Шпаргалки по "Основам эконометрики и математического моделирования"

13.Градиентные методы для задач нелинейного и выпуклого программирования.

 Градиентные методы представляют собой одну из наиболее распространенных групп методов поиска безусловного экстремума. Все  они используют значения градиента функции .

Различают градиентные методы 1-го и 2-го порядка. Согласно градиентным методам 1-го порядка при поиске экстремума функции используются значения ее первых производных.  
Согласно градиентным методам 2-го порядка при поиске экстремума функции наряду с первыми, используются значения ее вторых производных.

 

14.Матричные игры и методы их решения.

Теория игр прим-ся в условиях конфликтной ситуации: 2 и > участников, каждый из кот-х стремится максим-ть свою выгоду за счет др участника.  Под термином игра поним-ся совок-ть предварительно оговор-х партий и правил.

Пусть в игре участвует n игроков: P1, P 2, … P n. Как должен вести игру каждый из них чтобы получить макс-но выгодный доход для себя?

V1,V2,…Vn  є R. Если Vj >0 j-й игрок выиграл, Vj < 0 проигрыш j-го игрока, Vj =0 ничья.

Если 2 игрока – то игра парная, если n>2, то множестве-я. В завис-сти от стратегии игры бывают конечными и бескон-ми. Стратегии – последовательность действий , однозначно определяющая деят-ость  игроков.

- кооперативные (коалиции  созданы заранее)

- бескоалиционные

- коалиционные (игроки  могут вступать в соглашения  и организ-ть коалиции)

По виду выигрышей  игры подразделяются на матричные, выпуклые и другие. Матричная игра 2-х игроков задается матрицей А.

       а11   а12  …  а13

А=  а21   а22   ... а23

                …     

       а31  а32   … а33

элементы – действит-е  числа, строки – стратегии 1-го игрока, столбцы – стратегии 2-го игрока. 1-й игрок играет на макс-е выгоды, 2-ой на миним-й проиграш.

α=max min aij

       i      j

 

β=min max aij        Стратегии на пересечении min и max наз-ся минимаксимумами.

              j             i

В матричной игре всегда α≤β. Матричные игры, для кот-х α=β, решаются, при этом α=β=γ (γ- цена).

 

15. Производственная  функция. Основные понятия, свойства 

Q=A ^. L^{α .} k^β, где

Q – V пр-ва 

A, α, β – const

L,K – труд, капитал

Если α + β=1, то функция  Кобба-Дугласа (К-Д) является однородной (т.е. она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства)

Если α + β>1, то функция отражает возрастающую отдачу, при α + β<1 –  убывающую отдачу.

Свойства:

1. Производств. функция К-Д устанавливает зависимость величины созданного общественного продукта от совокупных затрат живого труда х1 и суммарного V, применяемых пр. фондов х2

y= A₀ x1^α1 x2^α2 ,  A>0 (1)

A₀ - коэффициент, учитывает влияние факторов, не вошедших в это уравнение, их конкретное числовое значение определяются на основе статист. данных с помощью корреляционных исследований.

Если α1 + α2 =1, то увеличение ресурсов в m раз приводит к увеличению V производства также  в m раз. Это  отвечает предположению, что удвоение числа предприятий к-л отрасли  приводит к удвоению выпускаемых  отраслью продуктов.

2.Разделив обе части уравнения (1) на  х1, получаем среднюю произв-ть труда

Средняя произв-ть труда показывает, сколько единиц выпускаемой продукции приходится на ед. затрачиваемого труда. Для ф-ции К-Д с увеличением затрат труда средняя произв-ть труда падает.

3.Пред-ая произв-ть труда показывает, сколько дополн. ед. продукции принесет дополн. ед. затраченного труда. Для произв. ф-ции К-Д предельная произв-ть труда всегда ниже средней производительности.

4.Эластичность выпуска показывает, на сколько % увеличивается выпуск при увеличении затрат труда на 1%. V продукции в расчете на единицу используемых произв. фондов называется фондоотдачей.

 

16.Общая схема  МОБ, модели МОБ, решение системы  ур-ний МОБ.

В основу моделей МОБ  положены следующие предположения:

1.Нац. экономика страны  производит только 1 вид продукции.

2.Каждая отрасль потребляет  продукцию др. отраслей, причем если  производство продукции некот.  отрасли увеличили в k раз, то  и объемы потребления в этой  отрасли также увеличатся в  k раз. Имеет место прямая пропорциональная зависимость.

3.Часть выпускаемой  продукции используется в сфере  материального производства и  сфере услуг, 2-я часть идет  на гос. потребление ДХ и  ВН.

В основу моделей положен  МОБ – таблица, которая характеризует  пр-во и распределение вал. продукции, а также описывает элементы валовой стоимости.

Предп-ся наличие опред . кол-ва отраслей

Отр. произв	Отр. Потребители				Конечн. Использование
	1	2	…	n	конеч. Потреб.	Ва л. нак-е	сальдо exp-imp	валов. выпуски
1	Х11	X12	…	X1n	Y11	Y12	Y13	X1
2	Х21	X22	…	X2n	Y21	Y22	Y23	X2
…	…	…	…	…	…	…	…	…
n	Xn1	Xn2	…	Xnn	Yn1	Yn2	Yn3	Xn

 

                  Пок. V11  V12  …   V1n                  ∑Xij =Пi, i=1,n (промежут. отр)

                  З/П   V21  V22  …   V2n                   

                   Pr.    V31  V32  …   V3n

           Косв.Н    V41  V42  …   V4n                  ∑Xij =Zj, i=1,n        

       Субсидии  -V51 -V52 …  -V52

                ВВ       x1      x2   …    Xn                   ∑Пi= ∑Zj (суммарное потр)

 

yi =yi1 +yi2 + yi3

Vj= V1j + V2j + V3j +V4j –V5j

xi = ∑xij + yi

xj= ∑xij + Vj

∑yi = ∑Vj

xij=aijxj

aij = xij/ xj

xi = ∑aijxj + yi                             x1                 y1

A = ||aij||                                 x=( x2),       y=  (y2) 

                                                      xn                 yn   

 

x = Ax + y     Ax- ПП,   y –  кон. пр-я

(E-A)x=y

det(E-A) =0

(E-A)^-1(E-A)x=(E-A)^-1y

x=(E-A) ^-1y (ф-ла для выч-ия ВВ)