Серия геометрических задач как средство выявление связей, способствующих достижению понимания материала курса планиметрии 7 класса

Однако потенциально существующие возможности задач  в рассматриваемом аспекте совершенно недостаточно реализуются в практической деятельности, просто использование задач в обучении математике, как показывают наблюдения, далеко не всегда приводит к желаемому результату. Поэтому необходимо осуществлять отбор задач для реализации рассматриваемой цели и предпочтение отдавать таким, особенности которых позволяют ярко выделить используемые приемы деятельности по достижению “понимающего” усвоения задач. О.И. Плакатина выделяет следующие классы таких задач:

1. Задачи, “требующие” перевода с одного языка на другой. В таких задачах подразумевается переход от нематематического языка к языку математики; от математического языка, содержащего компоненты естественного языка, к графическому, символическому и др. языкам; перевод с помощью специальных методов и т.п.
2. Задачи с вариативными условиями. Здесь имеются в виду задачи, в которых возможны различные ситуации относительно данных или искомых компонентов задачи, требуется рассмотрение этих ситуаций и, нередко, в разных ситуациях получаются разные ответы.
3. Задачи с “парадоксальными” данными или результатами. Здесь имеются в виду задачи, в ходе решения которых появляются данные, противоречащие, на первый взгляд, условию или здравому смыслу. Такой вывод побуждает решающего к углубленному анализу задачи. Задачи этого класса, так же, как и предыдущего, формируют гибкость, критичность, осознанность мышления и способствуют более высокому уровню понимания.
4. “Провокационные” задачи. Таким термином обозначим задачи, в которых автором преднамеренно допущена ошибка. При попытке решить такие задачи ученик может столкнуться с различными ситуациями: задача не имеет решения, и необходимо разобраться в причине, по которой не удается найти решение; формально решение задачи может быть найдено, но анализ условия показывает, что описанные в задаче объекты не существуют.
5. Задачи с недостающими или избыточными данными. Условия задач указанного класса “вынуждают” учащихся к дополнительному анализу, выявлению связей, базы данных, необходимых и достаточных для того, чтобы задача стала вполне определенной, и, следовательно, формируют у школьников умения, необходимые для осуществления процесса понимания материала. (эти задачи являются подвидами задач с вариативным условием)

Как уже было замечено выше данные задачи побуждают учащихся к дополнительному анализу, и как следствию- выявлению связей. И для того. Чтобы акцентировать внимание учащихся на конкретных связях, мы предлагаем выделять при помощи наводящих вопросов.

Вывод:

1) В первой главе  нами был проведен анализ литературы, в котором мы определили терминологическое поле нашего исследования. Проанализировав различные трактовки понятия понимания  и интерпретировав их, мы определились, что понимание мы будем рассматривать, как процесс постижения смысла, способность устанавливать взаимосвязи между компонентами знаний для получения личностно- значимых смыслов. Так как достижение понимания связанно с постижением смысла и значения понятий, то мы так же определились с трактовками данных понятий и решили, что «значение» и «смысл» будем отождествлять соответственно с «содержание» и «объемом» интересующего нас понятия.

2) Также мы исследовали  причины непонимания, которые  делятся на психологические, дидактические,  лингвистические, логические и  физиологические. Данные причины  непонимания необходимо устранять из учебного процесса, что будет также способствовать улучшению понимания учебного материала.

3) Мы отметили, что понимание имеет уровни, которые зависят от качества характеризующих его параметров. В основном авторы классифицируют понимание в зависимости от глубины понимания.

4) Рассмотрев различные способы достижения понимания, мы решили придерживаться такого способа, как установление  связей в учебном материале, который подразумевает под собой установление различных связей между компонентами знаний, потому что математический материал сложно понять из-за высокого уровня абстракции.

5) В соответствии с  деятельностным подходом, для организации

собственной деятельности учащихся, мы решили использовать типы задач, предложенные О.И.Плакатиной, в процессе решения которых создаются такие ситуации, которые побуждают учащихся дополнительно анализировать условия и требования задачи. К таким задачам относятся задачи, требующие перевода с одного языка на другой, задачи с вариативным условием, задачи с «парадоксальными» данными и результатами, «провокационные задачи» и задачи с избыточными данными.

6) Проведенный анализ состояния проблемы привел нас к выводу, что способы и средства достижения понимания определены, но проблема остается проблемой, т.к количество задач описанных в литературе недостаточно, чтобы их можно было применять в реальном процессе обучения, адекватно усваиваемому содержанию и в пределах временных рамок урока. Поэтому мы считаем необходимым разработать серию задач, направленную на достижение понимания учебного материала, по средствам которой устанавливаются связи в процессе их решения.

 

 

Глава 2. Серия задач, направленная на выявление связей в математическом материале

 

  На основе теоретических положений, изложенных в первой главе, опишем сконструированную серию задач. 

  

1. Структура серии задач

 

Рассмотрим выбранные нами в первой главе способ и средства достижения понимания подробней. Мы будем достигать понимания путем выявления связей в процессе решения специальных задач. На данном этапе нашего исследования мы остановились на таких связях как «родовидовая», «сходства- различия» и «связь, имеющая одинаковую интерпретацию либо на другом языке, либо на модели более низкого уровня абстракции». Данные связи, мы будем выделять по средствам решения задач, предложенных О.И.Плакатиной и акцентировать внимания учащихся на данных связях, мы предлагаем при помощи ответов на наводящие вопросы, которые составлены для каждой задачи. Так как серию задач мы разрабатывали для 7 класса, то в зависимости от простоты содержания курса планиметрии, нами не были рассмотрены задачи, требующие перевода с одного языка на другой. Данные задачи, на наш взгляд, необходимо применять тогда, когда начинается изучения уравнений задающих геометрические фигуры и плоскости, что дает возможность данного перевода.

Серия состоит из 45 задач, разработанных в соответствии с содержанием курса геометрии 7 класса по программе Л.С. Атанасяна.

Для наглядности полноты  установления рассматриваемых нами связей в сконструированной серии задач мы составили таблицу №1.

Таблица №1

 

 

Темы	Родовидовая связь	Связь сходства и различия	Связь, имеющая одинаковую интерпретацию  либо на другом языке, либо на модели более  низкого уровня абстракции
Периметр треугольника	______________	№1,№2,№3, №15,№27 ,№43	_____________
Признаки равенства треугольников	№4,№16,№18, №28,№29,№31, №44	№4,№16,№17, №18,№28,№29, №30,№31,№44	№31
Равнобедренный треугольник	№5, №6,№33	№5, №6,№33	№33
Медиана, биссектриса и высота треугольника	№32,№45	№32	№32
Теорема о сумме градусных мер углов треугольника	№9	№7,№8,№9, №10,№21,№22, №23	№23,№24
Соотношение между сторонами и  углами треугольника	№25,№42	№25,№26,№41, №42	№26
Признаки и свойства параллельных прямых	№11,№12,№34, №36,№37,№38, №39,№40	№11,№12,№19, №20,№34,№35, №36,№37,№38, №39,№40	№11
Свойства прямоугольного треугольника	№13	№13	_____________

 

 

2.  Серия задач направленных на достижение понимания, по средствам которых выделяются связи в математическом материале 7 класса.

 

Данная серия задач  содержит в себе задачи с вариативным условием, задачи с парадоксальными данными и результатами, «провокационные задачи» и задачи с избыточными данными. На каждый тип сконструированы задачи по разным темам.

 

Задачи с  вариативным условием

Периметр треугольника

 

Задание 1. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, АС=8 см, точка Е принадлежит стороне ВС, причем ВЕ равно ЕС. Точка Е делит периметр треугольника АВС на две части, из которых одна больше другой на 2 см. Найдите длину стороны АВ.

