Серия геометрических задач как средство выявление связей, способствующих достижению понимания материала курса планиметрии 7 класса

 

 

 

 Ответ: РАВС=25 см    Ответ: РАВС=26 см

 Вопросы:

-Что отличает равнобедренный  треугольник от других треугольников? (наличие равных сторон)

- Что отличает основание  от боковой стороны? (то, что боковых  стороны две и они равны, а основание одно)

- Что необходимо для  нахождения периметра треугольника? (знание длин сторон треугольника)

Родовидовая связь между понятиями «треугольник» и «равнобедренный треугольник»

Связь сходства- различия между понятиями «основание равнобедренного треугольника» и «боковая сторона равнобедренного треугольника».

Связь сходства и различия между периметром треугольника и периметром других фигур.

Задание 6. Найдите углы равнобедренного треугольника, если известно, что разность двух углов равна 30⁰.

- При решении данной задачи необходимо обратить внимание на то, что присутствует неопределенность в условии, не указано какой именно угол больше. Отсюда получаются две подзадачи с разными ответами. Для решения необходимо помнить свойство равнобедренного треугольника и теорему о сумме углов треугольника.

1 случай

АВС- ВАС=30⁰

Ответ: ВАС=40⁰ АВС= АСВ=70⁰

2 случай: ВАС- АВС =30⁰

Ответ: ВАС=80⁰ АВС= АСВ=50⁰

Вопросы:

-Что отличает равнобедренный  треугольник от других треугольников? (наличие равных сторон)

- Что отличает основание от боковой стороны? (то, что боковых стороны две и они равны, а основание одно)

- Чему равна сумма  градусных мер углов треугольника.

Связь сходство-различие между понятиями боковая сторона равнобедренного треугольника и основанием равнобедренного треугольника.

Родовидовая связь между понятиями «равнобедренный треугольник» и «треугольник».

Связь сходство-различие между суммой градусных мер углов треугольника и суммой градусных мер углов других фигур.

 

Теорема о сумме  углов треугольника, внешний угол

 

Задание 7. Дан треугольник МВО, точка Т находится на продолжении стороны МО, правее точки О. Известно, что два угла треугольника равны и равны 55 градусам. Найдите градусную меру ТОВ.

- Необходимо обратить  внимание на то, что в условии  присутствует неопределенность, что разбивает задачу на три подзадачи, в результате решения которых получаются разные ответы. Для решения данной задачи необходимо помнить свойство внешнего угла треугольника, теорему о сумме углов треугольника и свойство смежных углов.

1 случай    2 случай     3 случай 

Ответ: ТОВ=110⁰  Ответ: ТОВ=125⁰  Ответ: ТОВ=125⁰

Вопросы:

-Чему равна градусная  мера внешнего угла треугольника? (сумме градусных мер углов  не смежных с ним)

- Какие углы называются  смежным? (углы, у которых одна  сторона общая, а другие являются  продолжением одна другой)

- Каким свойством обладают  смежные углы?

 Связь сходства- различия между понятиями угол треугольника и внешний угол треугольника

Связь сходства и различия между углами и смежными углами.

Задание 8. Дан треугольник АВС, точка О находится на продолжении стороны АВ, правее точки В. Известно что один из смежных углов равен 120 градусам, а А равен 30 градусам. Определите градусную меру третьего угла.

В условии данной задачи не указано, какой из смежных углов  равен 120 градусам, что делает данную задачу вариативной. Для решения данной задачи применяется теорема о сумме углов треугольника, свойство внешнего угла треугольника или свойство смежных углов.

  1 случай         2 случай     

 

 

 

Ответ: 90⁰      Ответ: 30⁰

Вопросы:

- Чему равна градусная  мера внешнего угла треугольника?

- Чему равна сумма  градусных мер углов треугольника?

- Каким свойством обладают  смежные углы?

Связь сходства-различия между суммой градусных мер углов треугольника и суммой градусных мер углов другой фигуры.

Связь сходства и различия между углами треугольника и внешними углами треугольника.

Связь сходства и различия между углами и смежными углами.

Задача 9. Из точки, взятой вне прямой, проведены к ней две наклонные, известно, что в образовавшемся треугольнике два угла равны между собой и равные 60°. Расстояние между основаниями наклонных равно 16 см. Найти длины наклонных.

  Данная задача на первый взгляд вариативная, т.к не известно какие из углов равны, но после анализа задачи, получается что она решается однозначно, т.к третий угол тоже равен 60⁰ и следовательно треугольник равносторонний. Для решения данной задачи необходимо знать теорему о сумме градусных мер углов треугольника, признак равностороннего треугольника.

Ответ: 16 см.

Вопросы:

-Чему равна сумма градусных мер углов треугольника?

-Какой треугольник называется равносторонним?

Родовидовая связь между понятиями «треугольник» и «равносторонний треугольник».

Связь сходства и различия между суммой градусных мер углов треугольника и суммой градусных мер углов другой фигуры.

Задача 10. В треугольнике ABC один из углов 1 и 2 равен 55°, а другой равен 84°. Прямая DE пересекает треугольник ABC так, что 3 = 140°. Определить углы треугольников BDF и CDE.

Для решения данной задачи необходимо помнить теорему о  сумме углов треугольника, свойства вертикальных углов и смежных  углов. В данной задаче присутствует неопределенность в условии. Что разбивает задачу на две подзадачи с разными результатами.

1 случай        2 случай

       

Вопросы:

- Чему равна сумма  градусных мер углов треугольника?

- Свойство вертикальных  углов?

-Свойство смежных углов?

Связь сходства и различия между суммой градусных мер углов треугольника и суммой градусных мер углов другой фигуры.

Связь сходства и различия между вертикальными углами и смежными углами.

 

Свойства и  признаки параллельных прямых

 

Задание 11. Дан треугольник АВС. Через точку В проведена прямая ВМ (точка М лежит правее точки В). Известно, что два угла треугольника АВС равны между собой и равны СВМ, который равен 20 градусам. Являются ли прямые ВМ и АС параллельными?

В условии данной задачи присутствует неопределенность, в результате появляются три подзадачи, в результате которых получаются разные результаты. Для решения данной задачи необходимо применять признаки параллельных прямых

1 случай   2 случай   3 случай

 

 

 

 

Ответ 1: параллельны Ответ 2: параллельны   Ответ3:не параллельны

Вопросы:

- Какие прямые называются  параллельными?

- Назовите признаки  параллельности прямых?

Связь родовидовая между понятиями «прямые» и «параллельные прямые».

Связь сходства и различия между признаками параллельности прямых.

Связь, имеющая одинаковую интерпретацию  либо на другом языке, либо на модели более  низкого уровня абстракции необходимо интерпретировать углы треугольника в углы, образованные параллельными прямыми.

Задание 12. Дан четырехугольник АВСЕ, в котором углы попарно равны 120 градусам и 60 градусам. Являются ли прямые ВС и АЕ параллельными?

В условии данной задачи присутствует неопределенность, в результате которой появляются четыре подзадачи, в результате которых получаются разные результаты. Для решения данной задачи необходимо помнить признаки параллельности прямых.

1 случай   2 случай  3 случай  4 случай

  Ответ: 1) ВС||АЕ 2) ВС||АЕ 3) ВС||АЕ 4) ВС и АЕ не параллельны

Вопросы:

- Какие прямые называются  параллельными?

- Назовите признаки  параллельности прямых?

Связь родовидовая между понятиями «прямые» и «параллельные прямые».

Связь сходства и различия между признаками параллельности прямых.

 Связь сходство-различие между видами углов при параллельных прямых.

 

Свойства прямоугольного треугольника

 

Задание 13. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, в два раза меньше одной из его сторон. Найти углы треугольника.

1 случай:       2 случай

 

 

В условии данной задачи присутствует неопределенность, в результате задача разбивается на две подзадачи с разными ответами. Для решения данной задачи необходимо помнить свойство высоты, опущенной к основанию равнобедренного треугольника, признак равнобедренного треугольника, и свойство прямоугольного треугольника.

Ответ: ВАС= ВСА=45⁰, АВС=90⁰

Вопросы:

- Назовите свойство  высоты равнобедренного треугольника, опущенной к основанию?

- Назовите свойства углов равнобедренного  треугольника?

- Назовите свойство прямоугольного треугольника. Связывающее катет и гипотенузу?

Родовидовая связь между понятиями «треугольник» и «прямоугольный треугольник»

Связь сходства и различия между понятиями «высота», «медиана» и «биссектриса» треугольника.

Связь сходства и различия между понятиями «гипотенуза» и «катет» прямоугольного треугольника.

 

«Провокационные» задачи.

Периметр треугольника

 

Задание 15. На стороне AC треугольника ABC отметили точку E . Известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника ABE равен 15 см, а периметр треугольника BCE = 10 см. Найдите длину отрезка BE .

Для решения данной задачи необходимо знать, что необходимо для нахождения периметра треугольника. В результате решения данной задачи получается, что длина отрезка ВЕ равна 0, такого быть не может, иначе точка В принадлежит стороне АС и тогда треугольника не существует.

Вопросы:

- Что необходимо для нахождения периметра треугольника?

- Может ли длина  отрезка, соединяющего вершину  треугольника и точку противолежащей  стороны быть равна 0?

Связь сходства и различия между периметром треугольника и периметром другой фигуры.

 

Признаки равенства  треугольников

 

Задание 16. Периметр треугольника AOD равен 32 см. Сторона OC равна 17 см. Найдите сторону ВС.

 Для решения данной задачи  необходимо знать, что радиус  окружности для данной окружности  постоянен, помнить определение  и свойства вертикальных углов, необходимо знать первый признак равенства треугольников, знать, что равные треугольники обладают равными периметрами. В результате арифметических действий мы придем к выводу, что равные треугольники обладают разными периметрами. Следовательно, задача составлена некорректно.

Вопросы:

- Возможно ли что  у равных фигур будут разные  периметры?

- Что необходимо для  применения первого признака  равенства треугольников?

- Каким свойством обладают  вертикальные углы?

- Назовите свойство  радиуса?

Родовидовая связь между понятиями «углы» и «вертикальные углы».

Связь сходства и различия между понятиями «радиус» и «хорда» окружности.

Связь сходства и различия между признаками равенства треугольников.

Связь сходства и различия между периметром треугольника и периметром других фигур.

Задание 17. Даны два треугольника АВС и NMP. Периметр треугольника АВС равен 70 см. Стороны АВ, ВС и СА относятся друг к другу как 2:2:3. Сторона NP равна 30 см., а сторона NM составляет   части от стороны NP. Углы ВАС и MNP равны между собой. Докажите что периметр треугольника NMP равен половине периметра треугольника АВС.

- Для решения данной  задачи необходимо знать, что  необходимо для нахождения периметра  треугольника (меры всех сторон  треугольника), для применения первого  признака равенства треугольников (равенство углов треугольника  и равенство прилежащих к данному углу сторон), знать свойство, что равные треугольники имеют равные периметры. После арифметических действий можно сделать вывод, что требования задачи составлены не корректно.

Вопросы:

- Что необходимо для  нахождения периметра треугольника?

- Что необходимо для  применения первого признака  равенства треугольников?

- Что можно сказать  про периметры равны фигур?

Связь сходства и различия между признаками равенства треугольников.

Связь сходства и различия между периметром треугольника и периметром других фигур.