Теорема Ляпунова

Теорема Ляпунова

 
Теорема Ляпунова — теорема в теории вероятностей, устанавливающая некоторые общие достаточные условия для сходимости распределения сумм независимых случайных величин к нормальному закону.

Часто приходится иметь  дело с такими случайными величинами, которые являются суммами большого числа независимых случайных величин. При некоторых весьма общих условиях оказывается, что эта сумма имеет распределение, близкое к нормальному, хотя каждое из слагаемых может не подчиняться нормальному закону распределения вероятностей. Эти условия были найдены Ляпуновым и составляют содержание теоремы, названной его именем.

Пусть с ξ₁,ξ₂,...,ξ_n,… последовательность попарно независимых случайных величин с математическими ожиданиями M(ξ_i) = α_i и дисперсиями D  , причём эти величины обладают следующими двумя свойствами:

1) Cуществует такое число L, что  для любого i имеет место неравенство  , т, е. все значения случайных величин, как говорят, равномерно ограничены, относительно математических ожиданий;

2) Сумма   неограниченно растёт при 

Тогда при достаточно большом n сумма ξ = ξ₁ + ξ₂ + ... + ξ_n имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть α и σ математическое ожидание и дисперсия случайной величины ξ = ξ₁ + ξ₂ + ... + ξ_n. Тогда

Где φ — интеграл вероятности.Ξερω/