Серия геометрических задач как средство выявление связей, способствующих достижению понимания материала курса планиметрии 7 класса

 Основу логических  причин непонимания составляет  слабое владение обучаемым самой  логикой понимания, т.е. недостаточная  сформированность у учащихся логических операций (анализа, синтеза, абстрагирования, конкретизации, обобщения, сравнения и т.д.).

Наконец, физиологические  причины непонимания связаны  с физиологическим состоянием человека (например, усталостью, вызванной плохими  условиями учебного труда, несоблюдением санитарно-гигиенических требований).[25]

Далее приведены примеры  причин непонимания учебного материала:

• сложность содержания учебной информации;
• неудачные формы объяснения преподавателем учебного материала;
• неправильный выбор методов обучения;
• неудачный выбор организационных форм обучения;
• некачественная работа в паре  или групповой работе;
• наличие образовательных дефицитов;
• слабое владение учителем процессом определения цели деятельности;
• отсутствие или недостаточность информационной базы понимания и т.д.
• недостаточная сформированность у учащихся мыслительных операций (анализа, синтеза, абстрагирования, конкретизации, обобщения, сравнения и т.д.);
• физиологическое состояние  человека (например, усталость, вызванная плохими условиями учебного труда, низкий уровень умственной работоспособности и т.д.) [11]

Вывод: Существует большое количество причин, отрицательно влияющих на процесс понимания учащимися, причем причины, зависящие не только от уровня самочувствия, настроения и работоспособности учащегося, но и от непосредственной работы учителя, от его умения выстроить урок.  Для того чтобы организовать успешный учебный процесс и при этом полное понимание учебного материала необходимо устранить вышеперечисленные причины на сколько это возможно. Если же эти причины не устранены, то понимание будет неполным или же его не будет вообще.

 

1.4  Способы и средства достижения понимания

 

Понимание учебного материала  является залогом успешного учебного процесса. Поэтому вопрос о достижении понимания тревожит большое количество исследователей. Многие разрабатывают свои методики и предлагают свои способы достижения понимания.

 Чтобы обеспечить понимание учебного материала учащимися М.В. Минова [22] считает, что нужно придерживаться режима понимающей педагогики. Сущность понимающей педагогики, в отличие от педагогики знания, заключается в том, что в основе учения и обучения лежит не процесс познания, а процесс понимания. Школьник осваивает учебный материал благодаря тому, что с помощью учебных пособий, текстов учителя, специально организованной работы, в его сознании запускается и поддерживается именно процесс понимания. В рамках этой педагогики учебный процесс может быть организован следующим образом 1) основное содержание учебного материала представляется в виде схемы, на которой отражены важнейшие взаимосвязи объектов, явлений процессов, т.е схематизация; 2) организация работы учащихся в парах, где каждый учащийся рассказывает другому выученную им тему; 3) разработанный учителем набор посильных для учащегося вопросов и заданий, которые целенаправленно и в совокупности доводят его до состояния понимания смысла конкретного учебного материала [23].

 В качестве средств понимания многие исследователи (А.А.Брудный [6], В.П.Зинченко [21] и др.) предлагают использовать определённую организацию учебного материала; индивидуальные задания; различные интерпретации, вскрывающие смысл понятия; перевод с одного языка на другой; системы вопросов; диалог и др.[28].

Многие же авторы акцентируют  свое внимание на таком приеме достижения понимания, как выделения связей в учебном материале, и это обусловлено тем, что главная особенность математических понятий состоит в том, что математические, о которых необходимо составить  понятие, в реальности не существует. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные объекты или явления. Е. И. Лященко, И. В. Сапегина говорят, что «математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. Поэтому любое математическое понятие нельзя понять, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями» [18].

О.А.Сотникова так же утверждает, что сам смысл математических понятий связан с многоступенчатыми  абстракциями, возникающими в процессе познания (Рис 2.) [29].

 

 

 

О.А. Сотника [29] объясняет, что математическое познание осуществляется следующим образом «исходный объект®теория®новый объект», и поэтому «развитие» абстрактных понятий в курсе математики можно характеризовать схемой: Rк ® Mк ® Rк+1 (рис. 2). Отношение математических понятий из Mк к понятиям Rк она называет их конструктивным смыслом, а их отношение к понятиям Rк+1 – формальным (или формализованным) смыслом.

Учитывая специфику  школьного предмета математики: большую роль для организации обучения, нацеленного на понимание, как считает И.В. Сапегина [28], имеют два фактора - содержательный анализ учебного материала и диалог.

Умение проводить  содержательный анализ составляет первый уровень теоретического мышления - аналитический. Он состоит в умении находить закономерные связи, внутренние отношения, то есть раскрывать сущность вещей, закономерности их развития, выделять генетическую основу рассматриваемых объектов, устанавливать связи единичных явлений внутри некоторого целого. Но понимание у учащегося при этом возникает в диалоге, когда проясняются вопросы, ранее казавшиеся запутанными. Тут, прежде всего, играет важную роль то, что «общение будит мысль»[28]. В этом случае диалог не используется как инструмент для каких-то внешних целей, а позволяет усовершенствовать каждому учащемуся  свой образ мира. Диалог -это не просто «разговор двоих», утверждает С.Ю.Курганов [15], это качественно иные отношения, «отношения через слово».

Понятие «понимание» с  методологических позиций означает: (1) выделение смысла, который содержится во взаимосвязях существенных сторон понятий (А.В. Ахутин [2], В.А. Лекторский [17] и др.); (2) выделение составляющих знания, их причинно-следственных связей, согласования структуры науки и структуры культуры (П. Рикер [27] и др.); (3) интерпретацию как отношение субъекта к знанию, установление соответствия между знанием и реальной действительностью (К.В. Малиновская [20] и др.). В каждой трактовке понятия понимания процессуальная составляющая требует выделения связей. В нацеленности на понимание существенное значение имеет установления связей самим субъектом познания.

  А.А. Смирнов [30]  утверждает, что, чем больше разных связей с уже имеющимися в долговременной памяти знаниями может быть установлено, тем глубже их понимание, тем прочнее и продуктивнее они усваиваются.

 Е. И. Лященко, И. В. Сапегина [18] говорят, что связи внутри математического понятия и между математическими понятиями можно условно разделить на две большие группы: 1) формальные (логические) и 2) содержательные (объективно семантические).

К формальным связям они относят  такие, которые могут быть до такой  степени формализованы, что их установление и взаимосвязи между ними можно  передать машине. В школьном курсе  математики к таким связям (отношениям) можно отнести те, которые устанавливаются между объемами понятий и с использованием логических операций: конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, следования и равносильности. Эти связи (отношения) тесно связаны с отношениями между объектами, то есть множествами, поэтому их удобно для понимания (фиксируется их целостность) изображать с помощью кругов Эйлера.

а) Включение между объемами понятий (родовидовые связи)

        А – многоугольник;                                                                  

Б – геометрическая фигура.                                                                  

Союз «если …, то …» предполагает причинно-следственную связь:

Если фигура является многоугольником, то она является и  геометрической фигурой.

б) Тождественность понятий (совпадение объемов)

А– равносторонний треугольник

Б –  равноугольный  треугольник.

Логическая связка «тогда и только тогда, когда …» предполагает равносильность, тождественность:

Треугольник равносторонний тогда и только тогда, когда он равноугольный.

в) Частичное пересечение объемов  понятий

А – прямоугольник;

Б – ромб.                                                         

Связь при помощи союза «и» предполагает пересечение объёмов понятий:

Есть фигуры, которые  одновременно являются прямоугольниками и ромбами – это квадраты.

г) Непересечение объемов понятий

А – прямоугольник;

Б – круг

Связь при помощи союза  «или» предполагает объединение  объёмов понятий:

Нет фигур, одновременно являющихся прямоугольниками и кругами, т. е. прямоугольник  или круг.

Представленные виды связей объединим понятием «логические». [18]

«Содержательные же связи  являются связями, вскрывающими сущность знания, его основания, истоки и перспективы  развития. Они определяют, почему знания связаны. Содержательные связи являются теми связями, которые способствуют соединению знаний в единое целое, позволяют материалу образовать единство. В процессе изучения математического материала важно выделять те связи, которые характеризуют целостность материала, его принадлежность к некому общему. Таким образом, методологические и психологические составляющие понятия понимания ориентируют на отыскание основы целостности. Ею может быть объект, качества которого носят обобщающий характер для всего курса» как говорит О.А.Сотникова  [29].

Е. И. Лященко, И. В. Сапегина отмечают, что процедуры, которые  применяются для раскрытия этого  вида связей,  чаще всего выполняются  на естественном языке и регулируются предметными отношениями (смыслами). Основные виды таких связей: целое-часть; связи единой содержательной трактовки (предметного основания); сходства (различия) образов; связи выполняющие одну и ту же познавательную (объяснительную) функцию; связи, имеющие одинаковую интерпретацию либо на другом языке, либо в модели более низкого уровня абстракции; и др. [18].

В теории понимания задается таким вопросам: «С чего начинается процедура понимания: с целого или  частей?». Целое надлежит понимать на основании отдельного, а отдельное  — на основании целого. Это герменевтическое правило берет начало в античной риторике; герменевтика Нового времени перенесла его из области ораторского искусства на искусство понимания. В обоих случаях перед нами круг. «Части определяются целым и в свою очередь определяют целое: благодаря этому эксплицитно понятным становится то предвосхищение смысла, которым разумелось целое» говорит Г.Г. Гадамер [7]. Первое обращение к целому - не как членённому на части, а как дающему общий взгляд на что-либо - в школе чаще всего осуществляется с помощью некоторого наглядного образа, с которого можно в какой-то  первичной мере «считывать» части,  их свойства и связи между ними [18]. Таким примером является граф.  Граф позволяет увидеть целостность понятия, и уже на основе целостности изучать составляющие его части утверждают Е. И. Лященко, И. В. Сапегина [18].

Вывод: Рассмотрев способы достижения понимания,  в своем работе мы решили рассмотреть такой способ, как выделение связей в учебном материале, он позволяет структурировать учебный материал и определить отношения, в которых находятся понятия друг к другу.

 

1.5 Задачи как  средство достижения понимания  математического материала

 

В параграфе 1.4 мы описали  способы достижения понимания и  определились со способом, который  будем использовать мы. Но проблема заключается в том, что описан только способ выделения связей, и не описаны средства, с помощью которых эти взаимосвязи будут выделяться. Как средство выделения связей в учебном материале мы выбрали задачи, как предложила О.И. Плакатина [25]. Ольга Ивановна говорит, что о полноценном понимании можно говорить лишь в том случае, когда возникает системное представление об изучаемом содержании: вычленение его структуры, иерархии его элементов, их причинно-следственных, логических и других видов связей. И это представление формируется в процессе решения задач.

Также О.И. Плакатина выделила особенности математических задач, которые и делают их основным средством  достижения понимания:

• В процессе самостоятельного решения задач ученик становится субъектом учебной деятельности, без чего невозможно достижение понимания.
• В ходе решения любой математической задачи приходится привлекать знания и способы действий, усвоенные в других разделах. Сам процесс решения задачи, по мнению психологов [29], представляет собой процедуру последовательного переформулирования условий и требований задачи, которые осуществляются до тех пор, пока между ними однозначно не укладывается принцип решения задачи. Тем самым решение задач способствует установлению разнообразных связей: нового материала со “старым”, внутри вновь изучаемого, а также новых связей внутри ранее изученных разделов. Как было указано выше, именно установление многообразных связей является базой эффективного процесса осмысления изученного.
• Важной предпосылкой успешного решения задачи является тщательное изучение ее условия. В этой ситуации ученик, решающий задачу, сталкивается с необходимостью адекватно понять представленную информацию. Если задача представлена на естественном языке, процесс изучения условия способствует формированию умения понимать печатный текст. Если, например, решается геометрическая задача по готовому чертежу, то ученик, “прочитав” чертеж, переводит его на естественный язык. Аналогичные действия “перевода” с одного языка на другой приходится осуществлять, если исходные данные представлены символическим языком. Все это – действия, необходимые для осуществления процесса понимания. Формируясь в ходе решения задач, они затем помогут учащимся и при осмыслении другого содержания.