-Для решения данной задачи необходимо помнить что нужно, чтобы найти периметр треугольника (знание мер сторон треугольника), и необходимо обратить внимание на то, что в этой задаче  не указанно периметр какого треугольника больше, поэтому появляются две подзадачи.

1 случай: РАВЕ= РАЕС+2

Ответ: 10 см.

2 случай: РАВЕ+2= РАЕС

Ответ: 6 см.

 Вопросы:

-Что необходимо для  нахождения периметра треугольника? (длины сторон треугольника)

Связь сходства и различия между периметром треугольника и периметром других фигур.

Задание 2. Периметр треугольника АВС равен 60 см. Найдите стороны треугольника, если сторона АВ меньше другой на 7 см, а АС равна 23 см.

- Для решения этой задачи необходимо помнить, как найти стороны треугольника, зная периметр, необходимо также знать что длина обладает свойством аддитивности. Также нужно учесть то, что в задаче не уточнено, меньше какой стороны сторона АВ. Отсюда появляются две подзадачи.

1 случай: |АВ|=|BC|-7

Ответ: |АВ|=15 см, |BC|=22 см.

2 случай: |АВ|=|АC|-7

Ответ: |АВ|=16 см, |BC|=21 см.

Вопросы:

-Что необходимо для нахождения периметра треугольника? (длины сторон треугольника)

Связь сходства и различия между периметром треугольника и периметром других фигур.

Задание 3. Сторона АВ треугольника АВС равна 26 см, сторона АС вдвое меньше одной из сторон, а сторона ВС на 4 см меньше стороны АВ. Найдите периметр треугольника АВС.

- Для решения этой задачи необходимо помнить, что нужно, чтобы найти периметр треугольника и что длина- величина аддитивная. Также нужно учесть то, что в задаче не уточнено, меньше какой стороны сторона АС. Отсюда появляются две подзадачи.

1 случай: |ВС|=2|АС|

Ответ: РАВС=59 см

2 случай: |АВ|=2|АС|

Ответ: 61 см

Вопросы:

-Что необходимо для  нахождения периметра треугольника? (длины сторон треугольника)

Связь сходства и различия между периметром треугольника и периметром других фигур.

 

Признаки равенства  треугольников

 

Задание 4. Точки А и С не лежат на прямой а. Перпендикуляры  АВ и СD к прямой а равны. Найдите DАВ, если ВСА равен 38 градусов.

- Для решения данной задачи необходимо знать, что перпендикуляр к прямой единственный и проходит под углом 90 градусов к данной прямой, знание свойств равных фигур, в данном случае треугольников, что соответственные углы равны, необходимо знать, что нужно для применения первого признака равенства треугольников, и знать, что величина угла обладает свойством аддитивности. В данной задаче не указанно по одну или по разные стороны от прямой лежат перпендикуляры, поэтому появляется два  случая, причем в каждом получается разный ответ.

1 случай:  АВ и СD лежат по одну сторону от прямой а

Ответ: ВАD=52 градуса

 

2 случай: АВ и СD лежат по разные стороны от прямой а

Ответ: ВАD=128 градусов

 

Вопросы:

- Что означает «перпендикуляр к прямой»?

- Что необходимо для  применения первого признака  равенства треугольников?

- Какое свойство позволяет  нам складывать и вычитать  градусные меры углов?

Родовидовая связь между понятиями «прямые» и «перпендикулярные прямые».

Связь сходства и различия между признаками равенства треугольников.

Связь сходства и различия между равными и неравными треугольниками, в данном случае, что у равных треугольников, соответственные элементы равны.

Связь сходства и различия между аддитивной и неаддитивной величиной.

 

Равнобедренный  треугольник

 

Задание 5. Найдите периметр равнобедренного треугольника, у которого стороны равны 8см и 9см.

- Для решения данной  задачи необходимо знать, что  необходимо для нахождения периметра  треугольника, и знать свойство  равнобедренного треугольника, т.к  в задаче не указанно какая  сторона чему равна, то появляются  два случая решения этой задачи, причем ответы получаются разными.

1 случай      2 случай