Метод геометрических преобразований в школьном математическом образований в 1964-1985 гг

Группа самосовмещений ромба  содержит кроме e и r еще две осевые симметрии s₁ и s₂ относительно прямых, на которых расположены диагонали ромба. Из того, что в этой группе имеются дополнительные (по сравнению с параллелограммом общего вида) движения s₁ и s₂, вытекает наличие у ромба дополнительных, специфических свойств (помимо свойств, присущих параллелограмму): перпендикулярность диагоналей, совпадение диагоналей с биссектрисами углов и т.д. В качестве еще одного примера отметим, что группа самосовмещений равнобедренного треугольника, не являющегося равносторонним, состоит из двух элементов e, s, где s – осевая симметрия. Из наличия в группе самосовмещений равнобедренного треугольника движения s вытекают основные свойства этого треугольника: равенство углов при основании, совпадение биссектрисы, медианы и высоты, проведенных к основанию, равенство медиан, проведенных к боковым сторонам и т.д.

Свойства правильных многогранников (или других многогранников, обладающих той или иной симметричностью) удобнее  всего доказывать, используя группы их самосовмещений. Свойства сферы, цилиндра, конуса также лучше всего выводить с помощью рассмотрения групп  самосовмещений этих фигур.

Помимо научного значения, "Эрлангенская программа" имеет  и педагогическую значимость. Еще Клейн отмечал,  что преобразования являются не чем иным, как обобщением простого понятия функции, которое в наши дни становится центральным понятием школьного курса математики. Идея преобразований, играет большую роль в обеспечении межпредметных связей курсов алгебры и геометрии. Групповая точка зрения на предмет школьной геометрии имеет важное значение для формирования представлений учащихся об идеях и методах современной геометрии, а также для расширения их математического кругозора.

 

 

 

Геометрические  преобразования. Группа преобразований.

В алгебре рассматриваются  различные функции. Каждому числу  из некоторого множества (области определения) функция сопоставляет число – значение функции в точке .

В геометрии рассматривают  функции иного рода, называемые геометрическими отображениями. В отличие от алгебраических, эти функции каждой точке ставят в соответствие точку.

Для задания геометрического  отображения (обозначим его буквой ) надо указать:

1. Некоторую фигуру (множество точек плоскости) , называемую областью определения отображения ;
2. Некоторую фигуру ^{,  называемую областью значений отображения} ;
3. Правило, сопоставляющее с каждой точкой   области определенную точку области .

Пример 1. Отображение определим следующим образом. Пусть – вся плоскость, а – некоторая прямая плоскости . Сопоставим каждой точке плоскости A  точку , которая является ортогональной проекцией точки   на прямую (рис. 1). Очевидно, что если – прямая, не перпендикулярная , то её образ совпадает со всей прямой , если же прямая перпендикулярна, то её образ представляет собой одну точку на прямой ; образ любой окружности или любого треугольника является отрезком (рис. 2).

Рис. 1.                                              Рис.2.                                                         Рис. 3.

Пример 2. В качестве последнего примера укажем на вращение (поворот) плоскости вокруг точки O на угол α. Для этого отображения и область определения и область значений совпадают со всей плоскостью ; образ точки определяется как такая точка плоскости, что и , причем направление вращения  от к на угол α (по часовой стрелке или против часовой стрелки) указано заранее (рис. 3).

Будем рассматривать такие  геометрические отображения, для которых  область определения  совпадает с областью значений и, кроме того, такие отображения, которые являются взаимно однозначными  (биективными). Поясним, какое отображение называется взаимно однозначным.

Определение. Отображение с областью определения и областью значений называется взаимно однозначным, если, во-первых, ни для каких двух различных точек области их образы не совпадают (отображение является инъективным) и, во-вторых, каждая точка области является образом некоторой точки при отображении ( – сюръекция).

Определение. Биективное отображение плоскости на себя (и областью определения, и областью значений этого отображения является плоскость) называется преобразованием плоскости.

Отображение примера 1 не является преобразованием плоскости, так  как область определения и  область значений этого отображения  не совпадают. Можно также заметить, что это отображение не является биективным. Для этого достаточно указать две точки и области определения, которые имеют один и тот же образ. Например, если в качестве точки взять любую точку прямой , то .

Отображение, рассмотренное  в примере 2, очевидно, является преобразованием  плоскости.

Рассмотрим множество  всех преобразований плоскости. Обозначим  его . Так как композиция биективных отображений является биекцией, то на множестве задан внутренний закон композиции: , где – некоторые преобразования плоскости.

Теорема. Множество всех преобразований плоскости относительно операции композиции является группой.

Доказательство.  Проверим выполнимость аксиом группы (ассоциативность бинарной операции, существование нейтрального и обратного элемента).

1. Пусть – некоторые преобразования плоскости, а – произвольная некоторая точка плоскости.  Тогда . Так как – произвольная точка плоскости, то по определению равенства отображений получаем , т.е. композиция ассоциативна.
2. Обозначим через тождественое отображение, т.е. отображение, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие эту же самую точку. Пусть – некоторое преобразование, а – произвольная точка, тогда , следовательно .
3. Поскольку любое преобразование плоскости по определению является биективным, то для него существует обратное отображение . Покажем, что . Пусть – произвольная точка плоскости, тогда _{,  а по определению обратного отображения . Следовательно,} ,  а так как – произвольная, то .

Группа преобразований называется симметрической группой плоскости. Она очень мощная, её мощность больше мощности континуума. Она мало используется в геометрии, но важны некоторые её подгруппы.

Определение. Группой преобразования плоскости назвается любая подгруппа симметрической группы.

Чтобы убедиться  в том, что некоторое непустое непустое множество T преобразований плоскости A является группой преобразований этого множества, надо проверить выполнимость двух условий:

1. Если ,  то .
2. Если то T.

Движения

В школьных учебниках можно  встретить следующее определение  геометрии: геометрия – это наука, рассматривающая свойства геометрических фигур (такое определение дается, например, в учебнике Киселева).Какие же свойства геометрических фигур изучает геометрия? Интуитивно понятно, что одинаковые по форме и размеру, равные фигуры имеют одни и те же свойства, и обратно, не равные между собой фигуры должны иметь различные геометрические свойства, иначе они были бы неразличимы. Поэтому геометрическими свойствами фигур можно назвать те свойства, которые являются общими для всех равных между собой фигур. Определим теперь, что такое равные фигуры: две геометрические фигуры называются равными, если перемещением одной из них в пространстве её можно совместить со второй фигурой так, что обе фигуры совместятся во всех своих частях. Другими словами, две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить движением. Поэтому можно дать следующее определение геометрии: геометрия – это наука, изучающая свойства геометрических фигур, которые не меняются при движениях. А что такое движение? Движение – это преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между парами точек.

Говорят, что преобразование плоскости сохраняет расстояния, если расстояние между двумя любыми точками   и плоскости рано расстоянию между их образами и , т.е. .

Определение. Преобразование плоскости, сохраняющее расстояния, называется движением (или перемещением).

Из определения сразу  вытекают основные свойства движений:

1. Движение переводит любую прямую в прямую.

Доказательство. Пусть точки  лежат на одной прямой. Тогда . Из определения движения следует, что образы точек удовлетворяют условию , т.е. точки также лежат на одной прямой.

2. Движение переводит любой угол в равный угол.

Доказательство. Если - развернутый, то точки лежат на одной прямой, и, следовательно, их образы – точки – также лежат на одной прямой, из чего следует, что - также является развернутым. Если не является развернутым, то точки не лежат на одной прямой, и, следовательно, их образы – точки – также не лежат на одной прямой Значит существует треугольник , который при движении переводится в равный ему треугольник (равенство по трем сторонам), следовательно, .

3. При движении пересечение фигур отображается на пересечение их образов, а объединение фигур отображается на объединение их образов.

Доказательство. Пусть  и – некоторые фигуры, обозначим через – пересечение этих фигур, а через – их объединение.

Рассмотрим некоторое  движение Обозначим через пересечение и , а их объединение – за .

Будем доказывать, что . Выберем произвольную точку из пересечения фигур и покажем, что её образ принадлежит пересечению фигур-образов и - : , значит , тогда и , а значит, . Цепочка этих рассуждений обратима, следовательно, . Аналогично доказывается, что .

4. Композиция двух движений есть движение.

Доказательство. Пусть даны - некоторые движения. Рассмотрим их композицию . Пусть – произвольные точки плоскости, , , g, , . Из того, что - движения следует , что и доказывает утверждение.

5. Преобразование, обратное движению, есть движение.

Доказательство. Пусть дано некоторое движение . Так как движение является преобразованием, то существует преобразование , обратное . Покажем, что оно является движением. Пусть – проиpвольные точки плоскости, , . Тогда , . Так как – движение, то , и, следовательно, .

6. Тождественное преобразование (преобразование, при котором каждая точка плоскости переходит в себя) является движением. Доказательство этого свойства очевидно.

Таким образом, отталкиваясь от свойств 4-6 можно заключить, что совокупность всех движений плоскости является группой преобразований.

Рассмотрим другие примеры  движений.

Параллельный  перенос

Рис. 4.

Определение. Параллельным переносом на вектор называется преобразование плоскости, которое каждую точку переводит в такую точку , что .

Покажем, что параллельный перенос является движением. Пусть  даны две различные точки  и . Их образами при параллельном переносе на вектор , будут точки и , такие что и . Но тогда . А так как и – различные точки плоскости, то – параллелограмм (рис. 4). А значит, , и параллельный перенос является движением.

Отметим, что фактически мы доказали более сильное свойство.

Утверждение. При параллельном переносе любой вектор переходит в равный вектор .

Следствие. При параллельном переносе любая прямая переходит в параллельную ей прямую.

Выделим еще два свойства, вытекающие из определения параллельного  переноса.

1. Композиция параллельных переносов на векторы и есть параллельный перенос на вектор .
2. Преобразование, обратное к параллельному переносу на вектор есть параллелльный перенос на вектор .

Таким образом, множество  всех параллельных переносов является группой преобразований. В соответствии с групповым подходом Клейна можно  рассматривать геометрию, изучающую  свойства фигур, не изменяющиеся при  параллельных переносах (т.е. геометрию, в которой «равными» считаются  лишь фигуры, равные в обычном смысле и параллельно расположенные). В  этой новой геометрии теряет смысл  целый ряд понятий обыкновенной (евклидовой) геометрии, например длина  отрезка (отрезки разных направлений  здесь оказываются «несравнимыми», поскольку  не существует параллельного  переноса, переводящего один такой  отрезок в другой) или величина угла (по аналогичной причине). Нельзя здесь определить и окружности, поскольку  оба определения окружности –  как геометрического места точек, удаленных от фиксированной точки  на заданное расстояние и как  геометрического  места точек, из которых данный отрезок  виден под постоянным (ориентированным) углом – оказываются бессодержательными. В противоположность этому понятие  прямой линии полностью сохраняет  свое значение; можно даже считать, что оно играет здесь даже большую  роль. Так как прямая является теперь единственной линией, котороую можно «движением» совместить саму с собой. Отсюда вытекает, что в этой новой геометрии по-прежнему можно говорить о треугольниках, четырехугольниках и т.д. и изучать их свойства.