Метод геометрических преобразований в школьном математическом образований в 1964-1985 гг

О преобразованиях подобия  не говорится. Рассматривается лишь частный случай – гомотетия. Доказывается основное свойство гомотетии: при гомотетии  с коэффициентом k отрезок AB переходит в отрезок A’B’, параллельный AB и такой, что A’B’=|k|AB, а любая группа F отображается в фигуру F’, подобную F и с коэффициентом подобия k. При этом всякий элемент фигуры F отображается в соответствующий элемент фигуры F’. В курсе стереометрии понятие преобразования пространства не вводится.

В учебном пособии Александрова понятие преобразования вводится на основе функционального подхода, достаточно полно рассматриваются свойства движений и подобия плоскости. Доказывается теорема о представлении подобия  композиции движения и гомотетии. Применение движений к равенству фигур не осуществляется, хотя группа движений плоскости в книге рассмотрена.

Проанализировав изложение  материала темы «Геометрические  преобразования» в современных  учебниках, можно сделать следующие  выводы о положении и роли этой темы в курсе геометрии на данном этапе.

В современных учебниках  геометрии тема «Геометрические  преобразования» не является ведущей. Преобразования из средства изучения свойств фигур  и решения задач  превратились в объект изучения. При изучении геометрических преобразований в школе знания и умения представляются не как система, а как ряд частных явлений. Каждое преобразование дается обособленно, вне связи с другими, свойства преобразований рассматриваются отдельно для каждого конкретного вида. Поэтому данный раздел геометрии не производит впечатления целостной теории, может быть, еще и потому, что преобразования не используются вообще или используются недостаточно при изучении других тем курса. В современных учебниках не ставится цель полной формализации понятия геометрического преобразования. Введение  основных преобразований часто осуществляется индуктивным способом, на основе нестрогих определений. Недостаточно освещаются и вопросы прикладной направленности геометрических преобразований. Методу геометрических преобразований как одному из наиболее эффективных методов решения задач не уделяется большого внимания.

Вместе с тем, хотя идея геометрических преобразований и не является системообразующей в современном курсе математики, но играет важную роль в обучении геометрии. Понятие движения позволяет дать «аппаратное», «рабочее» истолкование равенства и подобия фигур. Геометрические преобразования позволяют ввести в школьный курс динамику, преодолеть некоторую статичность традиционного синтетического подхода. При этом появилась возможность уделить особое внимание развитию определенных сторон пространственного воображения школьников. Геометрические преобразования способствуют реализации внутрипредметных связей с алгеброй (функциональная зависимость, преобразования графиков функций), межпредметных – с физикой (механическое поступательное движение и т.д.). Отметим, что в физике исследуется в основном сам процесс движения, в геометрии – фиксированные положения фигуры, подвергшейся движению (исходное, конечное и иногда промежуточное). Геометрические преобразования привносят в школьную математику эстетику, изящество. Идея симметрии (симметрия орнаментов, снежинок, архитектурных сооружений) является одним из важнейших средств гуманитаризации обучения математике.

Заключение

Данная работа была посвящена  проблеме изучения темы «Геометрические  преобразования» во времена реформы  школьного математического образования 1964 – 1985 гг. в СССР.

Целью настоящего исследования было изучение применения метода геометрических преобразований к построению школьного  курса геометрии в период реформы  математического образования в 1964 – 1987 гг., а так же выявление значения метода геометрических преобразований в современном школьном курсе  геометрии.

В работе обозначены основные идеи реформирования школьного математического образования и рассмотрены реализацию этих идей в программах и учебных пособиях того времени, в частности выявлена роль темы «Геометрические преобразования» в курсе геометрии. Рассмотрен и теоретический базис темы «Геометрические преобразования» и выделить её значение для математической науки в целом. Выявлена роль, которую выполняют в современном курсе геометрии геометрические преобразования.

В соответствии с целью  работы, можно сделать следующие  выводы:

• во времена реформы метод геометрических преобразований играл ведущую роль в изучении геометрии, служил средством доказательства теорем и решения задач. В современном курсе геометрии геометрические преобразования являются скорее предметом изучения. Каждое преобразование изучается отдельно, вне связи с другими, свойства преобразований рассматриваются отдельно для каждого вида;
• в современных учебниках, в отличие от учебных пособий под редакцией Колмогорова, не ставится цель полной формализации понятия геометрического преобразования. Введение  основных преобразований часто осуществляется индуктивным способом, на основе нестрогих определений;
• в учебнике Колмогорова преобразования важны не только сами по себе, они используются и при изучении других тем курса. В современных учебных пособиях по геометрии этого не происходит. Поэтому данный раздел геометрии не производит впечатления целостной теории;
• групповой подход Клейна, в основном, не реализован;
• слабо реализуется и та связующая роль, которую играли геометрические преобразования в сближении курсов алгебры и геометрии во времена реформы.
• во многих современных учебниках о преобразованиях подобия или говорится мало, или вовсе не говорится, в определении подобных фигур понятие преобразования подобия, в основном, не используется;
• в современных условиях тема «Геометрические преобразования»  раскрывается с позиций дифференциации обучения математики, в соответствии с этим определяется значение темы и объем материала, который предлагается для изучения. В учебниках, направленных на углубленное изучение геометрии, тема раскрывается достаточно полно, много внимания уделяется решению задач методом преобразований.
• хотя идея геометрических преобразований и не является системообразующей в современном курсе математики, но играет важную роль в обучении геометрии. Понятие движения позволяет дать «аппаратное», «рабочее» истолкование равенства и подобия фигур.
• геометрические преобразования позволяют ввести в школьный курс динамику, преодолеть некоторую статичность традиционного синтетического подхода.
• геометрические преобразования привносят в школьную математику эстетику, изящество. Идея симметрии  является одним из важнейших средств гуманитаризации обучения математике.

На основании всего  вышесказанного, можно сказать следующее: тема «геометрические преобразования»  осталась в школьном курсе, хотя и  в неполном, урезанном виде, слабо  связанной с остальными разделами  курса, хотя потенциал изучения темы огромен. Идеи Колмогорова еще ждут своего воплощения.

Литература

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. 1. Учеб. Пособие для студентов физ. – мат. фак. пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1986 – 336 с.
2. Заславский А.А. Геометрические преобразования, М.:МЦНМО, 2004.
3. Атанасян JI.C., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. средн. шк. М.: Просвещение, 1990. - 336с.
4. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1993. - 207с.
5. Геометрия: Учеб. пособ. для 6-8 кл. средн. шк. / А.Н. Колмогоров, А.Ф. Семенович, Р.С. Черкасов. Под ред. Колмогорова А.Н. 4-е изд. - М.: Просвещение, 1982.
6. Колмогоров А.Н. Новые программы и некоторые основные вопросы усовершенствования курса математики в современной школе\\ Математика в школе. 1967. – №2. - с. 2-3.
7. Колмогоров А.Н. Совремекнная математика и математика в современной школе\\ Математика в школе. 1971. – №6. - с. 4-13.
8. Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль, М.: Просвещение, 2001.
9. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб.для 7-11 кл. среди.шк. М.: Просвещение. 1990.
10. Программы для общеобразовательных учреждений. Математика. М.: Просвещение, 1996.
11. Саранцев Г.И. Система задач на геометрические преобразования в курсе математики восьмилетней школы. Дис. канд. пед. наук. Саранск, 1971.
12. Черкасов Р.С. История отечественного школьного математического образования \\Математика в школе. 1997. – №2, 3, 4. - с. 4-13.
13. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 кл. М.: Дрофа, 1997..
14. Энциклопедия элементарной математики, Кн. 4 – Геометрия, М.: Физматгиз, 1963.
15. Яглом И.М. Геометрические преобразования, 4.1, Гостехиздат, М., 1955.
16. Яглом И.М. Геометрические преобразования, 4.1, Гостехиздат, М., 1956.

Оглавление

Введение 2

О колмогоровской реформе школьного математического  образования (1964-1985 гг.) 5

Значение  метода геометрических преобразований. Эрлангенская программа Клейна. 11

Геометрические  преобразования. Группа преобразований. 14

Геометрические  преобразования в эпоху реформы 27

Преобразования  в современном математическом образовании 39

Заключение 44

Литература 46