Алгебра элементтерін оқытуда дамыта оқыту технологиясын қолдану

  5-ші  жолдағы 184 саны — есептің шешімі.

  Осы әдіс оқушы санасында «қара даққа» айналып, теңдік ұғымын күңгірттендіріп отырады. Бастауыш мектеп білім негізі болғандықтан қалыптасқан «қара дақтарды» жою уақыт өткен сайын қиындай түседі. «Бір қарын майды бір құмалақ шірітеді» деген мақалдың тура мағынасына үңілейікші. Түскен құмалақты дер кезінде алуға болады, ал «болары болып, бояуы сіңгеннен» соң мүмкіндік азаяды. Осьндай тығырықтан шығудың жолы бар ма?

  Бастауыш  класта оқушылардың күрделі логикалық ойлау жүйесінің қалыптасуына байланысты «жолдап» шығару әдісіне соқпай өту мүмкін емес дерміз. Олай болса амалдарды осы әдіс бойынша шығарып жаттықтырған соң, амалды орындаудың күрделі жолына өту керек. Атап айтқанда, есепті шығару барысында орындалатын амалдардың қадамдық жолдарын қалдырмай жазып отыру шарт.

Мысалы, 

  94+75-3-96:4-111=94+225-24-111=319-24-111=295-111=184

  Міне, енді ғана теңдік белгісі өзінің орнын  тауып, теңдік ұғымының шын мағынасына ие болды:

    184=184=184=184=184

    Балаларда математикалық өрнек жайлы түсінігін  қалыптастырғанда сандар арасына қойылған амал таңбасының екі түрлі мағынасы бар екендігін ескеру қажет: ол бір жағынан сандар қолданылатын амалды білдіреді (мысалы 6+4-алтыға төртті қосу) екінші жағынан амал таңбасы өрнекті белгілеу қызметін атқарады (6+4- бұл 6 мен 4 сандарының қосындысы).

    Бастауыш  сынып оқушыларының өрнек жайындағы  түсінігі арифметикалық амалдар  туралы ұғыммен тығыз байланыста қалыптасады және оларды жақсы игерулеріне көмектеседі.

    Сандық  өрнектермен істелетін жұмыстар бастауыш сыныптарда 4 жыл бойы үздіксіз жүргізіледі. Әрбір арифметикалық  амалды меңгеру барысында оларға сәйкес түрдегі сандық өрнектер қарастырылады, алдымен қарапайым өрнектер, содан соң біртіндеп күрделі өрнектер туралы түсініктер қалыптасгырылады. Оқушылар математикалық өрнектерді оқи білуге және жаза білуге, өрнектің мәнін ееептеуге, сандармен және басқа сандық өрнектермен салыстырулар жасауға үйренеді. Бұл аталған жұмыстар оқушыларды есеп шығаруға үйрету жұмыстарымен тығыз байланыста кұрылып жүргізуілі мүмкін.  

Өрнекпен  жұмыс істеу әдістемесі үш кезеңге  бөлінеді:

І-кезең (бір арифметикалық амалмен берілген). мысалы:

5+2, 6-4, 2-3, 15:5.

ІІ-кезең (бір басқаштың екі және оданда көп арифметикалық амалдармен берілген). мысалы: 4+5-3, 6-2-2, 8:2-3, 20:2:5.

Ш-кезең (әр түрлі басқыштың екі және оданда көп амалдарымен берілген) мысалы: 5-3+10, (27+13):4, 4- 8+15:5 т.б.

Бірінші өрнекпен – екі санның қосындысымен  таныстыру І сыныпта  10 көлемінде қосу және азайтуды оқығанда болады.

    Жиындарымен операциялар орындағанда балалар  алдымен қосу мен айырманың нақты мағынасын меңгеріп алады, сондықтан 5+1, 6-2 түріндегі жазуда амалдардың таңбаларын олар "қосу", "азайту" сөздерінің қысқаша белгісі ретінде түсінеді. Оқушылар санға бірнеше бірлікті қосқанда, сонша бірлікке артатынын, ал бірнеше бірлікке азайтқанда сонша бірлікке кемитінін алдағы уақытта біледі мысалы, 4-ті  2-ге артырса, 6 шығады. 7-ні 2-ге кемітсе, 5 шығады содан соң "плюс", "минус" амалдар таңбаларының аттарын білетін болады, мысалдарды оқиды (4 плюс 2 алтыға тең, 7 минус 2 беске тең).

    Компоненттердің және қосу амалы нәтижесінің аттарымен  таныса отырып, оқушылар қосудың нәтижесі болатын санды белгілеу үшін "қосынды" деген терминді пайдаланады. Оқушылар алғаш екі санның қосындысымен таныстырылады. Қосудағы сандардың біліміне сүйене отырып мүғалім "плюс" таңбасымен қосылған екі саннан түратын қосуға берілген мысалдардың жазуы "тең" таңбасының екінші жағында тұрған сан сияқты аталады. (9-қосынды, 6+3 қос).

                                                                 =

        Қосынды                               Қосынды 

    Балалар "қосынды" деген терминнің жаңа мәнін өрнектің мәні ретінде меңгерулері  үшін мынадай жаттығулар беріледі сандардың (7 және 2) қосындысын жазындар. Сандардың (3 пен 4) қосындысының неге тең екенін есептеңдер. 6+3 оқындар; қосынды неге тең екенін айтындар.

    9=+  санды сандар қосындысымен алмастыр. Сандар қосындысын салыстыр. 6+3 және 6+2 олардың қайсысы көп. Осындай жаттығулардан кейін "қосынды" екі түрлі мағынасын көрсет:

    1) сандардың қосындысын жазу үшін оларды "плюс" 
таңбасымен қосу керек.

    2) қосындының мәнін табу үшін берілген сандарды 
қосу керек.

    Екі одан да көп амалдардан тұратын өрнектермен оқушылар ±2, +3, ±4 есептеу әдістерін меңгергенде оқу жылының басында танысады.

    10 көлемінде қосу және азайтуды  оқығанда үш және одан да  көп артық сандардан тұратын  3+1+1, 4-1-1, 2+2+2+2, 7-4+2,

    6+3-7, 10-7+5=3+5-8 мұндай жазулар теңбе-тең  түрлендіруге жасалған алғашқы адам болып табылады.

    Оқушыларды 10+(6-2), (5+3)-1 түріндегі өрнектермен  таныстыру әдістемесі қарастырылады. Бұған мынадай тапсырмалар ұсынылады:

1. 2 санына 6 мен 4 сандарының қосындысын қосу 
   керек.
2. 10 мен 7 сандарының айырмасына 3-ті қосу керек
3. 8 ден 6 мен 2 сандарының айырмасын шегеру керек 
   Бұдан әрі 17-7*11,'15+1*5+10, 17-1*17-10 салыстыру жұмысы жүргізіледі (қалталы поплотнода көрсетеді).

    Бұдан соң 5 және 2 цифрларын "+" таңбаларынан өрнек қарастыру ұсынылады. 10+5 және 2. М. (жазады) сен нені құрдың? 10+5 пен 2 сандарының қосындысын 10+5+2; М: осы сандардан басқа қосындыны қалай құрамыз  5+2+10 өрнегі М: Енді тағы нені құруға болады (айырмасын)

    10-(5+2), 10+(5-2), (5-2)+10 сандарынан құрылған өрнек  түсіндіріледі. 

    I сыныпта (50+20)±(30+10), өрнектері "математикалық өрнек", "математикалық өрнектің мәні" терминдері енгізіледі сондай-ақ сан мен көбейтіндіден немесе екі санның бөліндісінен тұратын өрнектер енгізіледі мысалы 7 • 3-5, 27:9+17 Амалдарды орындау тәртібі (6+18:4) 50-(3 • 9) өрнектерді оқушылар жазуға оқуға жатығады, есептеулерді түсіндіре отырып мәндерін  табады.

    Күрделі өрнектерде қарапайым өрнектерді қосатын  амалдар таңбаларының да екі жақты мағынасы бар, оны оқушылар біртіндеп айқындай түсінеді мысалы 20+(34-8) өрнегінде "+" таңбасы 20 саны мен 34 және 8 сандарының айырмасына қолданылатын амалды білдіреді сонымен "+" таңбасы қосындысын белгілеу үшін қолданылады.

    Балалар II сыныпта күрделі өрнектерінде амалдарды орындау тәрібімен танысқаннан кейін және компоненттері өрнектермен берілген қосынды, айырма, көбейтінді, бөлінеді ұғымдарын қалыптастыруға кіріседі.

    Оқушылар  өрнектерді оқуға, құруға, және жазуға көбірек жаттығу процесінде оқушылар біртіндеп күрделі өрнектің түрін  тағайындау дағдысын игеретін болады. Қарапайым       өрнектермен       берілген       амалдар компоненттерімен тұратын күрделі өрнектерді оқу және жазуға жаттығулар жүргізу балалардың амалдар тәртібі ережесін игеруге көмектеседі, сондай-ақ (х-5)+9=24 түріндегі теңдеулерді шешуге дайындайды.

    Жиындарға қолданылатын амалдарды орындау барысында, балалар алдымен қосынды мен айырманың нақтылы мәндерін игереді, сондықтан 5+1, 6-2 түріндегі амалдардың таңбаларын олар «қосу, азайту» сөздерінің қысқаша белгісі ретінде түсінеді. Бұл кезеңде оқушылар сандық өрнек пен оның мәнінің теңдігі түрінде берілген қарапайым сюжеттік есептердің шешуімен танысады, мысалы 6+1=7 түріндегі. Он көлеміндегі қосу және азайту амалдарын оқығанда осындай өрнектердің мағынасы кеңінен ашыла түседі. Оқушыларды есептер шығара білуге үйрету қосу және азайту амалдары ұғымдарын меңгертумен, осы ұғымдардың кеңейе түсуімен байланыстырылып жүргізіледі. Бұл жұмыстар түрі және формасы жағынан әр түрлі больш келетін жай есептерді шығара білумен үздіксіз байланысты болады. Оқушылар сандық мысалдарды, дерексіз сандар арқылы бсрілген, іс естелік түрде берілгеп және сюжеттік мәтінді есептерді шығарады, кесінділердің ұзындығы өлшеуде орындатын карапайым амалдарды орындайды. Өрнектердің дербес бір түрі ретінде «қосынды» және «айырма атауларымен танысады, оларды бір-бірімен салыстыра білуге үйренеді. Осы кезеңде оқушылар «бірнеше бірлікке артық (кем)» ұғымдарымен танысады, «берілген саннан бірнеше бірлікке артық (кем)» болатын санды табуға берілген есептерді шығаруда бұл ұғымдарды қолдана білуге үйренеді. Сонымен қатар «қаншасы артық (кем)?» сұрақтары бойынша айырманы табуға берілген есептермен де танысады. Мұндай есептерді шығару барысында 8-2, 8+3, т.с.с. түрдегі өрнектер құрылады және осы өрнектердің нақты мәндері кеңінен айқындала түседі.

    Қосу  мен азайту амалындағы белгісіз компонентті табуға берілген есептерде, сондай-ақ, берілген саннақ бірнеше бірлікке артық (кем) санды табуға берілген есептерде бұл өрнектердің нақты мағынасы одан өрі кеңінен ашыла түседі. Мұндай есептер «Жүз көлеміндегі сандар» тақырыбын өткенде жанама формасында беріледі. Бастауыш сыныпттарда сандық өрнектерді оқи және жаза білуге үйретуге берілген есептермен жұмыс жасау әдістемесі  Г.И. Кадыкалованың ғылыми-әдістемелік журналдарда жарияланған бірнеше мақалаларында ашып көрсетілген (1), (2), (3). Бұл мақалаларында автор есептер мен өрнектер арасындағы байланыстарды ашып керсетуге тырысқан, сандық өрнектердің нақты мағынасын ұғындыруды көздейтін жаттығулар жүйесін белгілеуге (тағайындауға), есептерді өрнек кұру арқылы шығарудың және берілген өрнектер бойынша есеп құрастырудың жолдарын көрсетуге жұмыстанған. Алайда, бұл мақалаларда керсетілген сюжетті есептер бойынша өрнек құру деп айтылатын есептер мен өрнектердің арасындағы байланыстың сипатталуы және жекелеген жағайларда өрнектер бойынша есептер құру, сандық өрнек ұғымын қалыптастыратын жаттығулар жүйесі, сонымен бірге мәтінді есептермен жұмыс жасау тәсілдері бастауыш сыныптарда есеп шығару барысында сандық өрнектерді оқып-меңгеру әдістемесінің жеткілікті талдамасы (кейде қажетті деп те айтады) болып табылмайды.

    Мұндай  әдістеменің талдамасын дайындау үшін қажетті және жеткілікті шарттар  деп төмендегі шарттарды атауға болады: біріншіден, сандық өрнек ұғымын кез-келген формада - мазмұнды, кестелік, сызбалық және аналитикалық - берілген есептердің математикалық құрылымы деп түсіну. Бұл әдістемелік талдама жасауда нақты амалдарды қарастыратын сандық өрнектердің байланыстарын неғұрлым кең түрде алып қарауға мүмкіндік береді. Екіншіден, сандық өрнектерді нәрселердің жиындары арасында орындалатын практикалық іс-әрекеттердің жазылуын қамтып көрсететін сандар арасындағы бір немесе бірнеше арифметикалық амалдардың жазылуы деп ұғыну керек. Осы аталған екі шарттың негізінде, есептерді шығаруға үйрену әдістемесін арифметикалык амалдарды меңгертудің және сандық өрнектер ұғымын қалыптастырудың әдістемесімен өзара тығыз байланыста құру керек. Мұнда оқушыларды сандық өрнектермен алғаш таныстыру нәрселер және олардың топтарымен істелетін практикалық іс-әрекеттерден бастаған жөн. Есеп шығаруға үйретуде күшейтілген абстракциялау әдісінің қолданылуы әдістемелік талдама жасаудың үшінші шарты болып табылады, ал бұл есептің мәтіні бойынша ғана емес, оның кез келген формада бсрілуі бойынша да өрнектер құруға мүмкіндік бере, және керісінше, сандық өрнектер бойынша түрлі формада есептер құрастыра білуге мүмкіндік береді. Ал, мүның өзі оқушылардың сандық өрнектердің мағынасын ұғынуға жөне берілген сандық өрнектерден әр түрлі есептерде көрсетілетін, бізді қоршаған өмірден алынған және математикалық нақты жағдайларды тани білуге тәрбиелейді. Құрама есептерді шығару барысында күшейтілген абстракциялау әдісін қатынастар санын азайту әдісімсн үйлестіріп, орнастырып, бірге қолдана білу керек.

    Жоғарыда  көрсетілген негізгі шарттарды  басшылыкқа ала отырып, сандық өрнектерді оқып-үйренумен байланысты жай есептерді шығаруға, құралма есептерді шығаруга үйретудің де әдістемелік талдамасын жасауға болады.

    Оқушыларды  өрнектердің мәнін есептеп шығару үрдісінде оларды түрледіруге үйретеді, мысалы: 10-7+5=3+5=8. Мұндай жазулар теңбетең түрлендіруге жасалған алғашқы кадам болып табылады. Басында бұл өрнектер амалдарды орындау тәртібімен таныстыруда пайдаланылады кейіннен өз алдына бөлек жаттығулар түрінде беріледі. «Жүз көлеміндегі сандар» такырыбын оқып-үйренуде оқушылар күрделі өрнектердің мынадай түрлерімен танысады: (7±4)±3, 12±(б±3). Бұл өрнектердід нақты мағынасын көрнекіліктер арқылы көрсетуге болады. Мұғалім қалталы жолаққа 10 дөңгелек қояды да, оқушылардан оның үшеуін алып тастауын сұрайды. Бұл әрекет 10-3 жазуымен косақталады. Оқушылар мұғалімнің көмегімен жазылган өрнекті оқиды: «10 мен 3 айырмасы». Мұғалім «айырманың» көрнекі кескінделуін көрсетуді оқушылардан сұрайды, содан, соң жолаққа тағы екі дөңгелекті әкеп қоюды ұсынады. Бұл әрекеттің жазылуын көрсетеді, яғни 10 мен 3 сандарының айырмасының қасына «+2» жазуын қосып жазады, сонда (10-3)+2 жазуы алынады.

    Мұғалім енді оқушыларға алынған жазуды оқуды ұсынады. Оқушылар оқиды: «10 мен 3 саңдарының айырмасына 2-ні қосу». Жақшаның жазы-луына ерекше мән беріледі. Мұғалім 2 саны 3 санына емес, 10 мен 3 сандарының айырмасына косылатындығы көрініп тұруы үшін жақша қойылады деп түсіндіреді. Одан әрі мұғалімнің жетекшілігімен осындай жаттығулар орындалады. Осы мақсатта мына үлгідегі есептер колданылады.

1. Қалталы жолаққа 1 шаршы орналастырыңдар. Қасына 6 шаршыны жақын қойыңдар. Істеген әрекетті жазып көрсетіңдер: 3  шаршыны алып тастаңдар. Өрнекті жалғастырып жазыңдар. Алынған өрнекті оқыңдар. 
   Сандарға амалдар колдануды орындаңдар.
2. Есепшоттың 9 тасын бір жағына ығыстырып қойыңдар.Оның 3-ін алып тастаңдар, тағы 2 тасты жақындатып қосыңдар. Орындалған іс-әрекетті жазып көрсетіңдер. Өрнекті оқыңдар. Амалдарды орындаңдар.
3. Санау таяқшаларының көмегімен төмендегі әрекеттерді орындап, өрнекті жазыңдар:

а) 6 мен 2 сандарының қосындысына 1 санын қос.       

ә) 6 мен 2 сандарының қосындысынан 5-і азайт.           ..

    б) 13 пен 6 сандарының айырмасынан 2-і азайт.

    10±(6±2) түріндегі өрнектермен оқушыларды  жоғарыдағыдай тәсілмен таныстыруға  болады. Жақшасы бар өрнектер жөніндегі білімді бекітуді төмендегідей есептер шығару арқылы орындауға болады: