Шпаргалки по "Основам эконометрики и математического моделирования"

1. Линейные  оптимизационные модели эконом. задач.

Понятие линейного программирования. Линейное программирование – раздел математического программирования, применяемый при разработке методов  отыскания экстремума линейных функций  нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.

Особенностью задач линейного  программирования является то, что  экстремума целевая функция достигает  на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального  исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда – необходимость разработки новых методов.

Задача о  наилучшем использовании ресурсов.

Пусть некоторая производственная единица (цех, завод, объединение и т.д.), исходя из конъюнктуры рынка, технических или технологических возможностей и имеющихся ресурсов, может выпускать n различных видов продукции (товаров), известных под номерами, обозначаемыми индексом j (j=1,..,n). Ее будем обозначать П_j. Предприятие при производстве этих видов продукции должно ограничиваться имеющимися видами ресурсов, технологий, других производственных факторов (сырья, полуфабрикатов, рабочей силы, оборудования, электроэнергии и т.д.). Все эти виды ограничивающих факторов называют ингредиентами R_i. Пусть их число равно m; припишем им индекс i (i=1,..,m). Они ограничены, и их количества равны соответственно b₁,…,b_i,…,b_m условных единиц. Таким образом, b = (b₁,…,b_i,…,b_m) – вектор ресурсов. Известна экономическая выгода (мера полезности) производства продукции каждого вида, исчисляемая, скажем, по отпускной цене товара, его прибыльности, издержкам производства, степени удовлетворения потребностей и т.д. Примем в качестве такой меры, например, цену реализации c_j (j=1,..,n), т.е. с = (c₁,…,c_j,…,c_n) – вектор цен. Известны также технологические коэффициенты a_ij, которые указывают, сколько единиц i–го ресурса требуется для производства единицы продукции j–го вида. Матрицу коэффициентов a_ij называют технологической и обозначают буквой А. Имеем А = [a_ij]. Обозначим через х=(x₁,…,x_j,…,x_n) план производства, показывающий, какие виды товаров П₁,..., П_j,...,П_n нужно производить и в каких количествах, чтобы обеспечить предприятию максимум объема реализации при имеющихся ресурсах.

Так как c_j – цена реализации единицы j–й продукции, цена реализованных x_j единиц будет равна c_jx_j, а общий объем реализации

Z= c₁x_1+…+ c_n x_n

Это выражение – целевая  функция, которую нужно максимизировать.

Так как a_ijx_j – расход i–го ресурса на производство x_j единиц j–й продукции, то, просуммировав расход i–го ресурса на выпуск всех n видов продукции, получим общий расход этого ресурса, который не должен превосходить b_i (i=1,..,m) единиц:

a_i1x_i+…+a_ijx_j+…a_inx_n≤b_i

Чтобы искомый план х=(x₁,…,x_j,…,x_n) был реален, наряду с ограничениями на ресурсы нужно наложить условие неотрицательности на объемы x_j выпуска продукции:

x_j≥0 (j=1,..,n)

Таким образом, модель задачи о наилучшем использовании ресурсов примет вид: найти

  (1.1)

при ограничениях:

 (i=1,..,m)   (1.2)

x_j≥0 (j=1,..,n)   (1.3)

Так как переменные x_j входят в функцию z(x) и систему ограничений только в первой степени, а показатели a_ij, b_i, c_j являются постоянными в планируемый период, то (1.1)–(1.3) – задача линейного программирования.

Задача о  выборе оптимальных технологий.

В задаче о наилучшем  использовании ресурсов определяется оптимальный план выпуска продукции. Пусть при производстве какого–то  общественно необходимого продукта используется n технологий. При этом требуется m видов ресурсов, заданных объемами b_i (i=1,..,m). Эффективности технологий, т. е. количество конечной продукции (в ден. ед.), производимой в единицу времени по j–й (j=1,..,n) технологии, обозначим c_j. Пусть, далее, a_ij – расход i–го ресурса в единицу времени по j–й технологии. В качестве неизвестной величины x_j примем интенсивность использования j–й технологии, т. е. время, в течение которого продукция производится по j–й технологии. Пренебрегая временем переналадок, необходимым для перехода от одной технологии к другой, получаем следующую математическую модель задачи: найти план интенсивностей использования технологий х=(x₁,…,x_j,…,x_n), обеспечивающий максимум выпуска продукции в стоимостном выражении:

  (1.4)

при ограничениях на лимитируемые ресурсы

 (i=1,..,m)   (1.5)

и условии неотрицательности

x_j≥0 (j=1,..,n)   (1.6)

Задача о  смесях.

В различных отраслях народного хозяйства возникает  проблема составления таких рабочих  смесей на основе исходных материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего определенными свойствами. К этой группе задач относятся задачи о выборе диеты, составлении кормового рациона в животноводстве, шихт в металлургии, горючих и смазочных смесей в нефтеперерабатывающей промышленности, смесей для получения бетона в строительстве и т. д. Высокий уровень затрат на исходные сырьевые материалы и необходимость повышения эффективности производства выдвигают на первый план следующую задачу: получить продукцию с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы.

Модель задачи о наилучшем составе  смеси рассмотрим на примере задачи о диете. Имеются пищевые продукты, известные под номерами 1,2,...,n. Они содержат различные питательные вещества, обозначаемые номерами 1,2,...,m (углеводы, белки, жиры, витамины, микроэлементы и др.). Единица j–го продукта содержит a_ij единиц i–го питательного вещества. Для нормальной жизнедеятельности в заданный промежуток времени нужно потреблять не менее b_i единиц i–го питательного вещества. Обозначим через c_j стоимость единицы продукта j–го вида. Требуется выбрать рацион минимальной стоимости, содержащий необходимые количества питательных веществ. План задачи – это количества x_j продуктов каждого вида, обеспечивающие необходимое количество питательных веществ при минимальных затратах на исходные продукты.

Математическая модель задачи: найти

  (1.7)

при ограничениях:

 (i=1,..,m)   (1.5)

x_j≥0 (j=1,..,n)   (1.6)

Задача о  раскрое материалов.

Суть задачи об оптимальном  раскрое состоит в разработке таких технологически допустимых планов раскроя, при которых получается необходимый комплект– заготовок, а отходы (по длине, площади, объему, массе или стоимости) сводятся к минимуму. Рассмотрим простейшую модель раскроя по одному измерению. Более сложные постановки ведут к задачам целочисленного программирования.

Модель задачи раскроя по одному измерению длинномерных материалов (прутков, труб, профильного проката  и др.) может быть сформулирована так. Пусть имеется N штук исходного материала, длина каждой штуки равна L. Нужны заготовки m видов, длины которых равны l_i (i=1,..,m). Известна потребность в заготовках каждого вида, она равна b_i. Изучение вопроса раскроя (построение технологической карты раскроя) показывает, что можно выделить n приемлемых вариантов раскроя исходного материала длиной L на заготовки длиной l_i. Обозначим через a_ij количество заготовок i–го вида, получаемое при раскрое единицы исходного материала по j–му (j=1,..,n) варианту, c_j – отходы при раскрое единицы исходного материала по j–му варианту. План задачи х=(x₁,…,x_j,…,x_n), где x_j – количество единиц исходного материала, планируемое к раскрою по j–му варианту.

Функция цели – минимум отходов, получаемых при раскрое:

  (1.10)

при ограничениях: на число  единиц исходного материала

                               (1.11)

на удовлетворение ассортиментного  спроса потребителей

 (i=1,..,m)   (1.12)

и условии неотрицательности

x_j≥0 (j=1,..,n)   (1.13)