Серия геометрических задач как средство выявление связей, способствующих достижению понимания материала курса планиметрии 7 класса

Задание 18. Точки С, А и В лежат друг за другом на одной прямой, на одинаковом расстоянии, точка М не лежит на этой прямой. Отрезки АМ и СМ равны, углы ВАМ, МАС и ВСМ также равны. Равны ли треугольники МВС и МВА?

- Какие углы образуются  при пересечении прямой СА  и отрезка МА? (смежные).По условию  данные углы равны, отсюда делаем  вывод, что углы равны по 90 градусов. Также при пересечении прямой  СА и отрезка СМ получается  угол 90 градусов. Как следствие прямые МС и МА не пересекаются (из свойства перпендикулярных прямых). Получается, что треугольника СМВ не существует. А следовательно о равенстве треугольников говорить нельзя.

Вопросы:

- Назовите свойство  смежных углов?

-Какие условия необходимы для применения первого признака равенства треугольников?

Родовидовая связь между понятиями «углы» и «смежные углы».

Связь сходства и различия между признаками равенства треугольников.

 

Признаки и свойства параллельных прямых

 

Задание 19. Прямые МВ и РА пересекаются в точке С. Эти прямые пересечены прямой АВ. Угол ВАС равен 68⁰, а угол АВС равен 112⁰. Какими по отношению друг к другу являются прямые МВ и РА?

В процессе решения данной задачи, применяя признак параллельности прямых по односторонним углам, получаем, что прямые не пересекаются, но по условию нам сказано, что прямые имеют точку пересечения. Получились два противоречащие друг другу условия. Следовательно задача составлена некорректно.

Вопросы:

- Назовите признак параллельности  прямых, связанный с односторонними углами?

- Назовите отличия между параллельными  и пересекающимися прямыми?

Связь сходства и различия между признаками параллельности прямых.

Связь сходства и различия между параллельными и пересекающимися прямыми.

Связь сходства и различия между углам, образованными параллельными прямыми и секущей.

Задание 20. Прямые AB и DC параллельны, AB = DC, отрезок ВС равен 10 см, а АD=12 см. Возможно ли последнее утверждение?

Для решения данной задачи необходимо помнить свойства параллельных прямых, признаки равенства треугольников и свойство равных фигур. Некорректность в том, что отрезки ВС и АD должны быть равны как соответствующие элементы равных треугольников, а по условию они не равны, что противоречит друг другу.

Вопросы:

- Какие выводы мы можем сделать из параллельности прямых?

- Что необходимо для применения  первого признака равенства треугольников?

- Если фигуры равны, что можно  сказать про их элементы?

Связь сходства и различия между свойствами параллельных прямых.

Связь сходства и различия между признаками равенства треугольников.

Связь сходства и различия между равными и неравными фигурами.

 

Теорема о сумме  углов треугольника

 

Задание 21. Найдите А треугольника АВС, если В равен , а С равен

Для решения данной задачи необходимо знание теоремы о сумме  градусных мер углов треугольника. В результате решения данной задачи получается, что сумма градусных мер двух углов треугольника равна 180 градусам, что противоречит теореме о сумме градусных мер углов треугольника. Делаем вывод, что данная задача является некорректной.

Вопросы:

- Чему равна сумма углов треугольника?

Связь сходства и различия между суммой градусных мер углов треугольника и суммой градусных мер углов другой фигуры.

Задание 22. Дан треугольник МРТ, М равен 89 градусам, а Р равен 91 градусу. Найдите градусную меру Т.

Для решения данной задачи необходимо знать теорему о сумме  градусных мер углов треугольника. Некорректность этой задачи заключается в том, что градусная мера величины угла треугольника величина положительная и соответственно равняться 0 она не может, иначе треугольника не существует.

Вопросы:

- Чему равна сумма  градусных мер углов треугольника?

Связь сходства и различия между суммой градусных мер углов треугольника и суммой градусных мер углов другой фигуры.

 Задание 23. Прямые СD и АВ параллельны, АD- секущая, т.М принадлежит отрезку АD, DМВ равен 90 градусов, а СDМ равен 104 градуса. Найдите В треугольника АМВ.

Для решения данной задачи необходимо знать свойства параллельных прямых и теорему о сумме градусных мер углов треугольника. Некорректность задачи заключается в том, что сумма двух углов треугольника превышает 180 градусов, чего быть не может.

Вопросы:

- Какие выводы можно  сделать из того, что прямые параллельны?

- Сумма скольких углов  треугольника равна 180 градусам?

Связь сходства и различия между свойствами параллельных прямых.

Связь сходства и различия между углами, образованными параллельными прямыми и секущей.

Связь сходства и различия между суммой градусных мер углов треугольника  и суммой градусных мер углов другой фигуры.

Связь, имеющая одинаковую интерпретацию  либо на другом языке, либо на модели более  низкого уровня абстракции необходимо интерпретировать углы, образованные параллельными прямыми, в углы треугольника.

Задание 24. Прямые а и d параллельны. АС и ВС- биссектрисы. Верно ли, что С равен АВС?

Для решения данной задачи необходимо помнить свойство параллельных прямых, связанных с односторонними углами, необходимо помнить признаки биссектрисы, необходимо помнить теорему о сумме градусных мер углов треугольника. Т.к углы, биссектрисы которых известны, являются односторонними, то сумма их градусных мер равна 180 градусам, т.к биссектрисы делять один и второй угол пополам, то сумма двух образовавшихся углов треугольника равна 90 градусам. Соответственно угол С равен 90 градусам, по теореме о сумме градусных мер углов треугольника, т.е он равен сумме двух других углов треугольника. Следовательно утверждение не верно.

Вопросы:

- Что можно сказать  про односторонние углы, образованные  параллельными прямыми и секущей?

- Скажите существенный  признак биссектрисы?

- Чему равна сумма  углов треугольника?

Связь родовидовая между понятиями «отрезок» и «биссектриса угла треугольника».

Связь сходства и различия между углами образованными параллельными прямыми и секущей.

Связь сходства и различия между свойствами параллельных прямых.

Связь, имеющая одинаковую интерпретацию  либо на другом языке, либо на модели более низкого уровня абстракции необходимо интерпретировать углы, образованные параллельными прямыми, в углы треугольника.

Соотношение между  сторонами и углами треугольника

 

Задание 25. Треугольник АВС равнобедренный, прямые МN и ВС параллельные. Верно ли что треугольник АМN- разносторонний?

Для решения данной задачи необходимо помнить свойство параллельных прямых, связывающих соответствующие  углы, необходимо помнить признак  равнобедренного треугольника. В  результате решения данной задачи получается, что необходимый нам треугольник- равнобедренный, следовательно задача составлена не корректно.

- Назовите свойство  параллельных прямых, связывающее  соответственные углы?

- Какой треугольник  называется равнобедренным?

- Назовите признак  равнобедренного треугольника?

Связь родовидовая между понятиями «треугольник» и «равнобедренный треугольник»

Связь сходства и различия между углами, образованными параллельными прямыми и секущей.

Связь сходства и различия между свойствами параллельных прямых.

Связь, имеющая одинаковую интерпретацию либо на другом языке, либо на модели более низкого уровня абстракции необходимо интерпретировать углы треугольника в углы, образованные параллельными прямыми.

Задание 26.  Дан треугольник АВС.  В равен 30 градусов, а С равен 60 градусов, сторона АВ равна 5 см, сторона АС равна 6 см. Верно ли что ВС равно 4 см?

Для решения данной задачи необходимо знание теоремы о сумме  градусных мер углов треугольника, необходимо знание теоремы о соотношении длин сторон и градусных мер углов треугольника. Некорректность данной задачи в том, что против большего угла должна лежать большая сторона, а не наоборот.

Вопросы:

-Если сторона треугольника  больше других сторон то, что  можно сказать о стороне, лежащей против данного угла?

- Чему равна сумма  градусных мер углов треугольника?

Связь сходства и различия между прилежащей и противолежащей стороной треугольника.

Связь сходства и различия между свойствами сторон и углов треугольника и свойствами сторон и углов других фигур.

Связь сходства и различия между суммой градусных мер углов треугольника и суммой градусных мер углов другой фигуры.

 

Задачи с  избыточными или недостающими данными

Периметр треугольника

 

Задание 27. Найдите периметр треугольника АВС, если известно, что стороны треугольника равны между собой и равны 8 см и периметр треугольника АВС равен половине периметра треугольника МРО, равного 48 см.

Для решения данной задачи необходимо помнить, что необходимо для нахождения периметра треугольника и внимательно анализировать условия. Периметр треугольника можно найти и через длины сторон треугольника, а можно как половину периметра известно треугольника. Данную задачу можно решить используя не весь объем исходных данный, что делает ее задачей с избыточными данными.

Ответ: 24 см.

Вопросы:

- Что необходимо для  нахождения периметра треугольника?

Связь сходства и различия между периметром треугольника и периметром других фигур.

 

Признаки равенства  треугольников

 

Задание 28.  Даны два треугольника, треугольник AOB и треугольник COD, если ОВ относится к СО как 1:2, ВО=OD,угол ABN= - CDО, сторона АВ равна стороне CD, докажите, что данные треугольники ранвы.

  Для решения данной задачи необходимо знать определение и свойства смежных углов, и какие условия необходимы для применения первого признака равенства треугольников, и можно сделать вывод, что заданное отношение сторон треугольника для данной задачи не требуется, следовательно задача является с избыточным условием.

Вопросы:

- Назовите свойство смежных углов?

-Что необходимо для  применения первого признака  равенства треугольников?

Родовидовая связь между понятиями «углы» и «смежные углы»

Связь сходства и различия между признаками равенства треугольников.

Задание 29. В концах отрезка АВ в одну и ту же сторону от него построены АС и ВD — равные перпендикуляры к АВ. Через середину отрезка АВ проведен еще один перпендикуляр, пересекающий отрезок CD в точке Е, под углом 90 градусов. Будет ли отрезок СЕ равен отрезку ED?

- Для решения данной задачи необходимо сделать дополнительное построение, иначе с задача для семиклассника будет нерешаема, т.е на уровне знаний учащихся здесь недостает изначального условия. Затем необходимо знать при каких условиях применяется первый признак равенства треугольников, также необходимо знать определение и свойство смежных углов. 

Вопросы:

- Что необходимо для  применения первого признака  равенства треугольников?

- Какие углы называются смежными?

Родовидовая связь между понятиями «углы» и «смежные углы».

Связь сходства и различия между признаками равенства треугольников.

Задание 30. Даны два треугольника, треугольник АВС и треугольник PQR. Периметр треугольника АВС равен 56 см. Угол АВС равен углу PQR. Угол QRР равен углу ВСА. Сторона АВ равна 26 см. Сторона ВС меньше АС на 4 см. Сторона QR треугольника PQR равна 13 см и сторона PR равна 17 см. QR относится к QP как 1:2. Найдите периметр треугольника PQR.

Для решения данной задачи необходимо знать, что нужно для  нахождения периметра треугольника (наличие мер всех сторон треугольника), также, что необходимо для применения первого признака равенства треугольников. Данную задачу можно решить двумя способами. Т.к нам дано попарное равенство двух углов и стороны, прилежащие к каждому углу мы можем найти, то сведения о другом угле и прилежащих сторонах являются лишними, т.к задача может быть решена без них.

Вопросы:

- Что необходимо для  применения второго признака  равенства треугольников?

- Если треугольники  равны, то что мы можем сказать  о их элементах?

Связь сходства и различие между при знаками равенства треугольников.

Связь сходства и различия между элементами равных и неравных треугольников.

Задание 31. Докажите что угол DВС равен углу DЕС, если отрезок ВС равен ЕС и отрезок АС равен отрезку СF, угол DСЕ равен углу DСВ и угол  NED равен углу NBD.