Метод геометрических преобразований в школьном математическом образований в 1964-1985 гг

• тема «Геометрические преобразования» была ведущей в школьном курсе математики. Преобразования выступали как средство, основной метод доказательства теорем и решения задач;
• так учебники писались для массовой школы, то понятие "группы преобразований плоскости" в нём отсутствовало. Однако центральное место в учебном пособии занимает отношение эквивалентности, и, в частности, конгруэнтность и подобие фигур. Изучение проблемы применения множеств преобразований к делению множества фигур на классы эквивалентности оправданно ограничено авторами рассмотрением равных и подобных треугольников, где с помощью преобразований определяются и доказываются признаки равенства и подобия треугольников;
• в полной мере в школьном курсе геометрии осуществлялась связь между понятием функции и понятием отображения, вводилась соответствующая символика;
• данный раздел производит впечатление целостной, логически выверенной теории. Доказательства, в основном, строго дедуктивные, в достаточной мере формализованные;
• стало возможным определить вектор как параллельный перенос.
• к достоинствам учебника геометрии под редакцией Колмогорова можно отнести и наличие множества разнообразных задач на применение преобразований плоскости, среди них немало задач и практического характера.
• большое внимание уделяется идее симметрии, рассматриваются примеры симметрии в природе, искусстве и т.д.

Преобразования  в современном математическом образовании

Во времена реформы  геометрические преобразования занимали центральное место в школьном курсе геометрии, служили основой  для доказательства многих теорем. Выясним, какое место занимают преобразования в современном обучении геометрии.

Можно выделить несколько  подходов к построению теории геометрических преобразований в современной школе: использование традиционного (синтетического), а также аналитического метода. Наибольшее распространение получил смешанный  аналитико-синтетический подход, который  и используется в действующих  учебниках. Это позволяет упростить  изложение, а также формировать  у школьников представление о  возможности использования различных  способов задания геометрических преобразований.

В настоящее время у  разных авторов школьных учебных  пособий по геометрии преобразования занимают разное по объёму и по уровню строгости положение.

Так, например, в учебнике А.П. Киселёва о преобразованиях  вообще не говорилось.

Учебник Атанасяна (реально-практический подход) предусматривает вначале описательное знакомство с симметрией (8 кл.). В конце 9 класса рассматривается общее понятие движения и его свойства, затем отдельно изучаются параллельный перенос и поворот.

В начале изучения темы вводится понятие отображения плоскости  на себя. Оно иллюстрируется примерами  ранее изученных преобразований – центральной и осевой симметрии. При этом указывается, что при  отображении плоскости на себя выполняются  два условия: каждой точке плоскости  ставится в соответствие какая-то одна точка плоскости и каждая точка  плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке плоскости. Показывается, что и для осевой, и для центральной  симметрии эти свойства выполняются. Однако в учебнике отсутствует контрпример.  В качестве такого контрпримера можно привести соответствие между точками плоскости, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие её ортогональная проекция на данную прямую. В этом случае нарушено второе условие отображения плоскости на себя. Если выбрать любую точку, не лежащую на данной прямой, то она не будет сопоставлена никакой точке плоскости. Стоит отметить, что понятие преобразования не вводится, а сразу дается определение движения. Доказывается, что каждый вид симметрии является движением. Обосновываются и некоторые свойства движений: отрезок отображается на отрезок, а треугольник на равный ему треугольник. Другие свойства движений предлагается «открыть» при решении задач.

Много внимания уделяется  и связи понятий наложения  и движения. Понятие наложения, на основе которых определяется равенство  фигур, относится в данном курсе  к числу основных. Наложение понимается как такое отображение плоскости  на себя, которое обладает свойствами, выраженными в аксиомах (аксиомы 7-13 с. 291 учебника). В отличие от наложения, движение – определяемое понятие: движения определяются как отображения плоскости на себя, сохраняющие расстояния между точками. В п.115 учебника доказывается, что любое движение является наложением, и, обратно, любое движение является наложением. Задачи, которые предлагаются после изучения материала, прежде всего формируют умение строить образ некоторой фигуры при том или ином преобразовании. Задачи, в которых понятие движения явно не присутствует, но в решении которых целесообразно было бы использовать тот или иной вид движения, даются в «Дополнительных задачах». Почти к каждой задаче дается подсказка, какое движение нужно использовать.

При рассмотрении следующих  двух видов движений, параллельного  переноса и поворота, сначала дается определение отображения, затем  доказывается, что оно является движением, причем в процессе доказательства можно  «открыть» некоторые свойства отображения. Например,  такое свойство: при  параллельном переносе прямая переходит в себя или параллельную прямую. Но, в общем и целом, свойства частных видов движений в учебнике подробно не рассматриваются.

Преобразования подобия  в учебнике не рассматриваются. Дается лишь общее определение подобных фигур: Фигуры F и F₁ называются подобными, если каждой точке фигуры F можно сопоставить точку фигуры F₁ так, что для любых двух точек M и N фигуры F и сопоставленных им точек M₁ и N₁ фигуры F₁ выполняется равенство MN/M₁N₁=k, где k – некоторое положительное число, одно и то же для всех точек. На примере построения фигуры, подобной данной, вводится понятие центрального подобия. Приводятся примеры подобных фигур, как из школьного курса математики, так и из практической действительности (географические карты одного и того же района, выполненные в разных масштабах, фотографии одного и того же предмета, сделанные в разных увеличениях).

В курсе стереометрии рассматриваются  частные виды движений пространства, аналогичные движениям плоскости, за исключением поворота. Изложение  темы не отличается от изложения темы «Движения плоскости»: вначале говорится  о понятии отображения  пространства на себя, дается определение движения плоскости,  затем рассматриваются  частные виды движений: центральная  и осевая симметрия, параллельный перенос. Вводится и новый частный вид  движений – симметрия относительно плоскости или зеркальная симметрия. Стоит отметить, что материал о  движениях является частью главы  «Метод координат в пространстве»  и потому  рассматриваемые преобразования изучаются с применением метода координат. В частности, доказательство того, что осевая и центральная  симметрия являются движениями, осуществляется с помощью этого метода. Доказательство же того, что параллельный перенос  пространства является движением, не слишком  отличается от подобного доказательства для плоскости.

В учебнике Погорелова (теоретико-групповой  подход) материал представлен в виде двух отдельных тем: «Движения» (8 класс) и «Преобразования подобия» (9 класс). Обе темы начинаются с общих вопросов: вводится общее понятие, дается два общих групповых свойства, рассматриваются свойства этих видов преобразований, их виды и специфические свойства каждого вида.

Отметим, что не дается четкого  понятия преобразования фигур. Оно  понимается как некоторое смещение фигуры и поясняется рисунком. Движением  называют такое преобразование одной  фигуры в другую, которое сохраняет  расстояние между точками. Доказываются следующие свойства движений: последовательное применение (композиция) двух движений снова есть движение; преобразование, обратное движению, также является движением. Обосновывается и свойство о том, что при движении сохраняется  отношение «лежать между». Отмечается, что при движении прямые переходят в прямые, полупрямые - в полупрямые, отрезки – в отрезки. Приводится доказательство и того факта, что при движении сохраняются углы между лучами. Далее рассматриваются частные виды движений: центральная (симметрия относительно точки) и осевая симметрия (симметрия относительно прямой), поворот и параллельный перенос. Сначала они определяются как преобразования, а затем доказывается, что они являются движениями (причем в доказательствах используется как традиционный конструктивный метод, так и метод координат, как, например, в случае осевой симметрии). Параллельный перенос определяется не векторно, а через преобразование координат: Преобразование фигуры F, при котором ее произвольная точка (x, y) переходит в точку (x+a, y+a), где a и b одни и те же для всех точек (x, y), называется параллельным переносом. Параллельный перенос задается формулами x’=x+a, y’=y+a. Эти формулы выражают координаты точки x’, y’ точки, в которую переходит точка (x, y) при параллельном переносе. Свойства параллельного переноса также доказываются координатным методом. Обосновывается и следующая теорема о существовании и единственности параллельного переноса: каковы бы ни были две точки A и A’, существует один и только один параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A’.  После рассмотрения определения параллельного переноса и его свойств, вводится понятие о сонаправленных и противоположно направленных полупрямых. Две прямые называются сонаправленными или одинаково направленными, если они совмещаются параллельным переносом. Доказывается следующая теорема о транзитивности отношения сонаправленности: если полупрямые a и b одинаково направлены и полупрямые b и c одинаково направлены, то полупрямые a и c тоже одинаково направлены. Понятие параллельного переноса используется и в теме векторы.  Так, равными векторами называются такие векторы, которые совмещаются параллельным переносом. Формулы, которыми задаются координаты точек при параллельном переносе, используются при доказательстве того факта, что равные векторы имеют равные координаты.

С помощью движений в учебнике Погорелова определяется равенство  фигур:

Две фигуры называются равными, если они движением переводятся  одна в другую.

Доказывается, что определение  равенства треугольников через  равенство соответствующих элементов  и определение равенства через  совмещение движением выражают одно и то же (доказательство осуществляется с использованием свойств движений (при движении сохраняются расстояния и углы)).

Преобразование подобия  в учебнике Погорелова формулируется  так: преобразование фигуры F в фигуру F’ называется преобразованием подобия, сели при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Это означает, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X’, Y’ фигуры F’, то X’Y’=kXY, причем число k – одно и то же для всех точек X и Y. Число k называется коэффициентом подобия.

После введения понятия подобия  дается определение гомотетии и  показывается, что гомотетия является преобразованием подобия. Затем  приводятся примеры преобразований подобия в практической жизни.

В следующем п. 101  формулируются  свойства преобразований подобия: преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки  в отрезки (это свойство дается без  доказательство, аналогичное свойство рассматривалось у движений); преобразование подобия сохраняет углы между  прямыми.

В п. 102 дается определение  подобных фигур: две фигуры называются подобными, если они переводятся  друг в друга преобразованием  подобия. Здесь же рассматривается  транзитивность отношения подобия, которая будет в дальнейшем использоваться при доказательстве признаков подобия  треугольников. Здесь же неявно формулируется  знакомое нам определение подобных треугольников как треугольников, у которых соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны. В следующих пунктах учебника рассматриваются три признака подобия  треугольников (их доказательства в  целом идентичны и основаны на использовании гомотетии и транзитивности отношения подобия).

В курсе 10 класса в теме «Декартовы координаты и векторы в пространстве»  вводится понятие преобразований пространства. Подчеркивается аналогия преобразований пространства и преобразований плоскости.  Описывается и новое преобразование, характерное для пространства, - симметрия относительно плоскости: пусть α – произвольная фиксированная  плоскость. Из точки X фигуры опускаем перпендикуляр XA на плоскость α и на его продолжении за точку A откладываем отрезок AX’. Точка X’ называется симметричной точке X относительно плоскости α, а преобразование, которое переводит точку X в симметричную ей точку X’, называется преобразованием симметрии относительно плоскости α.

В п. 157 определяется понятие  движения пространства (аналогично понятию  движения плоскости). Выделяется новое  свойство движения в пространстве –  движение переводит плоскости в  плоскости. По аналогии с плоскостью вводится определение равных фигур  в пространстве: фигуры называются равными, если он совмещаются движением.

Определение и свойства параллельного  переноса в пространстве аналогично определению его на плоскости. Новым  свойством параллельного свойства в пространстве является следующее  свойство: при параллельном переносе в пространстве каждая плоскость  переходит либо в себя, либо в  параллельную ей плоскость.

Понятие параллельного переноса в пространстве используется при  доказательстве корректности определения  угла между скрещивающимися прямыми  и угла между пересекающимися  плоскостями.

Говорится и о подобии  пространственных фигур. Преобразование подобия в пространстве определяется точно также, как и на плоскости. Перечисляются свойства подобия, знакомые учащимся по курсу планиметрии. В качестве примера преобразования подобия в пространстве приводится гомотетия относительно центра O с коэффициентом k. Рассматривается свойство гомотетии: преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя k=1).

В учебном пособии «Геометрия 7-9» И. Ф. Шарыгина тема «Преобразования плоскости» также не является ведущей, однако характер изучения темы несколько отличается от подходов, использованных в учебниках Атанасяна и Погорелова. В начале изучения темы вводится понятие преобразования плоскости и дается определение движения плоскости (оно поясняется на примере перемещения треугольника по плоскости). В качестве примеров движений указываются осевая и центральная симметрия (они рассматривались еще в 7 классе). Основным свойством движений считается следующее: результат двух последовательных движений является движением. Доказывается, что любое движение плоскости полностью задается движением трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой. Иными словами, если известны три точки плоскости A, B, C и указаны точки A’, B’, C’, в которые они переходят в результате некоторого движения, то для любой точки M этой плоскости определена точка M’, в которую в результате этого движения перешла точка M. Обосновывается и тот факт, что любое движение плоскости может быть получено с помощью не более чем трех осевых симметрий.  Далее, используя этот результат, рассматриваются частные виды движений: параллельный перенос, поворот и скользящая симметрия. Параллельный перенос определяется как композиция двух осевых симметрий с параллельными осями, скользящая симметрия – как композиция осевой симметрии и параллельного переноса.