Характеристика и применение моделей оценки финансовых активов САРМ и АРТ

     

     Доходность  портфеля будет равна 

     

     Риск  портфеля определяется по формуле:

     

     Ковариация  доходности активов А и В определяется по формуле:

     

     Этот  показатель определяет степень взаимосвязи  и направление изменения доходностей активов.

     Для расчета показателя ковариации определим:

     – отклонения доходностей акций от их среднего значения

 

     – произведения отклонений для каждого периода и просуммируем их: 

 

     В сумме получаем 11,46.

     Определяем значение ковариации, разделив полученную сумму на число временных периодов n: .

     Риск  портфеля будет равен:

     3) Если объединить в портфель некоторое число активов, корреляция доходности которых лежит в диапазоне от -1 до +1, то, в зависимости от их удельных весов, можно построить множество портфелей с различными параметрами риска и доходности, которые расположены в рамках фигуры ABCDE, как показано на рис. 10.

Рис.10. График эффективной границы Марковица.

     Рациональный инвестор будет стремиться минимизировать свой риск и увеличить доходность. Поэтому всем возможным портфелям, представленным на рис. 10, вкладчик предпочтет только те, которые расположены на отрезке ВС, поскольку они являются доминирующими по отношению к портфелям с тем же уровнем риска или с той же доходностью. Набор портфелей на отрезке ВС называют эффективным набором.

     Эффективный набор портфелей – это набор, состоящий из доминирующих портфелей. Набор портфелей на участке ВС называют еще эффективной границей. Она открыта Г. Марковицем в 50-х гг. Чтобы определить данную границу, необходимо рассчитать соответствующие удельные веса, входящих в портфель активов, при которых минимизируется значение стандартного отклонения для каждого данного уровня доходности, т. е. решить уравнение: при условии, что и .

     Составим  в MS Excel динамическую таблицу, в которой  будет производиться расчет минимального риска портфеля при каждом заданном соотношении долей каждого актива в портфеле: 

 

     Далее, подставляя различные значения в  поле «Доходность портфеля» с  помощью инструмента «Поиск решения» определяем различные соотношения бумаг в портфеле и соответствующий уровень риска портфеля:

     Получим следующие значения: 

 

     Эффективная граница Марковица для портфеля из акций А и В графически примет вид:

Рис.11. График эффективной границы Марковица для портфеля из акций А и В. 

     Ответ: за рассматриваемый период средняя доходность акций А составит 28%; акций В – 163%, риск акции А составит 0,71, акции В – 2,3.

     Также при условии, что портфель из данных акций сформирован в пропорции 50% на 50%, его доходность будет составлять 150%, а риск – 2,09. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задача 11

     Предположим, что безрисковая ставка составляет 5%. Ниже приведены ожидаемые доходности и стандартные отклонения трех паевых фондов.

 
     

1. Какие критерии оценки эффективности портфельных  инвестиций вам известны?
2. Какой критерий следует использовать рациональному инвестору для выбора фонда исходя из условий?
3. Какой фонд вы посоветуете инвестору? Дайте обоснование своего выбора и подкрепите свое мнение расчетом соответствующего критерия.

     Решение

     1) Показатели эффективности управления  портфелем имеют одинаковую структуру. В числителе стоит превышение доходности портфеля над ставкой без риска (r_р – r_f), поскольку именно данная величина должна выступить в качестве премии за риск портфеля. В знаменателе ставится показатель риска, который может быть или величиной бета, или стандартным отклонением, или (для портфеля облигаций) относительной дюрацией. Первый показатель называют коэффициентом Шарпа. Он равен:

     Коэффициент Шарпа ,

     где: r_p – средняя доходность портфеля за рассматриваемый период; r_f – средняя ставка без риска за данный период, обычно она рассматривается как средняя геометрическая; σ_р – стандартное отклонение доходности портфеля.

     Коэффициент Шарпа учитывает доходность портфеля, полученную сверх ставки без риска, и весь риск, как систематический, так и не систематический.

     Второй  показатель – это коэффициент  Трейнора. Он равен:

     Коэффициент Трейнора

     В отличии от коэффициента Шарпа в  качестве меры риска в нем учитывается бета портфеля.

     Третий  показатель – коэффициент эффективности для портфеля облигаций. В качестве меры риска используется относительная дюрация. Он равен:

     Коэффициент эффективности портфеля облигаций  ,

     где: D_p/D_m – отношение дюрации портфеля облигаций к дюрации рыночного портфеля облигаций.

     2) Исходя из условий задачи следует использовать коэффициент Шарпа, так как нам известны ожидаемая доходность, безрисковая ставка, стандартное отклонение.

     3) Найдем коэффициент Шарпа для  фонда А:

     Коэффициент Шарпа  т. е. на единицу риска инвестор получит 0,34375 единиц вознаграждения.

     Для фонда В:

     Коэффициент Шарпа  т. е. на единицу риска инвестор получит 0,36 единиц вознаграждения.

     Для фонда С:

     Коэффициент Шарпа  т. е. на единицу риска инвестор получит 0,4375 единиц вознаграждения.

     Ответ: можно сделать вывод, что фонд С лучше. Так как инвестор на единицу риска получит 0,4375 единиц вознаграждения. 
 
 

     Задача 19

     ОАО «Венера» и «Сатурн» имеют следующие  возможности для привлечения заемных средств в сумме 100 млн.

 

     При этом ОАО «Венера» предпочитает заем по плавающей ставке, а ОАО «Сатурн» – по фиксированной.

     1) Разработайте своп, который принесет выгоду обоим предприятиям.

     2) Какова максимальная ставка комиссии, которую предприятия могут предложить организатору свопа?

     Решение

     1) Рассчитаем дельту между ставками:

 

     Половину  разницы (0,9/2 = 0,45) предприятие «Сатурн» выплачивает «Венере»  13,4% – 0,45% = 12,95%.

     «Венера»  же выплачивает «Сатурну» плавающую ставку Libor.

     Таким образом, платежи и поступления  каждого предприятия будут следующими:

     Предприятие «Венера»:

     – берет заём под 12%

     – платит ставку LIBOR предприятию «Сатурн»

     – получает от «Сатурна» ставку 12,95%

     в итоге получает заем по плавающей  ставке LIBOR – 0,95

     Предприятие «Сатурн»:

     – берет заем по ставке LIBOR + 0,6

     – выплачивает «Венере» ставку 12,95%

     – получает от «Венеры» LIBOR

     в итоге получает заем по фиксированной  ставке 12,95 – 0,6 = 12,35%

     Таким образом, выигрыш предприятия «Венера» составил 0,1 + 0,95 =1,05%, выигрыш «Сатурна» также составит 1,05% × (13,4 – 12,35).

     2) Максимальная ставка комиссии  не может быть больше разности  между дельтами фиксированных и плавающих ставок, то есть не более 0,9%, что составляет 0,9% × 100 млн. = 900 тыс.