Теорема о существовании и единственности (Теорема Коши)

. Поскольку ,то и все функции (7) будут принадлежать по условию 1.

Оценим 

В силу второго  пункта последовательность (7) равномерно сходится на отрезке  к некоторой непрерывной функции , и так как все ,то и . Покажем, что эта функция будет удовлетворять условию . Рассмотрим последовательность функций . Эта последовательность будет равномерно сходиться к некоторой функции . Переходя к пределу, получим, что выполняется условие (6). Таким образом, существование решения уравнения (1), удовлетворяющее условию (2), - доказано. При этом мы получили, что решение  определено на ,  где   r- любое число, удовлетворяющее условиям (13),(16),(17).

Доказательство единственности решения

Пусть и два решения (1) с общими начальными условиями . Этот интервал является пересечением  интервалов, на которых существуют данные решения. Точка - принадлежит данному интервалу. Покажем, что если эти решения совпадают в некоторой точке , то они будут совпадать и на интервале , где r достаточно малое положительное число. Будем считать , тогда точка с координатами может играть роль начального значения для функции . Поэтому, не нарушая общности, предположим, что совпадает с . Перейдем от дифференциальной постановки к интегральной:

.                                         (19)

Рассмотрим  прямоугольник с центром в  точке  . А затем более узкий прямоугольник . При этом будем считать, что r удовлетворяет (13),(16),(17). Этот значит, что функции удовлетворяют условию (14). Рассмотрим на отрезке  , на этом отрезке они принадлежат , тогда ,  а это возможно только когда .

           Покажем, что наши функции будут  совпадать на всём интервале.  Предположим, что   существует такая точка

, в которой функции не совпадают , (для определенности). Обозначим через множество всех точек отрезка , для которого . И покажем, что это множество замкнуто. Пусть дана последовательность . В силу непрерывности . То есть точка тоже принадлежит множеству . Обозначим через , так как - замкнуто, то должна лежать левее , но тогда, по доказанному выше, должны совпадать на и, следовательно, точка не может быть . Мы получили противоречие, которое и доказывает теорему.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Источник:

Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: «Наука», 1970.