:

     a b e j i f c b d h j g f a c d e h g i a

б)  Этот граф связный, но т.к. все его вершины имеют  нечётную степень, то он не имеет эйлерова цикла.

в)  Этот граф связный, но т.к. все его вершины имеют степень 3, то есть нечётную, то он не имеет эйлерова цикла.

г)  Данный граф связный,  степени вершин а и с имеют нечётную степень, значит, этот граф не имеет эйлерова цикла.

 

4. Среди приведённых ниже графов  найдите те, которые имеют эйлеров цикл.[1]

 

Решение:

а)  Граф не является связным, то есть не выполняется первое условие критерия, значит, он не имеет эйлерова цикла.

б)  Этот граф является связным и все его вершины имеют чётную степень, значит, по критерию эйлерова графа, он имеет эйлеров цикл:

      a c f h I j k g d c b f I l j g e d a

в) Данный граф связный, но степени вершин а и е нечётные, следовательно по критерию, этот граф не имеет эйлерова цикла.

г)  Граф является связным, но так как все его вершины имеют нечётную степень, то граф не имеет эйлерова цикла.

 

5. Среди приведённых ниже графов  найдите те, которые имеют собственный  эйлеров путь.[1]

Решение:

а)  Граф связный, и только две его вершины (a и f) имеют нечётную степень, следовательно, то по теореме 3, граф имеет собственный эйлеров путь.

б)  Граф связный; deg(a)=3, deg(b)=3, deg(c)=3, то есть более двух вершин имеют нечётную степень, значит, не имеет эйлерова пути.

в)  Этот граф связный и только две вершины (с и j) имеют нечётную степень, значит, граф имеет собственный эйлеров путь.

г)  Граф связный; deg(a)=3, deg(b)=4, deg(c)=1, deg(d)=3, то есть более двух вершин имеют нечётную степень, следовательно, в этом графе нет эйлерова пути.

 

6. Среди приведённых ниже графов  найдите те, которые имеют собственный  эйлеров цикл.[1]

Решение:

а)  Данный граф связный; deg(a)=3, deg(b)=2, deg(c)=3, deg(d)=2, deg(e)=2. Ровно две вершины имеют нечётную степень, значит, по теореме 3, граф имеет собственный эйлеров путь.

б)  Граф является связным и ровно две его вершины (е и f) имеют нечётную степень, значит, данный граф имеет собственный эйлеров путь.

в)  Граф связный, найдём степени вершин: deg(d)=5, deg(b)=5, deg(e)=5, нашлись три вершины, степень которых нечётная, значит, граф не имеет эйлерова пути.

г)  Данный граф связный и только две его вершины (а и b) имеют нечётную степень, значит, этот граф имеет собственный эйлеров путь.

 

7. Какие из следующих ориентированных  графов имеют эйлеровы циклы? [1]

Решение:

а)  Граф связный, найдём степени входа и выхода вершин (по теореме 5 степени входа и выхода каждой вершины должны совпадать):

indeg(a)=2, outdeg(a)=1, то есть нашлась вершина, у которой не совпадают степени входа и выхода, значит, граф не имеет эйлерова цикла.

б)  Граф связный, найдём степени вершин:

            indeg(a)=2              outdeg(a)=2

            indeg(b)=2              outdeg(b)=2