Решение управленческой задачи методами теории массового обслуживания

Т_сис = L_сис /  λ

 

Если в одноканальной  СМО с ожиданием интенсивность  поступления заявок больше интенсивности  обслуживания λ > µ, то очередь будет постоянно увеличиваться. В связи с этим наибольший интерес представляет анализ устойчивых СМО, работающих в стационарном режиме при λ < µ, Р < 1.

3.5. Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди.

 

Рассмотрим многоканальную СМО (n > 0), на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ, а интенсивность обслуживания каждого канала составляет µ. Максимально возможное число мест в очереди ограничено величиной m. Дискретные состояния СМО определяются количеством заявок, поступивших в систему, которые можно записать.

S₀ – все каналы свободны k=0,

S₁ – занят только один канал (любой), k=1,

S₂ – заняты только два канала (любых), k=2,

S_n – заняты все n каналов, k= n.

Пока СМО находится  в любом из этих состояний, очереди  нет. После того как заняты все  каналы обслуживания, последующие заявки образуют очередь, тем самым, определяя  дальнейшие состояние системы:

 

S_n+1 - заняты все n-каналов и одна заявка стоит в очереди,

K= n+1;

S_n+2 - заняты все n-каналов и две заявки стоят в очереди,

K= n+2;

S_n+m - заняты все n-каналов и все m мест в очереди,

K= n+m.

                

Рис. 7. Граф состояний n-канальной СМО с ограничением на длину очереди m

Переход СМО в состояние  с большими номерами определяется потоком  поступающих заявок с интенсивностью λ, тогда как по условию в обслуживании этих заявок принимают участие n одинаковых каналов с интенсивностью потока обслуживания равного µ для каждого канала. При этом полная интенсивность потока обслуживания возрастает с подключением новых каналов вплоть до такого состояния S_n, когда все n- каналов окажутся занятыми. С появлением очереди интенсивность обслуживания более увеличивается, так как она уже достигла максимального значения, равного nµ.

Запишем выражения для  предельных вероятностей состояний:

P₀= [1+ ρ/1! + ρ/2! +…+ ρⁿ/n!+ (ρⁿ⁺¹(1-(ρ/n)^m))/ (n*n!(1-ρ/n)]^-1

Образование очереди возможно, когда вновь поступившая заявка застанет в системе не менее n требований, т.е. когда в системе будет находиться n, n+1, n+2, … (n+ +m-1) требований. Эти события независимы, поэтому вероятность того, что все каналы заняты, равна сумме соответствующих вероятностей P_n, P_n+1, P_n+2,…, P_n+m-1. Поэтому вероятность образования очереди равна:

Вероятность отказа в обслуживании наступает тогда, когда все n каналов и все m мест в очереди заняты:

Относительная пропускная способность  будет равна:

Q = P_обс= 1- P_отк

Абсолютная пропускная способность:

A= λ*Q

 

Среднее число занятых  каналов:

Среднее число простаивающих каналов:

Коэффициент занятости (использования) каналов:

Коэффициент простоя каналов:

Среднее число  заявок, находящихся в очередях:

В случае если ρ/n=1, эта формула принимает другой вид:

 

Среднее время ожидания в  очереди определяется формулами Литтла:

T_оч= (L_оч/A)*(ρ/n ≠1)

Среднее время пребывания заявки в системе Т_сис рассчитывается, как и для одноканальной СМО, поскольку заявка всегда обслуживается только одним каналом:

T_сис= Т_оч+ 1/μ *(ρ/n ≠1)

3.6. Многоканальная СМО с неограниченной очередью.

 

Рассмотрим многоканальную СМО с ожиданием и неограниченной длиной очереди, на которую поступает  поток заявок с интенсивностью λ и которая имеет интенсивность обслуживания каждого канала μ. Размеченный граф состояний представлен на рис. 8. Он имеет бесконечное число состояний:

S₀ - все каналы свободны, k=0;

S₁ - занят один канал, остальные свободны, k=1;

S₂ - заняты два канала, остальные свободны, k=2;

S_n - заняты все n каналов, k=n, очереди нет;

S_n+1 - заняты все n каналов, одна заявка в очереди, k=n+1,

S_n+r - заняты все n каналов, r заявок в очереди, k=n+r,

Вероятности состояний получим  из формул для многоканальной СМО  с ограниченной очередью при переходе к пределу при  .Следует заметить, что сумма геометрической прогрессии в выражении для Р₀ расходится. При уровне загрузки p/n>1, очередь будет бесконечно возрастать, а при p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

                     

Рис. 8. Граф состояний многоканальной СМО с неограниченной длиной очереди.

Определим для данного графа выражения предельных вероятностей состояний:

Вероятность того, что СМО  находится в состоянии S₀, когда нет заявок и не занято ни одного канала, определяется выражением:

; …

На этом основании можно  определить вероятность, или долю времени  занятости всех каналов обслуживанием:

 

Если же все каналы уже  заняты обслуживанием, то вероятность  состояния определяется выражением:

Поскольку отказа в обслуживании в таких системах не может быть, то характеристики пропускной способности  равны: P_отк=0;  Q=1;  А= λ *Q= λ

Среднее число заявок, находящихся  в очереди и ожидающих обслуживания, равно:

L_оч = (ρⁿ⁺¹ *P₀)/ ((n-1)!(n-ρ)²)

Среднее время ожидания заявки в очереди: T_оч = L_оч / λ 

Среднее время нахождения заявки в системе: Т_сис = L_сис/ λ 

Среднее число заявок в системе:

L_сис= L_оч + ρ

Среднее число занятых  каналов обслуживанием:

N_зан = λ / μ = ρ

Cреднее число свободных каналов:

N_св = n-ρ

Важно заметить, что параметр характеризует степень согласования входного потока, например покупателей  в магазине с интенсивностью потока обслуживания. Процесс обслуживания будет стабилен при ρ<0. Если же ρ≥0, в системе будут возрастать средняя длина очереди и среднее время ожидания покупателями начала обслуживания и, следовательно, СМО будет работать неустойчиво.

3.7. Практическое применение теории массового обслуживания

 

Одной из важных задач коммерческой деятельности является рациональная организация  торгово-технологического процесса массового  обслуживания, например в магазине «Магнит» на улице Белинского. В частности, определение мощности кассового узла торгового предприятия является непростой задачей. Такие экономико-организационные показатели, как пропускная способность предприятия, время пребывания покупателей в магазине, а также показатели уровня технологического решения торгового зала во многом определяются пропускной способностью кассового узла.

Следует обратить внимание, что на вышеперечисленные показатели оказывает влияние местоположение магазина, а именно:

• «Магнит» хорошо виден проходящим или проезжающим мимо гражданам и находится вблизи остановки ул.Ашхабадская;
• продуктово- хозяйственных магазинов в радиусе 200 метров нет.

Поэтому интенсивность потока покупателей (λ) в среднем равна 81 чел/час. Среднее время обслуживания покупателя (t_ср) – 3 минуты. Число каналов обслуживания (n) – кассовых аппаратов – равно 5.

Опираясь на эти данные с помощью теории массового обслуживания, мы определим необходимость расширения кассового узла магазина или перепланировки торгового зала в целом.

Для начала, нам необходимо найти интенсивность потока покупателей в минуту:

λ = 81/60 ≈ 1,35 (чел/мин)

Исходя из этого, мы можем определить нагрузку канала обслуживания (кассы), умножив интенсивность потока покупателей в минуту на среднее время обслуживания заявки:

 ρ = λ* t_ср = 1,35 * 3 = 4,05

и среднее число свободных  касс как разность между общим  числом касс (n) и нагрузкой канала обслуживания (кассы):

N_св = n-ρ = 5- 4,05 = 0,95

Как я уже отмечала в  п. 3.6 многоканальная СМО с неограниченной очередью имеет различные состояния. В нашем случае, когда число кассовых аппаратов (n) = 5, состояния системы будут выглядеть следующим образом:

S₀ – все кассы свободны;

S₁ – занята 1 касса, остальные свободны;

S₂ – заняты 2 кассы, остальные свободны;

S₃ – заняты 3 кассы, остальные свободны;

S₄ – заняты 4 кассы, 2 свободны;

S₅ – заняты все 5 касс, очереди нет;

S_n+1 - заняты все 5 касс, 1 заявка в очереди;

S_n+r - заняты все 5 касс, r заявок в очереди, при r =4. Данный вариант будем рассматривать в часы-пик.

Итак, для начала, нам необходимо найти вероятность того, что СМО находится в состоянии S₀, когда нет заявок и все кассы свободны:

Р₀ = [1 + 4,05/1! + 4,05²/2! + 4,05³/3! + 4,05⁴/4! + 4,05⁵/5! + 4,05⁶/5!(5- 4,05)]^-1 =

= [1 + 4,05 + 16,4/2 + 66,43/6 + 269,04/24 + 1089,62/120 + 4412,96/114]^-1 =

= [1 + 4,05 + 8,02 + 11,07 + 11, 21 + 9,08 + 38,71]^-1 = 83,14^-1 = 0,012

То есть вероятность того, что все кассы свободны очень  маленькая и близкая к нулю.

Далее мы высчитываем все  остальные предельные вероятности:

Р₁ = 4,05*0,012 ≈ 0,05;  Р₂ = 8,2*0,012 ≈ 0,1; Р₃ = 11,07*0,012 ≈ 0,13; 

Р₄ = 11,21*0,012 ≈ 0,13;  Р₅ = 9,08*0,012 ≈ 0,1;

Р_n+1 = (4412,96/600)*0,012 ≈ 0,08; Р_n+r = (293153,52/75000)*0,012 ≈ 0,04;

Они тоже близки к нулю. Это  объясняется тем, что интенсивность  потока достаточно большая.

Теперь нам нужно найти  среднее число покупателей, находящихся в очереди (т.е. длину очереди):

L_оч = (ρⁿ⁺¹ *P₀)/ ((n-1)!(n-ρ)²) = (4412,96*0,012)/ (24*0,9) = 52,95/21,66 ≈ 2,44 (чел.)

На основе найденного мы сможем найти среднее время ожидания покупателем своей очереди. Для этого необходимо разделить среднее число покупателей, находящихся в очереди на интенсивность входного потока покупателей: 

T_оч = L_оч / λ = 2,44/ 1,35 = 1,8 (мин.)

Далее определим среднее  число покупателей, находящихся  в системе (прикассовой зоне). Для этого суммируем среднее число покупателей, находящихся в очереди и нагрузку канала обслуживания (касс):

L_сис= L_оч + ρ = 2,44 + 4,05 = 6,49 (чел.)

Находим среднее время нахождения покупателя в системе (прикассовой зоне) путем деления среднего числа покупателей, находящихся в системе (прикассовой зоне) на интенсивность входного потока покупателей:

Т_сис = L_сис/ λ = 6,49/ 1,35 = 4,8 (мин.)

Как мы видим, существует небольшая  очередь, т.е. на 5 касс приходится 6,49 человек, которые одновременно прибывают  в прикассовой зоне в течение 4,8 минут. Это может устраивать покупателей, если они никуда не торопятся. Но, проанализировав  ситуацию данного филиала сети «Магнит», я пришла к выводу, что клиентами  в часы пик являются школьники, студенты Автотранспортного техникума, сотрудники фирм, находящихся в близлежащих домах, у которых ограниченный обеденный перерыв или которых ждут дома «голодные» члены семьи.

В связи с этим я считаю необходимым установить экспресс-кассу (для одной-двух покупок). Потенциальные  покупатели, зная о такой услуге, будут расставлять приоритеты в пользу магазина «Магнит» на ул.Белинского.

Смоделируем ситуацию, когда  в «Магните» все-таки установили экспресс-кассу. Предположим, что интенсивность потока покупателей λ составляет 0,4 чел./мин. Среднее время обслуживания покупателя (t_ср) – 1,2 минуты. Предположим, что очередь может быть неограниченной длины. Нам необходимо найти показатели эффективности работы экспресс-кассы и вероятность того, что ожидает своей очереди не более двух покупателей.

Для начала необходимо определить нагрузку канала обслуживания (кассы), умножив интенсивность потока покупателей  в минуту на среднее время обслуживания заявки:

 ρ = λ* t_ср = 0,4 * 1,2 = 0,48

В рассматриваемом случае, СМО является одноканальной с  неограниченной очередью. И разнообразие ее состояний будет выглядеть  следующим образом:

S₀ – касса свободна;

S₁ – обслуживается 1 покупатель, очереди нет;

S₂ – 1 покупатель обслуживается, 1 покупатель в очереди;

S₃ – 1 покупатель обслуживается, 2 покупателя в очереди;

Вероятность того, что СМО  находится в состоянии S₀, когда нет заявок и все кассы свободны:

Р₀ = 1/ 1-ρ = 1/ 1-0,48 = 1,92

Найдем также вероятность того, что СМО находится в состоянии S₁, т.е. обслуживается 1 покупатель, и при этом нет очереди: