Решение управленческой задачи методами теории массового обслуживания

Наряду с количественными  методами современная наука, как  это делалось и в прошлом, прибегает  также к обоснованию решений  исходя из факторов, пока не поддающихся  точному количественному учету. Имеется в виду моральный фактор, общая ситуация, психологические  моменты и т. п. При этом сохраняют  свое значение традиционные методы обоснования  решений на основе изучения опыта  прошлых действий, обобщения результатов  производства, а также просто по интуиции. Однако и к этим методам  обоснования решений, относящимся  к области искусства, следует  подходить с позиции современной  науки – психологии, эвристики (наука  о творческом мышлении) и др.

Таким образом, современная  теория обоснования решений включает: количественные методы обоснования  решений, основанные на математическом аппарате исследования операций (теории вероятностей, теории игр, математическом программировании и др.); описательные методы обоснования и принятия решений, относящихся к области искусства (психология принятия решений, эвристика  и др.).

Исследование операций, ориентированное на решение экономико-производственных задач, является базой для экономико-математических методов моделирования производственных процессов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Постановка задач  массового обслуживания

2.1. Общее понятие теории массового обслуживания

 

Природа массового обслуживания, в различных сферах, весьма тонка  и сложна. Коммерческая деятельность связана с выполнением множества  операций на этапах движения, например товарной массы из сферы производства в сферу потребления. Такими операциями являются: погрузка товаров, перевозка, разгрузка, хранение, обработка, фасовка  и реализация. Кроме таких основных операций процесс движения товаров  сопровождается большим количеством  предварительных, подготовительных, сопутствующих, параллельных и последующих операций с платежными документами, тарой, деньгами, грузоперевозчиками и т.п.

Для перечисленных фрагментов коммерческой деятельности характерны массовость поступления товаров, денег, транспорта в случайные моменты  времени, затем их последовательное обслуживание (удовлетворение требований, запросов, заявок) путем выполнения соответствующих операций, время  выполнения которых носит также  случайный характер. Все это создает  неравномерность в работе, порождает  недогрузки, простой и перегрузки в коммерческих операциях. Много  неприятностей доставляют очереди, например, посетителей в кафе, столовых, ресторанах, или торговых судов в  портах, ожидающих разгрузки, погрузки или оформления документов. В связи  с этим возникают задачи анализа  существующих вариантов выполнения всей совокупности операций, выявления  слабых звеньев и резервов для  разработки в конечном итоге рекомендаций, направленных на увеличение эффективности  коммерческой деятельности.

Перечисленные задачи можно  успешно решать с помощью методов  и моделей специально созданной  для этих целей теории массового  обслуживания (ТМО). В этой теории поясняется, что обслуживать необходимо кого-либо или что-либо, что определяется понятием «заявка (требование) на обслуживание», а операции обслуживания выполняются  кем-либо или чем-либо, называемыми  каналами (узлами) обслуживания.

Заявки в силу массовости поступления на обслуживание образуют потоки, которые до выполнения операций обслуживания называются входящими, а  после возможного ожидания начала обслуживания, т.е. простоя в очереди, образуют потоки обслуживания в каналах, а  затем формируется выходящий  поток заявок. В целом совокупность элементов входящего потока заявок, очереди, каналов обслуживания и выходящего потока заявок образует простейшую одноканальную систему массового обслуживания — СМО.

Под системой понимается совокупность взаимосвязанных, взаимозависимых  элементов, обладающая свойством целостности, целесообразности, открытости. Примерами  таких простейших СМО являются места  приема и обработки товаров (например, торговый порт c причалами), узлы расчета с покупателями в магазинах, кафе, столовых, рабочие места экономист та, бухгалтера, коммерсанта, повара на раздаче и т.д.

Процедура обслуживания считается  завершенной, когда заявка на обслуживание покидает систему. Продолжительность  интервала времени, требуемого для  реализации процедуры обслуживания, зависит в основном от характера  запроса заявки на обслуживание, состояния  самой обслуживающей системы  и канала обслуживания.

Действительно, продолжительность  пребывания баржи в порту зависит, с одной стороны, от количества или  объема товара, который необходимо погрузить или разгрузить, а с  другой - от формы организации обслуживания и обслуживающего персонала, что  может значительно повлиять на интенсивность  обслуживания судна.

Под обслуживанием заявок будем понимать процесс удовлетворения потребности. Обслуживание имеет различный  характер по своей природе. Однако во всех примерах поступившие заявки нуждаются  в обслуживании со стороны какого-либо устройства. В некоторых случаях  обслуживание производится одним человеком (обслуживание покупателя одним продавцом, в некоторых — группой людей (обслуживание больного врачебной комиссией  в поликлинике), а в некоторых  случаях - техническими устройствами (продажа  газированной воды, бутербродов автоматами). Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание заявок, называется каналом  обслуживания.

Если каналы обслуживания способны удовлетворить одинаковые заявки, то каналы обслуживания называются однородными. Совокупность однородных каналов обслуживания называется обслуживающей  системой.

В систему массового обслуживания поступает большое количество заявок в случайные моменты времени, длительность обслуживания которых  также является случайной величиной. Последовательное поступление заявок в систему обслуживания называется входящим потоком заявок, а последовательность заявок, покидающих систему обслуживания,—  выходящим потоком.

Случайный характер распределения  длительности выполнения операций обслуживания наряду со случайным характером поступления  требований на обслуживание приводит к тому, что в каналах обслуживания протекает случайный процесс, который  может быть назван (по аналогии с  входным потоком заявок) потоком  обслуживания заявок или просто потоком  обслуживания.

Заметим, что заявки, поступающие  в систему обслуживания, могут  покинуть ее и будучи не обслуженными. Например, если покупатель не найдет в  магазине нужный товар, то он покидает магазин, будучи не обслуженным. Покупатель может покинуть магазин также, если нужный товар имеется, но большая  очередь, а покупатель не располагает  временем.

Теория массового обслуживания занимается изучением процессов, связанных  с массовым обслуживанием, разработкой  методов решения типичных задач  массового обслуживания. При исследовании эффективности работы системы обслуживания важную роль играют различные способы расположения в системе каналов обслуживания.

При параллельном расположении каналов обслуживания требование может  быть обслужено любым свободным  каналом. Примером такой системы  обслуживания является разгрузочный узел судов в порту, где число каналов  обслуживания совпадает с числом причалов. На практике часто обслуживание одной заявки осуществляется последовательно  несколькими каналами обслуживания. При этом очередной канал обслуживания начинает работу по обслуживанию заявки после того, как предыдущий канал  закончил свою работу. В таких системах процесс обслуживания носит многофазовый характер, обслуживание заявки одним  каналом называется фазой обслуживания.

Организация системы обслуживания зависит от воли человека. Под качеством  функционирования системы в теории массового обслуживания понимают не то, насколько хорошо выполнено обслуживание, а то, насколько полно загружена  система обслуживания, не простаивают  ли каналы обслуживания, не образуется ли очередь.

Под эффективностью системы  массового обслуживания понимают характеристику уровня выполнения этой системой функции, для которых она предназначена. Указанная характеристика может  выражаться различными количественными  показателями: вероятностными, временными, стоимостными и др.

Наиболее часто применяются  следующие:

• предельные вероятности возможных состояний системы;
• вероятность отказа в обслуживании заявки (эта величина равна вероятности того, что все n приборов заняты обслуживанием, ее обозначают Р_n или P_отк);
• вероятность того, что обслуживанием заняты k приборов (каналов) – P_k или частный случай P_o – вероятность того, что все приборы (каналы) свободны;
• среднее число заявок, находящихся в системе L_c;
• среднее число занятых приборов (каналов)                                  характеризует степень загрузки системы (для многоканальной системы);
• среднее время пребывания заявки в системе;
• средняя длина очереди (число заявок, ожидающих обслуживания);
• среднее время пребывания заявки в очереди.

 

Перечисленные показатели определяются в соответствии с типом СМО (одноканальная, многоканальная с очередью или без  очереди)².

Предельные вероятности  состояний системы определяются из уравнений Колмогорова, которые  строятся по правилу, согласно которому с одной стороны (например, слева) в уравнениях стоит предельная вероятность  данного состояния P_i, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния. А с другой стороны (например, справа) – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Предельную вероятность P_k состояния системы S можно рассматривать и как среднее относительное время пребывания системы в k-м состоянии. Чтобы улучшить качество функционирования системы обслуживания, необходимо определить, каким образом распределить поступающие заявки между каналами обслуживания, какое количество каналов обслуживания необходимо иметь, как расположить или сгруппировать каналы обслуживания или обслуживающие аппараты для улучшения показателей коммерческой деятельности. Для решения перечисленных задач существует эффективный метод моделирования, включающий и объединяющий достижения разных наук, в том числе математики.

2.2. Моделирование систем массового обслуживания

 

Переходы СМО из одного состояния в другое происходят под  воздействием вполне определенных событий - поступления заявок и их обслуживания. Последовательность появления событий, следующих одно за другим в случайные  моменты времени, формирует так  называемый поток событий. Примерами  таких потоков в коммерческой деятельности являются потоки различной  природы — товаров, денег, документов, транспорта, клиентов, покупателей, телефонных звонков, переговоров. Поведение системы  обычно определяется не одним, а сразу  несколькими потоками событий. Например, обслуживание покупателей в магазине определяется потоком покупателей  и потоком обслуживания; в этих потоках случайными являются моменты  появления покупателей, время ожидания в очереди и время, затрачиваемое  на обслуживание каждого покупателя.

При этом основной характерной  чертой потоков является вероятностное  распределение времени между  соседними событиями. Существуют различные  потоки, которые отличаются своими характеристиками:

1. Регулярный поток событий. В нем события следуют одно за другим через заранее заданные и строго определенные промежутки времени. Такой поток является идеальным и очень редко встречается на практике.

Чаще встречаются нерегулярные потоки, не обладающие свойством регулярности.

2. Стационарный поток событий. Когда вероятность попадания любого числа событий на промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от того, как далеко расположен этот промежуток от начала отсчета времени.

Стационарность потока означает независимость от времени его  вероятностных характеристик, в  частности, интенсивность такого потока есть среднее число событий в  единицу времени и остается величиной  постоянной. На практике обычно потоки могут считаться стационарными  только на некотором ограниченном промежутке времени. Обычно поток покупателей, например, в магазине существенно  меняется в течение рабочего дня. Однако можно выделить определенные временные интервалы, внутри которых этот поток допустимо рассматривать как стационарный, имеющий постоянную интенсивность.

3. Поток событий без последствия. Число событий, попадающих на один из произвольно выбранных промежутков времени, не зависит от числа событий, попавших на другой, также произвольно выбранный промежуток, при условии, что эти промежутки не пересекаются между собой.

 В потоке без последствия  события появляются в последовательные  моменты времени независимо друг  от друга. Например, поток покупателей,  входящих в магазин, можно считать  потоком без последствия потому, что причины, обусловившие приход  каждого из них, не связаны  с аналогичными причинами для  других покупателей.

4. Ординарный поток событий. Когда вероятность попадания на очень малый отрезок времени сразу двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания только одного события.

 В ординарном потоке  события происходят поодиночке, а не по два или более  разу. Если поток одновременно  обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последствия,  то такой поток называется  простейшим (или пуассоновским) потоком  событий. Математическое описание  воздействия такого потока на  системы оказывается наиболее  простым. Поэтому, в частности,  простейший поток играет среди  других существующих потоков  особую роль.