Серия геометрических задач как средство выявление связей, способствующих достижению понимания материала курса планиметрии 7 класса

 

Парадоксальные  задачи

Периметр треугольника

 

Задание 43. На стороне AC треугольника ABC отметили точку E . Известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника ABE равен 15 см, а периметр треугольника BCE = 17 см. Найдите длину отрезка BE .

Провокационным данной задачи состоит  в том, что необходимо помнить, что  периметр не является величиной аддитивной. Для решения данной задачи необходимо помнить что нужно, чтобы найти периметр треугольника (знание мер сторон треугольника), в данной задаче парадоксальным может быть то, что не зная что такое периметр, можно подумать, что периметр большого треугольника равен сумме периметров треугольников его составляющих, т.е необходимо знать, что периметр не является величиной аддитивной. Ответ: 3,5 см.

Связь сходства и различия между периметром треугольника и периметром других фигур.

 

Признаки равенства  треугольников

 

Задание 44. Два отрезка  АЕ и ВС пересекаются в точке О, являющейся серединой каждого из них. Углы, образованные пересечением этих отрезков относятся друг к другу как 1:4. Докажите, что треугольники, образованные данными точками  и у которых есть вершина О, могут быть равны, а могут быть не равны.

Парадоксальность данной задачи заключается в том, что  как могут треугольники быть равны, а могут быть не равны. Все зависит от того какие треугольники мы рассматриваем. Для решения данной задачи, необходимо помнить, какие условия необходимы для применения первого признака равенства треугольников (необходимо равенство углов треугольника и равенство прилежащих к данному углу сторон), сколько углов образуется при пересечении двух отрезков (4угла), какие углы образуются при пересечении двух отрезков (вертикальные и смежные). Далее необходимо вспомнить свойства вертикальных и смежных углов.

Вопросы:

- Какие признаки равенства  треугольников вы знаете?

- Назовите свойства  смежных и вертикальных углов?

Родовидовая связь между понятиями «углы» и «смежные углы» и «вертикальные углы».

Связь сходства и различия между признаками равенства треугольников.

 

Медиана, биссектриса  и высота треугольника

 

Задание 45. Дан треугольник АВС, из вершины В опущена высота ВН. Длина стороны АС равна 5 см, что на 2 см меньше стороны АН. Найдите длину стороны СН.

-Для решения данной задачи  необходимо знать, что высота может быть опущена и на продолжение стороны. При решении данной задачи, учащиеся часто рассматривают только случай, когда высота опускается на сторону треугольника, и тогда задача получается некорректна, и забывают про случай, когда высота опускается на продолжение стороны треугольника, при этом задача имеет конкретное и единственное решение.

Вопросы:

- Всегда ли высота  треугольника лежит во внутренней  области треугольника?

Связь родовидовая между понятиями «отрезок» и «высота треугольника»

 

2.3 Апробация

 

С целью подтверждения  теоретических положений, изложенных в 1 главе, нами была проведена апробация  сконструированной серии задач.

Эксперимент осуществлялся  в МБОУ лицее-интернате №1 г. Иркутска (учащиеся  7 класса) на уроках геометрии. Исследование проводилось в 2011-2012 учебном году. В опытной проверке участвовало 28 учащихся 7 «А» и 23 учащихся 7 «Б».

Основной целью экспериментального исследования являлось:

• реализация разработанной серии задач, направленных на достижение понимания по средствам выделения связей между математическими понятиями на уроках геометрии в 7 классе.
• подтверждение гипотезы исследования.

Экспериментальное исследование осуществлялось в три этапа: констатирующий, обучающий, контрольный.

1)  Констатирующий  этап

Цель:

1)определение качества знаний и индивидуальных умений учащихся, необходимых для выделения связей

2) сравнение полученных  результатов, для определения  возможности проведения эксперимента

Изучение, анализ и обобщение  информации, представленной в психологической, педагогической литературе по проблеме достижения учащимися понимания учебного материала. Определение теоретических основ исследования, проблемы, формулировка рабочей гипотезы и задач исследования, составление плана проведения констатирующего эксперимента.

Констатирующий этап осуществлялся в два этапа. На первом этапе определялось качество знаний, на втором проводилось анкетирование для определения типов восприятия, уровень внимательности, умение определять связи между понятиями и определять существенные признаки.

Для проведения эксперимента в данных классах, нам кажется необходимым определить способности учащихся к изучению геометрии, данные способности мы решили оценить путем определения качества знаний учащихся. По результатам исследования рассчитан уровень знаний у обоих классов, которые приблизительно равны:

К_{7 «А»}=4,2     К_{7 «Б»}=4

В параграфе 1.4 мы рассматривали  причины непонимания и описали  классификацию данных причин. Согласно психологическим причинам, для достижения более высокого уровня понимания  необходима  сосредоточенность и внимательность учащихся к объекту понимания. Поэтому для проведения эксперимента в данных классах мы проверили уровень внимательности у учащихся, нам необходимо, чтобы эти уровни были приблизительно одинаковы, что позволило бы проводить эксперимент в данных классах.

Анализируя логические причины непонимания, которые гласят о том, что у учащихся должны быть сформированы логические операции, и анализируя связи, которые мы рассматриваем, мы определили следующие логические операции, которыми должны обладать учащиеся, это умения выделять признаки понятия (относится к родовидовым связям) и умения определять отношения между понятиями (относятся к связи «сходства-различия»). Этими умениями учащиеся также должны обладать на примерно одинаковом уровне.

Что касается дидактических  причин непонимания, то они говорят  о том, что фактором непонимания  являются неудачные формы объяснения учебного материала, а формы представления  материала напрямую зависят от типов  восприятия учащимися учебного материала. Поэтому для нашего исследования было важно проверить ведущие типы восприятия.

Тесты, проведенные нами, представлены ниже.

1) Методика оценки  внимания «Корректурная проба»

Инструкция: : по сигналу  «начали» в бланках надо на двух строчках вычеркнуть «в» и «н», а на третьей строчке вычеркнуть «к» и «д», затем опять на двух строчках вычеркнуть «в» и «н» и на одной строчке «к» и «д».

 Через каждую минуту  по сигналу «стоп» ученики  должны поставить вертикальную  черту у той буквы, у которой  их застал  сигнал. Общая продолжительность работы 3 минуты. Оценка результата: процент ошибок, вызванных переключением внимания = количеству строк, неправильно обработанных, деленное на общее количество просмотренных строк, умноженное на 100%. Низкий уровень – от 0% до 50%, средний- от 51% до 75%, высокий- от 76% до 100%.

Для диагностики предлагается 20 строк по 40 букв:

жофсяаывапролджшщнгекуапролбючсмитьбюъяйц

йцукепавыфпролджзшлбютфывапекуцйнгшщзхбютг

ролджэхзщшгнекуцфывапролджюбьтимсчяфывпрол

цкншзыарлжэбтмчфарлжэхщгеййцкншзэдраыясит

йуегщхзшнкцыфвподэъбтмчяситбюъэджлорпавыфц

юьисячмиьюъэждлорпавыфйцукенгшщзхфвподжбтм

комувсцычйфяепинртгоьшлбщдюзжэздбшотгринпм

цфуыяквчеаснпмгришотшльщлбздюхжйцфыячуквас

выфячсцукгнеорпьтишщзхждлюбьтимсчафывапрол

жцлорпавыфцукенгшщзхюбьтимсчаыукамепинртка

здбжющльшотгринпмеасквчуывчцфяаврполджнгка

пртимсавычфясуекнгшздбютьоргнепимасвкувсзф

зщхгшенукйцфывапролджеюбьтимсчайэяфцуэуквк

рпроолдлжэцуквыамспичвыямирптотольблджшпа

праогкнелвоасмтпсючвлдгнкраповлогнегцизмтш

кентгшщзхцуэвапролджюбиьтимсчфывапроцукепи

длорпавыцукенгшщзхюбьтимсчцычувскамепинртг

ждлорпавыфячсмитьбюъхзщшгнекуцйхжюздбщльшр

ячсмитьбюьэждлорпавыфйцукенгшщзхшотгринпмл

2) Способность выделять  существенное

Учащимся предлагается ряд слов, в котором пять слов даются в скобках, а одно перед ними. За 20 секунд следует исключить из скобок, т.е. выделить, 2 слова, которые являются наиболее существенными для слова перед скобками.

Сад (растение, садовник, собака, забор, земля)

Река (берег, рыба, тина, рыболов, вода)

Куб (углы, чертёж, сторона, камень, дерево)

Чтение (глаза, книга, картина, буквы, очки)

Игра (шахматы, игроки, правила, штрафы, наказания)

Лес (лист, яблоня, охотник, дерево, кустарник)

Город (автомобиль, здание, толпа, улица, велосипед)

Кольцо (диаметр, проба, округлость, печать, алмаз)

Пение (звон, голос, искусство, мелодия, аплодисменты)

Больница (сад, врач, помещение, радио, больные)

Любовь (розы, чувство, человек, город, природа)

Война (аэроплан, пушки, сражение, солдаты, ружья)

Низкий уровень- от 0 до 4, средний уровень- от 5 до 8, высокий уровень- от 9 до 12.

3) Анализ отношений  между понятиями (тест Аналогия)

Инструкция: даны три  слова, первые два находятся в  определенной связи. Между третьим  и одним из предложенных пяти слов существуют также отношения. Необходимо найти четвертое слово.

Например: песня –  композитор = самолет - ? а) аэродром, б) горючее, в) конструктор, г) летчик, д) истребитель

Ответ: конструктор. Функциональные отношения (композитор сочинил песню, а конструктор сделал самолет)

Задания:

1) школа – обучение = больница - ? а) доктор, б) ученик, в) лечение, г) учреждение, д) больной

2) песня – глухой = картина - ? а) слепой, б) художник, в) рисунок, г) больной, д) хромой

3) нож – сталь = стол - ? а) вилка, б) дерево, в) стул, г) пища, д) скатерть

4) паровоз – вагоны = конь - ? а) поезд, б) лошадь, в) овес, г) телега, д) конюшня

5) лес – деревья = библиотека - ? а) город, б) здание, в) библиотекарь, г) театр, д) книги

6) бежать – стоять = кричать - ? а) ползать, б) молчать, в) шуметь, г) звать, д) плакать

7) утро – ночь = зима - ? а) мороз, б) день, в) январь, г) осень, д) сани

8) волк – пасть = птица - ? а) воздух, б) клюв, в) соловей, г) яйцо, д) пение

9) холодно – горячо = движение - ? а) покой, б) взаимодействие, в) инерция, г) молекула, д) бежать

10) слагаемое – сумма = множители - ? а) разность, б) делитель, в) произведение, г) молекула, д) бежать

Эта методика направлена на выявление у учащихся умения определять отношения между понятиями или  связи между явлениями и понятиями: причина – следствие. Противоположность, порядок следования, род – вид, часть – целое, функциональные отношения, рядоположенность и др.

Низкий уровень- от 0 до 4, средний- от 5 до 7, высокий- от 8 до 10.

После проведения тестов в 7 «А» и 7 «Б» классах, полученные результаты мы представили в таблицах. Результаты тестов учащихся 7 «А» класса отражены в таблице №2, а результаты 7 «Б» класса- в таблице №3.

<p class="dash041e_0441_043d_043e_0432_043d_043e_0439_0020_0442_0435_043a_0441_0442_0020_0441_0020_043e_0442_0441_0442_0443_043f_043e_043c_00202" style=" margin-bottom: 0pt; margin-left: 0pt; text-align: right; text-indent: 28pt; line-height: