Шпаргалки по "Основам эконометрики и математического моделирования"

                   3. Геометрическая интерпретация  и основные свойства задачи  ЛП. Графическое решение задачи .

Решения задачи – планы  – наборы из 2-х чисел х₁ и х₂, которые можно интерпретировать как точки двухмерного пространства.

Каждое ограничение  системы представляет собой полуплоскость (выпуклое множество).

Выпуклым называется множество, которое вместе с любыми своими точками х₁ и х₂ содержит и все точки отрезка х₁х₂, т.е точки опр-ся из ур-ия:

х₁+λх₁+(1-λ)х₂

Полуплоскости пересекаются, образуя при этом прямую, отрезок, выпуклый многоугольник, неограниченную выпуклую многоугольную область, пустое множество, единственную точку.

Геометрич. интерпретацией целевой ф-ии явл. семейство параллельных прямых – линий уровня (линий  постоянного значения целевой ф-ии). Они получаются путем подстановки вместо f(x) некот. чисел.

Вектор-градиент состоит  из частных производных ф-ий по переменным, показывает направление наискорейшего  возрастания целевой ф-ии.

ОДЗ –многоуг. область  планов (решений).

Решить задачу с геометрической точки зрения – значит найти точку х₁* и х₂* (* - знак оптимальности) ОДЗ через которую проходит прямая семейства линий ур-ия, соответствующая наиб.(наим.) значению целевой ф-ии.

Порядок решения задачи ЛП графическим способом:

1. Построить ОДЗ.

2. Построить вектор-градиент.

3. Провести перпендикулярно  вектору-градиенту линию ур-ия f=0.

4. переместить линию  ур-ия f=0 в градиентном направлении так, чтобы она коснулась ОДЗ в крайнем положении.

Макс. или мин. достигается  в вершинах. В ходе решения могут получиться след. результаты:

1. Оптим. план единственный, т.е. ОДЗ и линия уровня в  разрешающем положении имеют  1 общую точку.

2. Оптим. планов бесконечное  множество, в разрешающем положении  линия уровня проходит через  грань ОДЗ

3. Задача не имеет решений ОДЗ=Ø.

 

 

33. Модель макроэкономического  равновесия Кейнса.

1*. S(Y)=Y-C(Y), C – потр-ие

ф-ия сбер-ий зависит от нац. дохода >, чем от нормы %.

S’(Y)=1-C’(Y)   ф-ия сбер-ий возрастает

т.к. 0<C’(Y)<1, то 0<S’(Y)

2*. W_o  номин. з/п фиксир., т.к. профсоюзы не дают ее понизить

3*. При описании трех рынков (ден., труд., тов.)

 должны учит-ся и деньги  у людей на руках.

Q(i) – ф-ия убывающая от i.

Равн-е на рынке товаров и  услуг:

S(Y)=Y-C(Y)=I(i)

На рынке труда:

Y=F(L)

F(L) – произв-ая ф-ия от трудов. ресурсов

F’(L)=W_o/p

Ден. рынок:

pSY+Q(i)=N

И того 4 ур-ия, 4 неизвестных (i, Y, L, p).

Все рынки увязаны.

 

 

34. Условия  оптимальности по Парето

Исследовал матем обмен  товарами. Основное понятие–парето-оптимальность–это обобщение точки min (max) числ. ф-ции на случай неск. ф-й. Решение наз. парето-оптим., если значение люб. из критериев может быть улучшено лишь за счёт ухуд-ия знач-я по остальн. критериям (хотя бы по 1). Реальн. экон. задачи требуют учёта нескл. крит-ев. Они против-т др. др, линейная свёртка част. крит-в не позвол-ет свести задачу к однокритной. Рассмотрим признаки оптим-ти Парето.

x<R^k  , R^k – векторное простр-во (k-мерное), x (x₁,x₂, …,x_k)- k-мерный вектор

x - множ-во альт-тив, на нём заданы n скалярных фун-й: f₁(x₁), f₂ (x₂), …, f_n(x)ⁿ - критерии оценки кач-ва альт-вы x. Из них обр-ся вект. критерий: f(x)= (f₁(x), f₂ (x),…, f_n(x)). Кажд. из фук-ий максим-ся на множ-ве альт-тив x. (x,f) – обозн-ние многокрит-х задачи.

Рассм. альт-вы:

 x¹= (x₁¹, x₂¹ ,…, x _n¹)

 x²= (x₁², x₂²,…, x _n²)

x¹~ x², если f_i(x¹)= f_i(x²), i=1,m

x¹> x² , доминир-ет альт-ву x², если f_i(x¹)>= f_i(x²), i=1,m, хотя бы 1 нер-во строгое.

Те альт-вы из x, для кот. не сущ-ет доминир-х, наз. парето-оптим-ми.

Множ-во всех по оптим. по Парето альт-тив P(x,f) – паретовое множ-во. Как правило парет. множ-во явл-ся бескон-ым. поэтому необх-мо доп. U  для выбора неск наил-их альт-в b.

(x,f) – x принадлежит R^k

альт-ва  x= (x₁,x₂, …,x_n) принадлежит Х

f(x)= (f₁(x), f₂ (x),…, f_n(x))  f_i(x)—max, i=1,n

Отложим на осях f₁(x) и f₂(x). Пусть задано некот множ-во F, из него выберем нек оценку f(x). Любая точка из конуса с(х) с вершиной в точке f(x).

B принадл-ит Rⁿ, x принадл-ит В, λ x принадл-ит В, λ≥0 (так опред-ся конус).

Если а=(а₁, а₂) принадл. с(х)

а≠ f(x), a_i≥ f_i(x), i=1,2 (среди этих нер-в имеется хотя бы 1 строгое)

Рассм-им пересе-ние  векторных  оценок с конусом, получим заштрих  обасть. Возмём точку на правой границе  множ-ва F₁, обоз-им её f'(x). В этой точке F пересекает с(х),кот состоит из единств точки f'(x*).Для этой вект оценки f'(x*) не сущ-ет  во множ-ве F к-л др оценки, кот бы доминир-ла над f'(x*), значит эта оценка – Парето-оптимальна.