Рациональные дроби в 8 классе

Если надо сложить несколько  дробей, из которых некоторые имеют  одинаковые знаменатели, то можно сложить сначала дроби с одинаковыми знаменателями.

Пример 5.

= .

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ

Умножение и деление алгебраических дробей удобно начать с умножения  и деления арифметических дробей. Здесь также полезно будет провести параллель между теми и другими дробями и составить таблицу:

В арифметике	В алгебре
	(правило умножения дробей)

 

Рассмотрим традиционное правило умножения дробей: «чтобы умножить дробь на дробь, надо числитель  первой дроби умножить на числитель  второй, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй и первое произведение сделать числителем дроби, а второе знаменателем». По этому правилу при умножении дробей и надо: 1) найти ас; 2) найти bd; 3) написать дробь . Это правило расходится с алгоритмом умножения дробей. На самом деле порядок операций другой:

1) пишут дробную черту; 2) числитель ас; 3) знаменатель bd. Краткое правило хорошо отражает этот алгоритм: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Ученик интуитивно понимает, что при умножении дробей получается дробь. Остается сказать, что сделать с числителями и знаменателями перемножаемых дробей. Поэтому требовать от учащихся заучивать первое правило нецелесообразно. То же касается и правила деления дробей. Полезно на практике сравнить работу учащихся по формуле и по словесной формулировке.

Для убедительности  можно  предложить учащимся проверить тождество  при различных системах значений а, b, с, d. Например,   при   1) а=4, b=7,с=14, d=20; 2) а =, b =, с =, d = ; 3) а = 0,2, b = 0,6, с = 1,3, d =0,6.

В частности, можно рассмотреть  формулу при b = 1, затем при

d = 1 и задать вопрос, какое правило выражает тождество:

1. a · = ;   2) · c = .

Затем переходят к упражнениям, располагая их по степени трудности.

Наибольшие затруднения  возникают тогда, когда для сокращения дроби приходится разлагать на множители числитель и знаменатель. Первые из более сложных упражнений выполняют подробно.

Пример. .

Затем от учащихся можно  потребовать, обозначая действие умножения числителей и знаменателя на знаменатель, сразу писать их в виде произведения простейших множителей. Часть примеров нужно решить устно.

Правило деления дробей обычно вводят так, как оно дано в учебнике, или сравнивают с правилом деления арифметических дробей:

 

В арифметике	В алгебре
	(правило деления  дробей)

 

 

 

2.3. Конспект урока-практикума «Рациональные дроби»

Цель урока: закрепить и систематизировать теоретические знания  по теме «Рациональные дроби» и умения и навыки решения задач с применением основного свойства дроби, на применение основных операций над рациональными дробями, на составление дробно-рациональных уравнений.

Ход урока:

I. Повторение теоретического материала по теме «Рациональные дроби» посредством устного опроса:

- приведите примеры целых  выражений, дробных выражений;

- какую дробь называют  рациональной?

- какие значения переменных, входящих в выражение, называют  допустимыми значениями?

- дайте определение тождества,  приведите пример;

- сформулируйте основное  свойство дроби; 

- что произойдет со  знаком дроби, если изменить  знак ее числителя? знаменателя? числителя и знаменателя?

- как сложить дроби  с одинаковыми знаменателями? 

- как выполнить вычитание  дробей с одинаковыми знаменателями? 

- как выполняют сложение  и вычитание дробей с разными  знаменателями?

- как умножить дробь  на дробь?

- каково правило возведения  дроби в степень?

- сформулируйте правило  деления дробей.

II. Устно. Решение примеров:

1. Из перечисленных выражений назовите целые и дробные:

3a; ; 15p²q; x + ; a³ - ; ;

2. Укажите числа, которые  не входят во множество допустимых  значений переменной дроби:  .

3. Примените основное  свойство дроби для приведения  дроби  к знаменателю ab + b².

4. Измените знак числителя;  знаменателя; числителя и знаменателя  дроби: 

.

5. Вычислите устно:  ; ; ;

III. Решение задач на применение основных операций над рациональными дробями, на составление дробно-рациональных уравнений:

На этом этапе урока  подбираются задачи на применение основного  свойства дроби, основных операций над  рациональными дробями для закрепления  материала по данной теме.

Задача 1. Доказать тождество .

В данном примере целесообразно  использовать метод преобразования левой части, чтобы в итоге  получить правую часть.

1. .
3. .

Но пример еще не решен  до конца. Напомним, что тождество  справедливо лишь для допустимых значений переменных. Таковыми в данном примере являются любые значения а и b, кроме тех, которые обращают знаменатели дробей в нуль. Значит, допустимыми являются любые пары чисел (a; b), кроме тех, при которых выполняется хотя бы одно из равенств: 2a – b = 0, 2a + b = 0, b = 0.

Задача 2. Лодка прошла 10 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

Пусть x км/ч – собственная скорость лодки, тогда по течению реки она плывет со скоростью (x +2) км/ч, а против течения - со скоростью (x - 2) км/ч.

По течению реки, т.е. со скоростью (x +2) км/ч, лодка прошла путь 10 км. Значит, время, затраченное на этот путь, выражается формулой ч.

Против течения реки, т.е. со скоростью (x -2) км/ч, лодка прошла путь 6 км. Следовательно, время, затраченное на этот путь, выражается формулой ч.

По условию задачи на весь путь (т.е. на 10 км по течению и 6 км против течения) суммарно затрачено 2 ч. Это значит, что + = 2.

+ – 2 = 0

 

Т.е. .

Первое условие равенства  дроби нулю приводит к уравнению  = 0 => 2x = 0 или 8 – x =0, т.е. x = 0 или x = 8.

Второе условие равенства  дроби нулю обязывает нас поочередно подставить найденные значения x = 0 и x = 8 в знаменатель . Поскольку ни при x = 0, ни при x = 8 знаменатель не обращается в нуль, оба значения являются корнями уравнения.

Нужно выяснить, чему равна  собственная скорость лодки, т.е. чему равно значение x. Мы получили, что либо x = 0, либо x = 8. Первое значение нас явно не устраивает: собственная скорость лодки не может быть равной 0 км/ч (по условию лодка плывет, а не стоит на месте). Второе значение нас устраивает.

Ответ: собственная скорость лодки 8 км/ч.

IV. Самостоятельная работа.

Работа в группах (количество и состав групп выбирает учитель  в зависимости от возможностей учащихся). После завершения работы необходимо заслушать отчет каждой группы.

Задание каждой группе: Составьте тождество, содержащее только рациональные дроби, при доказательстве которого используется основное свойство дроби, представлены все арифметические операции над рациональными дробями и результатом которого является целое выражение.

(Для того чтобы получить  тождество необходимо составить  выражение, провести все преобразования, а затем это выражение приравнять к полученному в результате преобразований).

V. Постановка домашнего задания:

Ученикам предлагается поработать на индивидуальных карточках (пример оформления см. Приложение №4).

 

Заключение

В данной работе была достигнута поставленная цель - проанализирована методика изучения рациональных дробей в курсе алгебры основной школы и разработан урок-практикум по теме «Рациональные дроби». Цель была достигнута с помощью решения поставленных задач. Была определена роль и место темы в курсе алгебры основной школы, проведен методический анализ темы в учебнике алгебры 8 кл. под ред. С.А.Теляковского, сделан сравнительный анализ изложения темы в других учебниках алгебры, проанализирована методика изучения основного свойства рациональных дробей и формирования основных алгоритмов действий над ними. Был проанализирован и систематизирован теоретический материал по данной теме. В данной работе представлены некоторые примеры использования наглядных материалов при изучении темы «Рациональные дроби».

 

Литература

1. Алгебра в 6-8 классах: Пособие  для учителя [Текст] / Ф.М. Барчунова, А.А. Бесчинская, Л.О. Денищева и др.; Сост Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. - М.: Просвещение,1988. – С. 161-180.
2. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2007. –

С. 99-118.

3. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений [Текст] / А.Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2007. – С. 7-33.
4. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2005. – С. 3-46.
5. Барыбин, К.С. Методика преподавания алгебры [Текст] / К.С. Барыбин.- М., 1965. – С. 182-201.
6. Гаврилюк, Л. Урок - игра «Действия с алгебраическими дробями» [Текст] /                Л. Гаврилюк // Математика. - 2002. - № 2. – С. 3-7.
7. Дробышева. И. Изучение темы «Дроби» [Текст] / И. Дробышева, Ю.Дробышев // Математика. - 2000. - № 2. – С. 3-7.
8. Жилина, Л Преобразование рациональных выражений. Алгебра 8 класс [Текст] / Л.Жилина / Математика.- 2000.- № 23. – С. 32.
9. Иванчук, Н.В. Восстановление утраченных знаний и навыков [Текст] / Н.В. Иванчук, Н.А. Резник // МШ. - 1996. - №6. – С. 6-10.
10. Иванчук, Н.В. Многоэтажные дроби [Текст] / Н.В. Иванчук// МШ. - 2002. - №7. – С. 55-60.
11. Лахова, Н.В. Алгебраическая пропедевтика при сложении дробей с разными знаменателями [Текст] / Н.В. Лахова// МШ.1996. - №2. – С. 25-26.
12. Лященко, Е.И. Методический анализ учебного материала по математике [Текст] / Е.И Лященко// Современные проблемы методики преподавания математики/ Сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. - М.,1985. – С. 143-150.
13. Макарычев, Ю.Н. Изучение алгебры в 7-9 классах: книга для учителя [Текст] / Ю.Н. Макарывчев, Н.Г. Миндюк, С.Б. Суворова. - М.: Просвещение, 2005. – С. 80-91.
14. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева. – М.: Дрофа, 1999. – С. 3-64.
15. Мельниченко Е. Совместное изучение темы «Многочлены» и «Алгебраические дроби».7 класс [Текст] / Е. Мельниченко// Математика.-2000.- № 22. –

С. 29-32.

16. Минаева, С.И. Алгебраические дроби.8 класс [Текст] / С.И. Минаева// Математика.- 2002. - №№37,38,41,44.
17. Чичаева, Н.В. Один из приемов обучения решению задач [Текст] / Н.В. Чичаева// МШ. - 1988. - №2. – С. 19-21.

 

 

 

 

 

 

Приложение № 1

Преобразование  рациональных выражений

        Построение  рациональных                                  Многоэтажная 

                    выражений                                                       дробь

 

 

Приложение № 2

Опорный конспект темы «Основное свойство дроби»

 

Приложение № 3

Опорный конспект темы «Умножение и деление алгебраических дробей»

Рис. 1

     

Рис. 2

Приложение № 4

Примеры индивидуальных карточек для проверки усвоения материала темы

Тест 1. Поставьте галочку на пересечении выражения и правильного ответа.

Вычислите устно	1	2	3	4	5	6	7

 

Тест 2. Выполните сокращение и запишите результат в каждой ячейке.

Каждую дробь	сократите на
	x – 1	(x – 1)2	(x – 1)y

 

Задача. Расстояние между городами А и В 50 км. Из города А в город В выехал велосипедист, а через 2 ч 30 мин вслед за ним выехал мотоциклист. Двигаясь со скорость в 2,5 раза большей, чем у велосипедиста, мотоциклист прибыл в В одновременно с велосипедистом. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста.