Метод геометрических преобразований в школьном математическом образований в 1964-1985 гг

Рис. 11.

Существуют различные  способы задания гомотетии, например, центром и коэффициентом гомотетии,  центром и парой соответственных  точек, двумя парами соответственных  точек.

Рассмотрим некоторые  свойства гомотетии:

1. Гомотетия является преобразованием подобия.
2. Гомотетия не меняет ориентацию плоскости.
3. При гомотетии с положительным коэффициентом каждый луч отображается на сонаправленный с ним луч, при гомотетии с отрицательным коэффициентом каждый луч отображается на противоположно направленный с ним луч.
4. При гомотетии любая прямая отображается на параллельную ей прямую, отрезок – на параллельный ему отрезок, угол на конгруэнтный ему угол.
5. Отображение, обратное гомотетии с коэффициентом есть гомотетия с тем же центром и коэффициентом . Доказательство следует из определения гомотетии и обратного отображения.

Отметим, что гомотетия с коэффициентом является центральной симметрией. То, что гомотетия является подобием, почти очевидно. Действительно, если точки переходят в точки , то треугольники и подобны и, значит, . С другой стороны, если дано произвольное подобие с коэффициентом , то композиция этого подобия и гомотетии с произвольным центром и коэффициентом будет движением. Поэтому данное подобие можно представить как композицию этого движения и гомотетии с центром и коэффициентом

Вообще, верна следующая  теорема:

Теорема. Композиция гомотетии и перемещения есть преобразование подобия.

Доказательство. Сначала рассмотрим композицию произвольного преобразования  подобия с коэффициентом и гомотетии с коэффициентом и произвольным центром . А эта композиция есть преобразование подобия с коэффициентом , т. е. некоторое движение . Получаем следующее равенство:

 

На обе части равенства  действуем гомотетией , обратной гомотетии , то есть гомотетией с коэффициентом :

 

 

 

 

Следовательно, , что и требовалось доказать.

Верны и два следующих  утверждения:

Теорема. Любое подобие, сохраняющее ориентацию, с коэффициентом k, отличным от 1, является композицией гомотетии с центром в некоторой точке O и коэффициентом k и поворота вокруг точки O (иногда такое преобразование называется спиральным подобием).

Теорема. Любое подобие с коэффициентом не равным 1, меняющее ориентацию, можно представить в виде композиции гомотетии с центром в некоторой точке O и симметрии относительно прямой, проходящей через O.

Из теорем 1, 2 следует, что  любое подобие, не являющееся движением, имеет ровно одну неподвижную  точку.

 

 

 

 

 

 

Геометрические  преобразования в эпоху реформы

Разработчиками реформы  была сделана, пожалуй, единственная полноценная (в истории отечественного математического  образования) попытка построить  школьный курс геометрии, опираясь на идеи Ф. Клейна, взяв за основу при доказательстве теорем и решении многих задач  метод геометрических преобразований. Проанализируем, как вводились соответствующие  понятия и теоремы, использующие понятие геометрического преобразования, рассмотрим использование материала  темы в задачах, а главное –  попытаемся охарактеризовать значение темы в школьном курсе того времени.

В учебнике «Геометрия 6-8»  под редакцией А.Н. Колмогорова  математическая суть темы «Преобразования» изложена в двух темах  - «Конгруэнтность  и перемещения» и «Подобие» (соответственно главы II и VI учебного пособия). Вопросы, связанные с параллельным переносом рассматриваются в теме «Параллельные прямые и параллельный перенос».

В начале главы II «Конгруэнтность и перемещения» после рассмотрения конкретного примера вводится понятие отображения одной фигуры на другую фигуру, при этом проводится аналогия с понятием отображения одного множества на другое из курса алгебры. Хотя определение отображения явно в тексте учебника не выделяется, но при рассмотрении примера выделяются два условия, при выполнении которых можно говорить, что некоторая фигура X отображается на некоторую фигуру X₁:

• каждой точке фигуры X соответствует некоторая точка фигуры X₁;
• каждая точка фигуры X₁  оказывается сопоставленной некоторой точке фигуры X.

Вводится и понятие образа точки и образа фигуры при отображениях фигур. Вводится соответствующая символика.

Сравнивая два предложенных примера (отображения окружности на окружность с тем же центром и  окружности на её диаметр), авторы приходят к понятию обратимого отображения  и говорят о том, что у любого обратимого отображения имеется  обратное отображение.

Далее рассматриваются отображения  фигуры на себя, приводятся примеры  обратимых и необратимых отображений  фигуры на себя. В качестве важного  примера рассматривается тождественное  отображение фигуры, в том числе  и плоскости на себя. Тождественное  отображение фигуры на себя (его  обозначают ) определяется как отображение, при котором каждая точка этой фигуры отображается на себя (

В следующем пункте учебника (п. 16) рассматриваются отображения, сохраняющие расстояния. Однако о  движениях явно пока не говорится. На примере с двумя концентрическими окружностями авторы показывают существование  отображений, не сохраняющих расстояния. В качестве контрпримера приводится отображение одного отрезка OM на другой (OM₁), имеющий такую же длину и начало, общее с первым. На прямых OM и OM₁ вводятся координаты (за начало координат принимают точку O, а за положительные лучи – лучи  OM и OM₁). Каждой точке X отрезка OM ставится такая точка X₁ отрезка OM₁, которая имеет ту же координату, что и точка X₁. Доказывается, что заданное таким образом отображение сохраняет расстояния между точками. Доказательство основано на следующей теореме: расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модуля разности координат этих точек.

После рассмотрения этого  примера дается определение отображения, сохраняющего расстояния.

Если отображение  фигуры L на фигуру L₁ таково, что расстояние между образами A₁ и B₁ любых двух точек A и B фигуры L  равно расстоянию |AB|, то говорят, что это отображение сохраняет расстояния.

Немного говорится и о  том, что отображения, сохраняющие  расстояния, обладают рядом специфических  свойств, которыми не обладают другие из рассмотренных ранее отображений. В частности, при отображениях, сохраняющих  расстояния, фигура отображается на фигуру того же названия (квадрат на квадрат, отрезок – на отрезок и т.д.).

Также формулируется и  доказывается следующая теорема:

Теорема. Отображения, сохраняющие расстояния, обратимы. Обратные к ним отображения тоже сохраняют расстояния.

В следующем пункте 17 дается определение конгруэнтных фигур. Авторы пользуются тем, что в пропедевтическом курсе геометрии 4-5 класса уже вводилось  понятие конгруэнтных фигур. О таких  фигурах говорилось, что они совпадают  при наложении. Авторы подчеркивают, что, понимая фигуру как множество  точек, нельзя понимать это выражение  буквально, недьзя сдвигать точки с  занимаемых ими на плоскости мест. Поэтому понятие наложение заменяется более строгим понятием отображения. Далее рассматривается пример, как  при наложении одного треугольника на другой можно задать отображение: «пусть например, треугольник ABC можно наложить на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы они совпали. Скопируем треугольник ABC на кальку. Наложим эту кальку на треугольник A₁B₁C₁. Тогда копия каждой точки X треугольника ABC совпадет с определенной точкой X₁ треугольника A₁B₁C₁. Значит, для каждой точки X треугольника ABC можно указать соответсвующую ей точку X₁ треугольника A₁B₁C₁. Получаем отображение треугольника ABC на треугольник A₁B₁C₁».

На этом примере подмечается, что любые две точки M и N треугольника ABC отображаются на такие две точки M₁ и N₁ треугольника A₁B₁C₁, что расстояния MN и M₁N₁ равны, т.е. заданное отображение сохраняет расстояния. Таким образом, понятие конгруэнтность вводится через понятие отображения.

Фигура  подобна фигуре , если существует отображение фигуры на , сохраняющее расстояние.

Вводится обозначение  конгруэнтности фигур.

Далее рассматриваются следующие  свойства отношения конгруэнтности:

1. Отношение конгруэнтности рефлексивно: каждая фигура конгруэнтна себе. Для доказательства достаточно задать тождественное отображение, сопоставляющее каждой точке X фигуры  эту же самую точку.
2. Отношение конгруэнтности симметрично: Если фигура конгруэнтна фигуре , то фигура конгруэнтна фигуре . Доказательство следует из рассмотренной теоремы п. 17 об обратимости отображения сохраняющего расстояния (обратное отображение также сохраняет расстояния).
3. Отношение конгруэнтности транзитивно: Если фигура конгруэнтна фигуре , а фигура конгруэнтна фигуре , то фигура конгруэнтна фигуре . Доказательство нестрогое, описательное, опирающееся на приведенный пример наложения одного треугольника на другой.

В параграфе 2 темы «Конгруэнтность  и перемещения» рассматриваются  частные виды движений: поворот, центральная  и осевая симметрия, даются их определения, правила задания и некоторые  свойства, при этом говорится о  том, что при таких отображениях расстояния сохраняются. Рассматривается  и построение точки, соответствующей  данной при том или ином частном виде перемещений. После того, как введено понятие поворота и показывается, что поворот является отображением плоскости на себя, сохраняющим отображение, вводится понятие перемещения:

Определение. Отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния, называется перемещением.

Доказывается следующая  теорема:

Теорема. При перемещении любая фигура отображается на конгруэнтную фигуру.

Центральная симметрия рассматривается как поворот на угол 180°.Пользуясь тем, что центральная симметрия является перемещением, доказывается теорема о конгруэнтности вертикальных углов.

Теорема.  Вертикальные углы конгруэнтны.

Доказательство. Пусть даны два вертикальных угла AOB и COD. Рассмотрим центральную симметрию с центром O. При этой симметрии лучи OA и OB отображаются на лучи OC и OD. Таким образом, угол AOB при этой симметрии отображается на угол COD. А так как при перемещении любая фигура отображается на конгруэнтную, то эти углы равны.

В параграфе 3 данной главы  много внимания уделяется вопросам симметричности различных фигур. Рассматриваются  уже известные школьникам фигуры, показывается, какие из этих фигур  являются симметричными и сколько  они имеют осей симметрии. Например, доказывается, что окружность симметрична  относительно любой прямой, проходящей через её центр. Следствием этого  факта является то, что точки пересечения  двух окружностей симметричны относительно прямой, соединяющей их центры.

Рассматриваются и оси  симметрии квадрата, отрезка, прямой, угла (ось симметрии – прямая, содержащая биссектрису угла) и равнобедренного  треугольника (ось симметрии –  прямая, содержащая биссектрису угла при вершине равнобедренного  треугольника).

Здесь же доказываются некоторые  теоремы, в формулировке которых  явно о перемещениях не говорится, но в доказательстве, тем не менее, используется какой-либо вид перемещения (обычно это осевая симметрия).

В качестве примера можно  привести следующую теорему:

Теорема. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её и стягиваемы ею дуги пополам. Для доказательства этого факта рассматривают осевую симметрию относительно диаметра.

Аналогично, с применением  осевой симметрии доказываются свойство и признак равнобедренного треугольника.

Теорема. Две стороны треугольника конгруэнтны тогда и только тогда, когда конгруэнтны противолежащие им углы.

Для доказательства также  используется осевая симметрия.

С применением осевой симметрии  доказываются также следующие утверждения: перпендикуляр короче наклонной; множество  точек выпуклого угла, равноудаленных от его сторон есть биссектриса этого  угла.

В п. 27 параграфа, посвященного симметрии, авторы задаются вопросом: существуют ли другие перемещения, кроме  осевой симметрии, отображающие фигуры на себя?

Фактически здесь для  каждой фигуры указывается список перемещений, переводящих данную фигуру в себя, т.е. фактически группа самосовмещений фигуры. Для отрезка, например, эта  группа состоит из двух осевых симметрий – относительно прямой, содержащей этот отрезок и относительно серединного перпендикуляра к этому отрезку, центральной симметрии относительно середины отрезка и тождественного преобразования. Для угла такая группа состоит только из двух перемещений – тождественного отображения и осевой симметрии относительно прямой, содержащей биссектрису данного угла.

В этом же пункте много говорится  о симметрии в окружающем нас  мире, приводятся примеры симметрии  в природе, искусстве, быту и технике.