Серия геометрических задач как средство выявление связей, способствующих достижению понимания материала курса планиметрии 7 класса

- Данную задачу можно решить двумя способами: это напрямую через равенство треугольников, частью которого является этот угол, или доказать равенство треугольников, образованных вертикальными углами и по свойству аддитивности из смежного угла найти интересующий нас угол, т.е информация для одного из способов в данной задачи лишняя. Для решения данной задачи первым способом необходимо знать условия применения первого признака равенства треугольников. Для решения вторым способом, также необходимо знать условия применения первого признака, знать, что величина угла обладает свойством аддитивности и знать определение и свойство смежных углов.

Вопросы:

-Каким отличительным  свойством обладают вертикальные  углы/ смежные углы?

-Что необходимо для применения первого признака равенства треугольников?

Родовидовая связь между понятиями «углы» и «вертикальные углы», «смежные углы»

Связь сходства и различия между признаками равенства треугольников.

Связь, имеющая одинаковую интерпретацию  либо на другом языке, либо на модели более низкого уровня абстракции необходимо интерпретировать искомые углы в углы, являющиеся углами треугольника.

 

Медиана, биссектриса, высота треугольника

 

Задание 32. Докажите что угол ВРО равен углу ВQО, если АQ- медиана угла А, СР медиана угла С, BR- высота, АR=CR, АВ=СВ.

- Данную задачу можно решить двумя способами, для решения первым способом необходимо знать, что должно быть известно для применения первого признака равенства треугольников, также необходимо знать, что медианы пересекаются в одной точке. Для решения вторым способом также необходимо знать условия применения первого признака равенства треугольников и то, что величина угла обладает свойством аддитивности и свойство смежных углов. Т.к эту задачу можно решить двумя способами, то условия необходимые для второго способа решения являются избыточными.

Вопросы:

- Что необходимо для  применения первого признака  равенства треугольников?

- Какие углы называются  смежными?

- Назовите свойство  смежных углов?

- назовите существенные признаки высоты и медианы треугольника?

Связь сходства и различия между признаками равенства треугольников.

Связь сходства и различия между элементами равных фигур и элементами неравных фигур.

Связь родовидовая между понятиями «углы» и «смежные углы».

Связь «сходства-различия» между понятиями «высота» и «медиана» треугольника.

 

Равнобедренный  треугольник

 

Задание 33.  В равнобедренном ∆АВС с основанием ВС проведена медиана АР. Найдите длину медианы АР. Если периметр ∆АВС равен 68 см., а периметр  ∆АСР равен 40 см., |AC| равна 19 см., а |РС| равна 15 см.

Данную задачу можно  решить двумя способами, через периметр треугольника, стороной которого являемся искомая медиана, и через периметр большего треугольника и меньшего, т.к образовавшиеся треугольники равны, то разность между суммой периметров двух составляющих треугольников и периметром большего треугольника будет равна длине двух медиан. Отсюда можно найти длину одной медианы. Для решения первым способом необходимо знать как находится сторона треугольника, зная две другие стороны и периметр треугольника. Для решения вторым способом, необходимо знать свойство равнобедренного треугольника, связывающее углы при основании, знание первого признака равенства треугольников, знание того, что периметр не является величиной аддитивной. Так как данную задачу можно решить двумя способами, то эта задача является задачей с избыточными данными и результатами.

Ответ: 6 см.

Вопросы:

- Как можно найти  сторону треугольника, зная периметр  треугольника и длины двух  других его сторон?

-Что необходимо для  применения первого признака  равенства треугольника?

- Какой треугольник  называется равнобедренным?

- Какое свойство равнобедренного  треугольника объединяет углы  при основании треугольника?

Связь родовидовая между понятиями «треугольник» и «равнобедренный треугольник».

Связь сходства и различия между признаками равенства треугольников.

Связь сходства и различия между периметром треугольника и периметром других фигур.

Связь, имеющая одинаковую интерпретацию  либо на другом языке, либо на модели более низкого уровня абстракции необходимо интерпретировать медиану в сторону треугольника и соотнести с периметром большего треугольника.

 

Признаки и  свойства параллельных прямых

 

Задание 34. ВС = ЕF, AD = CF, углы ВСА и ЕFС равны. Докажите, что АВ || DE. 

Данную задачу можно доказать разными  способами, в зависимости от того, какой признак параллельности прямых мы выбираем. Для доказательства данной задачи необходимо знать признаки равенства  треугольников, признаки параллельности прямых и свойства смежных углов.

Вопросы:

- Какие признаки равенства  треугольников вы знаете?

- Какие признаки параллельности  прямых вам известны?

- какие углы называются  смежными?

Связь родовидовая между понятиями «углы» и «смежные углы».

Связь сходства и различия между признаками параллельности прямых

Связь сходства и различия между признаками равенства треугольников.

 Связь сходства и различия между углами, образованными двумя прямыми и секущей.

Задание 35. Дан треугольник АВС. На сторонах АВ и СВ отмечены точки D и Е соответственно. Угол ВDЕ равен углу ВАС, угол АСD равен углу СDЕ. Докажите, что прямые DЕ и АС параллельны.

Данную задачу можно решить тремя  способами, используя разные признаки параллельности прямых. Можно доказать через соответственные углы, можно через накрест лежащие, а можно через односторонние. Для решения первым способом необходимо помнить признак параллельности прямых, связанный с соответствующими углами. Для решения вторым способом необходимо помнить признак параллельности прямых, связанный с накрест лежащими углами. Для решения третьим способом необходимо знать теорему о сумме углов треугольника и признак параллельности прямых, связывающих односторонние углы.

Вопросы:

- Какие признаки параллельности  прямых вы знаете?

- Как звучит теорема о сумме градусных мер углов треугольника?

Связь сходства и различия между углами, образованными параллельными прямыми и секущей.

Связь сходства и различия между признаками параллельности прямых.

Связь сходства и различия между суммой градусных мер углов треугольника и суммой градусных мер углов другой фигуры.

Связь, имеющая одинаковую интерпретацию  либо на другом языке, либо на модели более  низкого уровня абстракции необходимо интерпретировать углы треугольника в углы, образованные параллельными прямыми.

Задание 36. Прямая AB параллельна прямой  DC, а прямая BC параллельна прямой DN. Угол В равен 56⁰, а угол МСК равен 124⁰. Найдите угол FDN.

Данную задачу можно  решить двумя способами, и каждый способ не будет исчерпывать весь объем исходных данных. Для решения первым способом необходимо помнить свойства параллельных прямых, связывающие соответственные углы. Для решения вторым способом, необходимо знать свойство смежных углов и свойства параллельных прямых, связывающих соответственные углы.

Вопросы:

- Назовите свойства параллельных прямых?

- Назовите свойства  смежных углов?

Связь родовидовая между понятиями «углы» и «смежные углы».

Связь сходства и различия между свойствами параллельных прямых.

Задание 37.  Угол DАВ равен 134⁰, а угол АВС равен 46⁰. Прямая AB параллельна прямой DC, а прямая BC параллельна прямой AD. Найдите углы 2 и 3.

Данную задачу можно решить двумя способами, все зависит от того какую пару параллельных прямых мы возьмем за основу. Для решения данной задачи необходимо помнить свойства параллельных прямых и свойства смежных углов.

Вопросы:

- Какие свойства параллельных  прямых вы знаете?

- Каким свойством обладают  смежные углы?

Связь сходства и различия между свойствами параллельных прямых.

Связь родовидовая между понятиями «углы» и «смежные углы».

 

Теорема о сумме  углов треугольника

 

Задание 38. Дан треугольник. Углы, смежные с углами треугольника равны 110, 120 и 130 градусов. Определите градусную меру углов треугольника.

Для решения данной задачи необходимо применять свойства смежных  углов и теорему о сумме градусных мер углов треугольника. Данную задачу можно решить двумя способами, по теореме о сумме углов треугольника и как смежные углы. Условия, необходимые для решения задачи вторым способом, являются избыточными.

Вопросы:

-Назовите свойства смежных углов?

- Назовите теорему  о сумме градусных мер углов  треугольника?

Связь родовидовая между понятиями «углы» и «смежные углы».

Связь сходства и различия между суммой градусных мер углов треугольника  и суммой градусных мер углов другой фигуры.

 Задание 39. На чертеже отрезки ЕС и BD пересекаются в точке А, D = C, АD=АС. Доказать, что В = Е.

Данную задачу можно доказать двумя способами, по теореме о сумме углов треугольника и по второму признаку равенства треугольников, для этого также необходимо помнить свойства вертикальных углов. Так для решения одним способом можно использовать не весь объем исходных данных, то данная задача становится задачей с избыточными данными.

Вопросы:

- Какие углы называются  вертикальными, назовите их свойства?

- Что необходимо для  применения второго признака  равенства треугольников?

- Чему равна сумма  градусных мер углов треугольника?

Связь родовидовая между понятиями «углы» и «вертикальные углы».

Связь сходства и различия между признаками равенства треугольников.

Связь сходства и различия между суммой градусных мер углов треугольника и суммой градусных мер углов другой фигуры.

 Задание 40. На чертеже 2 = 3= 7, 5= 6.  Доказать, что     1 = 4.

Данную задачу можно доказать используя не весь объем исходных данных. Для доказательства нам необязательно знать про углы 7 и 6. Для доказательства необходимо помнить теорему о сумме градусных мер углов треугольника и свойство смежных углов.

Вопросы:

-Как звучит теорема о сумме градусных мер углов треугольника?

- Назовите свойство  смежных углов?

Связь родовидовая между понятиями «углы» и «смежные углы».

Связь сходства и различия между суммой градусных мер углов треугольника и суммой градусных мер других углов.

 

Соотношение между  сторонами и углами треугольника

 

Задание 41. В треугольнике ABC А= 35°, В = 68°. Через вершину В проведён отрезок BD (точка D лежит на стороне АС) так, что ВС = CD. Найти меньший из углов, вершины которых находятся в точке D.

Данную задачу можно решить двумя способами, непосредственно искав градусную меру каждого угла, используя теорему о сумме градусных мер углов треугольника и свойство смежных углов, а можно вторым способом, применяя теорему о соотношении сторон и углов треугольника.

Вопросы:

- Чему равна сумма  градусных мер углов треугольника?

- Назовите теорему  о соотношении сторон и углов  треугольника?

Связь сходства и различия между суммой градусных мер углов треугольника и суммой градусных мер углов других фигур.

Связь сходства и различия между соотношением сторон и углов треугольника и соотношением сторон и углов других фигур.

Задание 42. В треугольнике ABC А = 60°, С = 48°. Определить меньший угол между высотами, проведёнными через вершины углов А и С.

Данную задачу можно решить двумя способами, непосредственно находя градусные меры углов треугольника по теореме о сумме градусных мер углов треугольника, применяя свойство смежных углов. Либо используя теорему о соотношении сторон и углов треугольника.

Вопросы:

- Чему равна сумма  градусных мер углов треугольника?

- Назовите свойства  смежных углов?

- Какой треугольник  называется прямоугольным?

Связь родовидовая между понятиями «треугольник» и «прямоугольный треугольник».

 Связь сходства и различия между суммой градусных мер углов треугольника и суммой градусных мер углов других фигур.

Связь сходства и различия между соотношением сторон и углов треугольника и соотношением сторон и углов других фигур.