Метод геометрических преобразований в школьном математическом образований в 1964-1985 гг

Федеральное агентство по образованию  ГОУ ВПО

Нижегородский государственный Педагогический Университет

Метод геометрических преобразований в школьном математическом образований в 1964-1985 гг.

(Колмогоровская реформа) 

Выполнил:      

Антонов А.И.

Проверила:         доктор педагогических наук,

профессор  Иванова Т.А.

2011

Введение

В современном школьном обучении все более усиливается тенденция  гуманизации образования, которая  в области методики обучения математике понимается как направленность всего  учебно-воспитательного процесса на личность учащегося.  В решении задачи всестороннего развития личности учащегося широкие возможности предоставляет такой раздел математики как геометрия, которая в силу своей специфики отражения реальной действительности глубоко сочетает логику и наглядность, общее и частное, абстрактное и конкретное. Геометрия как учебный предмет способствует развитию не только рациональных психологических функций человека, к которым относится мышление, но и иррациональных - ощущения и интуиции.

Однако в современной школе геометрия часто становится непреодолимым барьером для учащихся. Традиционный курс геометрии имеет как свои достоинства, так и недостатки. К числу последних можно отнести преобладание в традиционном обучении аналитических методов, наличие непосильных для понимания учеников скрупулезных доказательств очевидных вещей, тогда как логическое мышление школьников, особенно к началу изучения геометрии, развито недостаточно, а образное мышление не окончательно упорядочено. Все это создает проблему необходимости разработки методов обучения геометрии, сочетающих наглядность, практическую конструктивную деятельность и словесно-логический анализ. В то же время курс геометрии в духе Евклида в полной мере не отражает достижений математики. Подобные проблемы интересовали ученых и педагогов давно. В 50-60-е годы 20 века во всем мире зазвучали призывы к реформированию школьного математического образования, и, в частности, преподавания геометрии. 

Новый курс геометрии предлагалось строить на основе теоретико-множественного подхода, с применением соответствующей  терминологии и символики. Важнейшим  понятием в школьном курсе геометрии  становилось понятие геометрического  преобразования. Создание теории геометрических преобразований связано с именем немецкого математика Ф. Клейна. По Клейну, геометрия – это наука, изучающая свойства фигур, сохраняющиеся  при преобразованиях некоторой  группы преобразований. Например, евклидова  геометрия изучает свойства фигур, которые сохраняются при движениях, аффинная геометрия  - свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях  и т.д. Такой групповой подход позволил сформировать единую точку  на различные геометрии и позволил получить множество новых результатов.

По мнению многих ученых и педагогов, ратовавших за реформу  школьного математического преобразования, геометрические преобразования не только могли стать мощным средством  решения задач и доказательства теорем, но и способствовали реализации внутренней связи курсов алгебры  и геометрии. Еще Ф. Клейн, создатель  математической теории геометрических преобразований, подчеркивал связь  между понятием преобразования и  функции. По сути, геометрические преобразования и числовая функция являются двумя моделями общего понятия функции, и имеется возможность прослеживать связь между двумя основными понятиями.

В нашей стране период реформирования школьного математического образования  получил название «колмогоровской реформы» (1964-1985 гг.) по имени её главного идеолога и разработчика  - выдающегося математика А.Н. Колмогорова. Ведущими целями реформы были, как и на Западе, сближение школьной математики с математикой-наукой и строгое логическое упорядочение курса на основе теоретико-множественных представлений. Курс геометрии подвергся серьезной переработке. В учебном пособии по геометрии, разработанным А. Н. Колмогоровым, А. Ф. Семеновичем и Р. С. Черкасовым, все основные вопросы предлагалось изучать на основе понятия геометрического преобразования.

Однако, по сути, реформа  школьного образования в нашей  стране, провалилась, хотя некоторые  идеи её разработчиков нашли применение и в современных курсах математики. Одной из таких идей является идея геометрического преобразования.

Цель данной работы –  изучить применение метода геометрических преобразований к построению школьного  курса геометрии в период реформы  математического образования в 1964 – 1987 гг., исследовать значение метода геометрических преобразований и различные  подходы к его введению в школьном курсе геометрии и то, как групповой  подход к геометрии, предложенный Клейном, реализуется в школьной программе  времен реформы и современных  программах и учебниках.

Актуальность настоящего исследования состоит в том, что:

• до сих пор неясно место темы «Геометрические преобразования» в школьном курсе геометрии;
• геометрические преобразования традиционно являются трудной для обучаемых темой, и исследование реализации идей разработчиков реформы может оказаться полезным для модернизации современных методик изучения этой темы;
• существует необходимость разработки теоретических основ обучения методу элементарных геометрических преобразований в процессе методической подготовки будущих учителей математики в рамках курсов методики преподавания математики, элементарной геометрии и геометрии  и потому в работе много внимания уделяется научному базису данной темы.
• геометрические преобразования лежат в основе выдвинутого Ф. Клейном принципа, позволяющего всё разнообразие геометрий понять с единой точки зрения и реализуют связь школьного курса математики с математической наукой;
• геометрические преобразования и числовая функция являются двумя моделями общего понятия функции, и имеется возможность прослеживать связь между двумя основными понятиями - функции и преобразования плоскости, т. е. связь алгебры с геометрией.

Принимая во внимание все  выше изложенное, сформулируем задачи данного исследования:

• обозначить основные идеи реформирования школьного  математического образования и рассмотреть реализацию этих идей в программах и учебных пособиях того времени, в частности выявить роль темы «Геометрические преобразования» в курсе геометрии;
• рассмотреть теоретический базис темы «Геометрические преобразования» и выделить её значение для математической науки в целом;
• выявить, какую роль выполняют в современном курсе геометрии геометрические преобразования и как идеи, заложенные разработчиками реформы, реализуются в сегодняшних программах и учебниках.

Задачи исследования, сформулированные выше, определяют структуру данной работы.

Многие педагоги и ученые занимались проблемой изучения преобразований в школе. Среди них - академики А.Д. Александров, А.Н. Колмогоров, А.В. Погорелов и др., а также известные математики и методисты JI.C. Атанасян, В.Т. Базылев, И.М. Яглом, Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев, Р.С. Черкасов и др. Изучение и анализ работ указанных авторов, научно-методической литературы, трудов по истории математики, оказали помощь в решении задач данного исследования.

О колмогоровской реформе школьного математического образования (1964-1985 гг.)

Как и рубеж 19-20 веков, 50-60-е  годы 20 века характеризуются движением  за реформу математического образования  во всем мире. В это время активизировалась деятельность Международной комиссии по народному образованию. Вопросы  школьного математического образования  стали обсуждаться на международных  математических конгрессах. Основная идея этого движения, также как  и предыдущего, заключалась в  сближении школьного курса математики с математикой-наукой и её новыми достижениями.  В 1954 г. на математическом конгрессе в Амстердаме комиссия предложила участникам доклад о радикальной  реформе школьной математики. Было предложено положить в основу ее построения понятия множества, преобразования и структуры; модернизировать математическую терминологию и символику, существенно  сократить многие традиционные разделы  элементарной математики.

На 60-е годы пришелся пик известности группы французских математиков, выступавших под псевдонимом Н. Бурбаки. Н. Бурбаки показали, что все разнообразные (и казалось бы, автономные) разделы математики (или различные математические дисциплины) суть ветви одного и того же «математического дерева», корнями которого являются так называемые математические структуры (всего было выделено три типа структур - алгебраические, топологические, порядковые). Н. Бурбаки определили математику как науку о математических структурах и их моделях. Они считали, что курс математики средней школы необходимо строить, начиная с основ, по возможности аксиоматически. Так как в основе самой математики (как науки о структурах и их моделях) лежит теория множеств, то курсы алгебры и геометрии следует строить на теоретико-множественной основе, максимально используя логико-математическую терминологию и символику. При этом целесообразно начинать там, где это возможно, с понятий более общих и лишь потом переходить к их конкретизации. Ведущим методом изложения курса математики (и его изучения) должен был стать, по их мнению, дедуктивный метод. Основное внимание должно было быть уделено ведущим математическим понятиям: множеству, числу, функции (преобразованию), уравнению и неравенству, вектору. Главное же заключалось не столько в номенклатуре основных математических понятий (все эти понятия изучались в школьном курсе математики и раньше), сколько в современности их трактовки и в научной строгости определений. Повышение научного уровня школьного курса математики стало ведущим лозунгом неореформаторов.

Параллельно с работами Н. Бурбаки были опубликованы работы группы швейцарских психологов, руководимой Ж. Пиаже, – о структурах мышления, являющихся прямым аналогом математических структур, выявленных Н. Бурбаки в фундаменте математики-науки. На этом своеобразном стыке математики и психологии мышления возникла относительно новая педагогическая идея: у ребенка следует прежде всего развивать мышление, причем абстрактное. Содержание обучения служит в этом случае лишь попутным средством формирования умственной деятельности ребенка, и потому систематичность его изучения особого значения не имеет. Был признан наиболее эффективным так называемый метод открытий, когда ребенок, оперируя со специальным дидактическим материалом, самостоятельно обнаруживал те или иные математические факты. Математическое мышление рассматривалось Пиаже как композиция элементарных мыслительных структур, а условием их формирования являлось изучение математических структур.

Идеи неореформаторов с начала 70-х годов стали активно внедряться в школьную практику некоторых европейских стран (прежде всего Франции, Англии, Бельгии), в школах США и Канады. Реформы математического образования стали пропагандироваться не только через научно-методические разработки и журналы, но и через массовую печать.

Постепенно в мире выделилось два основных направления реформы  школьного образования. Первое направление  – радикальное, в духе Н. Бурбаки. Ярким его представителем его  был бельгийский математик Ж. Поппи. Его курс математики был построен на базе общих теоретико-множественных положений без деления на алгебру и геометрию. В учебнике вводятся такие понятия как множество, соответствие, граф, группа. Центральным понятием было понятие векторного пространства. Подобных взглядов придерживался и французский математик Ж. Дьедале. Его методическая установка заключалась в полном отказе от евклидовых традиций и отождествлении элементарной геометрии с линейной алгеброй.

Второе направление реформирования школьного математического образования  было умеренным (СССР, Польша, США. Англия и др.). Сторонники этого подхода также строили курс математики на теоретико-множественной основе.

В нашей стране первые попытки  модернизировать существовавшую систему  обучения математике стали предприниматься  с начала 60-х годов XX столетия. Именно в то время начали появляться некоторые экспериментальные учебники. Например, учебник арифметики для V–VI классов И.К. Андронова и В.М. Брадиса (построенный на теоретико-множественной основе), учебники Р.С. Черкасова, А.И. Маркушевича и др. по алгебре для старших классов (в которых была попытка ввести в школу элементы высшей математики), учебник геометрии В.Г. Болтянского и И.М. Яглома (построенный на идее геометрических преобразований) и др.

В 1964 году была создана Комиссия по реформе среднего образования при АН СССР и АПН СССР. Ее математическую секцию возглавили академики А.Н. Колмогоров и А.И. Маркушевич – активные сторонники реформы и непременные участники всех международных конференций по математическому образованию конца 60-х начала 70-х годов. Прошедший в 1966 г. Математический конгресс дал резкий толчок к ускорению реформы в нашей стране. Появились переводы работ Н. Бурбаки и Ж. Пиаже на русский язык; популярные брошюры о новой математике и новой психологии; статьи в педагогических журналах.

В 1966 г. был опубликован первый вариант новой программы по математике для 4–10 классов; в 1967 г. – второй ее вариант, который был опубликован в журнале «Математика в школе» для широкого обсуждения. В 1968 г. новая программа была уже официально утверждена Министерством просвещения СССР. По этой программе была начата спешная работа по написанию новых учебников. Программой было предусмотрено коренное изменение идеологии и содержания обучения математике. Массовое обучение началось с 1969 года.

Основная цель реформы  состояла в том, чтобы интенсифицировать  преподавание, приблизив его к  проблемам, которые рассматривались  математиками не в древности, а в  исторические периоды, более близкие  к современности. В частности, предполагалось завершить курс математики рассмотрением  дифференциального и интегрального  исчислений и теории вероятностей.

В то время развитие техники  в СССР находилось на таком уровне, когда требовалось много инженеров, умеющих рассчитывать параметры  космических объектов и других высокотехнологичных  изделий. Математиков катастрофически  не хватало, вычислительная техника  только создавалась. В то время был  популярен тезис, что «ценность  каждого культурного человека как  работника определяется тем, насколько  он знает высшую математику, и, прежде всего, дифференциальное и интегральное исчисление». Так что стремление найти царскую тропу в математике было продиктовано высшими соображениями о нуждах государства. Поэтому лозунг «Скорей к анализу!», хотя и не звучал физически, но практически владел умами многих людей и, прежде всего, умами профессиональных математиков и учителей математики.

А подобраться к анализу  иначе, как через теорию множеств было никак невозможно, поскольку  весь анализ основан именно на теории множеств. Поэтому первоначально все соглашались с тем, надо начинать реформу с введения в школу элементов теории множеств.

В статье «Новые программы  и некоторые основные вопросы  усовершенствования курса математики в средней школе» А.Н. Колмогоров дал обстоятельную характеристику обновленного курса школьной математики. Эта статья отражает и главную  идею реформы: курс математики должен строиться на основе специфических  для математики общих принципов, понятий и закономерностей, которые  с единых позиций и с должной  научной строгостью позволяют изложить весь материал. В качестве такой  общей идеи и был выбран теоретико-множественный  подход.