Метод геометрических преобразований в школьном математическом образований в 1964-1985 гг

Разумеется, все торемы евклидовой геометрии, которые можно сформулировать в терминах «геометрии параллельных переносов», остаются верными и в  этой новой геометрии. Это вытекает из того, что если все движения плоскости  сохраняют некоторые свойства геометрических фигур, то, разумеется, эти свойства не нарушаются и при параллельных переносах. Так, например, по-прежнему можно утверждать, что медианы  треугольника пересекаются в одной  точке и делятся в ней в  отношении 2:1, считая от вершины. В противоположность  этому, теоремы о том, что в  одной точке пересекаются биссектрисы  и высоты треугольника теряют здесь  смысл, поскольку мы теперь не можем  говорить о перпендикулярности прямых (и, следовательно, о высотах) и о  равенстве углов с непараллельными  сторонами (а, значит, и о биссектрисах).

Теоремы евклидовой геометрии, связанные с понятиями, имеющими новый смысл в рассматриваемой  здесь «геометрии», могут изменить свою формулировку в этой «геометрии». Так, например, из «равенства» двух треугольников по-прежнему следует  равенство их сторон. Однако уже  из «равенства» двух пар сторон вытекает «равенство» треугольников. Можно  указать еще целый ряд предложений, которые верны в рассматриваемой  геометрии, но не в геометрии Евклида. Так, например, если в четырехугольнике две противоположные стороны  «равны», то этот  четырехугольник  параллелограмм.

Еще одно интересное свойство параллельного переноса связано  с тем, что при этом преобразовании ни одна точка плоскости не остается на месте, т.е. параллельный перенос  не имеет неподвижных точек. Существуют, однако, прямые, которые при параллельном переносе остаются на месте; так все  прямые, параллельные направлению переноса, переходят самии в себя («скользят  сами по себе») и, следовательно, являются неподвижными прямыми этого параллельного  переноса.

Центральная симметрия

Рис. 5.

Определение. Симметрией относительно точки O называется преобразование, переводящее каждую точку   в такую точку , что точка O является серединой отрезка перпендикулярна отрезку и проходит через его середину.

Точка O называется центром симметрии.

Некоторые свойства центральной  симметрии:

1. Центральная симметрия является движением.

Доказательство. Пусть задана центральная симметрия с центром , а – произвольные точки плоскости. Которые при этой симметрии переходят соответственно в точки (рис. 5). Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, а из равенства треугольников и следует равенство отрезков и . Значит, симметрия относительно точки является движением.

2. При симметрии относительно точки прямая переходит в параллельную прямую.
3. Композиция двух центральных симметрий есть параллельный перенос.

Единственной неподвижной  точкой этого преобразования является центр симметрии. Неподвижными прямыми  являются все прямые, проходящие чрез центр симметрии.

Поворот

Рис. 6.

Определение поворота было сформулировано в примере 2 геометрических отображений.

Определение. Поворотом вокруг точки на угол α называется преобразование плоскости, переводящее каждую точку в такую точку , что и угол между лучами и (т.е. угол, отсчитываемый против часовой стрелки от луча к лучу ) равен .

Точку O называют центром вращения (поворота), а угол α – углом поворота.

Выделим основные свойства поворота:

1. Поворот является движением.

Доказательство. Пусть – центр поворота, α – угол поворота. Допустим, что некоторые точки при этом повороте перешли в точки (рис. 5). Так как , то  и, следовательно, треугольники и равны по трем сторонам. Из равенства треугольников следует AB=A’B’. значит, поврот является движением.

2. Если прямая при повороте на угол переходит в прямую , то один из углов между и равен α при и при .
3. Композиция поворотов вокруг точки на углы и есть поворот вокруг точки на угол .
4. Преобразование, обратное к повороту вокруг точки   на угол , есть поворот вокруг на угол .

Из свойств 3-4 следует, что  все повороты с данным центром образуют группу. Поворот на угол π является центральной симметрией. Поворот на угол 2π является тождественным преобразованием.

Поворот – это преобразование, которое имеет лишь одну неподвижную  точку – центр вращения O (). Поворот в общем случае () не имеет неподвижных прямых.

Осевая симметрия

Определение. Симметрией относительно прямой называется преобразование, переводящее каждую точку   в такую точку , что прямая перпендикулярна отрезку и проходит через его середину.

Прямая  называется осью симметрии.

Свойства симметрии.

1. Осевая симметрия является движением.
2. Композиция двух симметрий относительно одной и той же прямой есть тодждественное преобразование.
3. Сумма двух симметрий относительно параллельных прямых есть параллельный перенос в направлении, перпендикулярном к этим прмым, на величину, равную удвоенному расстоянию между ними.
4. Сумма двух симметрий относительно пересекающихся прямых есть вращение с центром в точке пересечения этих прямых и углом поворота, равным удвоенному углу между ними.

 

Неподвижными точками  симметрии относительно прямой являются все точки оси симметрии; неподвижными прямыми являются ось симметрии  и все прямые, перпендикулярные к  ней.

Рис. 7.

Отметим важное отличие симметрии  от движений, рассмотренных выше. Пусть  в треугольнике ABC вершины A, B, C следуют друг за другом при обходе треугольника против часовой стрелки. Поворот и параллельный перенос переводят ABC в треугольник A′B′C′ с тем же порядком вершин, при симметрии же вершины A′, B′, C′ следуют друг за другом при обходе по часовой стрелке (рис. 7).

Определение. Преобразования, сохраняющие порядок вершин треугольника, называются преобразованиями, сохраняющими ориентацию (или собственными). Преобразования, которые не сохраняют ориентацию, называются меняющими ориентацию или несобственными.

Второе название объясняется  тем, что перевести фигуру в симметричную, не выводя ее из плоскости, невозможно. Таким образом, поворот и параллельный перенос являются собственными движениями, а симметрия несобственным. Нетрудно убедиться, что композиция двух собственных или двух несобственных движений является собственным движением, а композиция собственного и несобственного движений - несобственным. Преобразование, обратное к собственному или несобственному, является преобразованием того же типа. Следовательно, собственные движения образуют группу.

Теорема. Любое движение плоскости представляет собой композицию не более чем трех осевых симметрий.

Доказательство. Достаточно доказать, что с помощью не более чем трех последовательных осевых симметрий можно три точки и , не лежащие на одной прямой, перевести в любые такие точки , что . В качестве первой оси симметрии рассмотрим серединный перпендикуляр к отрезку . Если при симметрии треугольники и совпадут, то потребуется только одна симметрия. Если треугольники не совпали, то рассмотрим симметрию относительно отрезка . Если и совпали, то имеем композицию двух осевых симметрий. Если не совпали, то рассмотрим симметрию относительно отрезка .

Скользящая симметрия

Определение. Скользящей симметрией называется композиция осевой симметрии и параллельного переноса, задаваемого вектором, параллельным оси симметрии. Как нетрудно видеть из рисунка 8, не имеет значения, какое движение применяется сначала – осевая симметрия или параллельный перенос.

Рис. 8.

Неподвижной прямой скользящей симметрии является её ось, неподвижных  точек скользящая симметрия не имеет.

Верна следующая теорема  о представлении скользящей симметрии  через три осевые симметрии:

Теорема. Сумма симметрий относительно трех прямых, пересекающихся попарно в трех точках или таких, что двек из них параллельны между собой, а третья их пересекает, есть скользящая симметрия.

Классификация движений

Выше рассматривались  примеры движений. Покажем, что рассмотренными примерами множество всех движений фактически исчерпывается.

Теорема (Шаля). Любое движение является либо параллельным переносом, либо поворотом, либо симметрией, либо скользящей симметрией.

Доказательство. Сформулируем сначала вспомогательное утверждение.

Лемма. Пусть даны две пары точек и , причем . Существуют ровно два движения, переводящие   в , а в , одно из которых сохраняет ориентацию, а другое меняет.

Это утверждение часто  называют «леммой о двух гвоздях». Для его доказательства достаточно заметить, что если произвольная точка   лежит на прямой , то её образ лежит на прямой и, следовательно, определяется однозначно.  Если же не лежит на прямой , то точка С’, во-первых, должна находиться на расстоянии AC от точки A’, и во-вторых, на расстоянии BC от точки B’, а значит точку C’ можно определить как точку пересечения двух окружностей с центрами в и и радиусами соответственно и . Таких точек две (рис. 9). Если выбрать одну из этих точек, образы остальных определяются однозначно, так как любое движение переводит точки и , лежащие по одну сторону от прямой , в точки и , лежащие по одну сторону от , а точки, лежащие по разные стороны от в точки, лежащие по разные стороны от .

Рис. 9.

Перейдем теперь к доказательству теоремы Шаля. Пусть - движение, отличное от тождественного (тождественное преобразование можно считать переносом на нулевой вектор). Тогда найдется точка , не совпадающая со своим образом. Пусть . Возможны три случая.

Рис. 10.

1. Точки  не лежат на одной прямой, т. е. образуют равнобедренный треугольник (рис. 9). Пусть - центр описанной около треугольника окружности, , - середины сторон . Поворот вокруг на угол переводит в , а в . Тем же свойством обладает композиция симметрии относительно прямой и параллельного переноса на вектор . По лемме данное движение совпадает с одним из указанных, т. е. является либо поворотом, либо скользящей симметрией.

2. Точка  лежит на прямой и не совпадает с . Тогда – середина отрезка (), и данное движение есть либо перенос на вектор , либо композиция этого переноса и симметрии относительно , т. е. скользящая симметрия.

3. Точки  и совпадают. Данное движение есть либо центральная симметрия относительно середины отрезка , либо симметрия относительно прямой, проходящей через и перпендикулярной отрезку . Теорема доказана.

Преобразования  подобия

Важнейшими геометрическими  свойствами любой геометрической фигуры являются расстояния между различными её точками. Однако если проанализировать формулировки теорем элементарной геометрии, то они никак не связаны с понятием расстояния. Но даже в тех теоремах, в формулировке которых участвует длина отрезка (например, теореме Пифагора), на самом деле фигурируют не длины каких-то отрезков, а отношения длин двух или большего их числа. Это связано с тем, длина отрезка выражается неким числом, и это число зависит от того, какую единицу длины отрезка мы выбрали. Отсюда следует, что в геометрической теореме не может участвовать никакая длина сама по себе. А могут встречаться лишь отношения двух или более отрезков. Значит, понятие расстояния, которое должно было бы играть в геометрии основную роль, на самом деле не может участвовать в геометрических теоремах. На это обстоятельство обратил внимание еще Ф. Клейн, который впервые дал научное определение геометрии. Геометрия (евклидова), по Клейну, есть наука, изучающая свойства геометрических фигур, не меняющиеся при преобразованиях подобия. Преобразования подобия можно определить как преобразования, при которых не меняется отношение пар точек. Определение Клейна выражает то, что в определенном смысле для геометра неразличимы не только равные, но даже и подобные фигуры. Таким образом, фактически основную роль в элементарной геометрии играют преобразования подобия, и это делает важным изучение таких преобразований. Изучение таких преобразований оказывается чрезвычайно полезным для решения разнообразных задач.

Определение.  Подобием называется преобразование, при котором для любых двух точек и отношение расстояний между их образами и к расстоянию между самими точками равно одному и тому же числу: . Число называется коэффициентом подобия.

Из определения сразу  следует, что подобия образуют группу. Действительно, композиция подобий  с коэффициентами и будет подобием с коэффициентом , а преобразование, обратное подобию с коэффициентом , - подобием с коэффициентом . Таким образом, множество всех подобий относительно операции композиции, образует группу. Важным частным случаем подобия является гомотетия.

Определение. Гомотетией с центром в точке и коэффициентом, отличным от нуля, называется преобразование, переводящее каждую точку в точку , лежащую на прямой и удовлетворяющую условию . При точки и лежат по одну сторону от точки , при - по разные.