Метод геометрических преобразований в школьном математическом образований в 1964-1985 гг

В главе «Параллельные  прямые и параллельный перенос» формулировка и доказательство многих теорем так или иначе связано с перемещениями.

Например, формулируется  и доказывается такой признак  параллельности прямых:

Теорема. Если две прямые симметричны относительно некоторого центра, то они параллельны (верно и обратное утверждение).

В параграфе 2 впервые вводится понятие отношения эквивалентности, однако до это уже доказывалось, что отношение конгруэнтности есть отношение эквивалентности, однако сам термин не вводился. В п. 35 вводится понятие направления и сонаправленных и противоположно направленных лучей. Показывается, что отношение сонаправленности является отношением эквивалентности. Множество лучей, сонаправленных с одним и тем же лучом, называется направлением.

Далее, в п. 36 вводится понятие  параллельного переноса.

Определение.

Рассматриваются два свойства параллельного переноса:

1. Параллельный перенос является перемещением.
2. Образом прямой при параллельном переносе является параллельная ей прямая, а образом луча – сонаправленный ему луч.

С помощью свойств параллельного  переноса доказывается следующая теорема:

Теорема (о параллельных отрезках). Отрезки двух параллельных прямых, заключенные между двумя другими параллельными прямыми, конгруэнтны.

Как следствие из этой теоремы  указывается следующее утверждение: Точки одной из двух параллельных прямых находятся на одном и том же расстоянии от другой из них.

Это расстояние называется расстоянием между этими двумя  параллельными прямыми.

Свойства перемещений  используются и в дальнейшем. Например, при доказательстве того факта, что  катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы используется симметрия относительно большего катета. Как следствия из того факта, что параллелограмм обладает центральной симметрией относительно точки пересечения диагоналей, рассматриваются свойства параллелограмма. Частные виды параллелограмма – прямоугольник, ромб, квадрат также изучаются с позиций теории преобразований.

В начале главы «Векторы»  рассматривается операция композиции перемещений. Доказывается следующая  теорема:

Теорема. Композиция перемещений – есть перемещение.

Вектор определяется как  параллельный перенос. Сумма векторов рассматривается как композиция параллельных переносов.

В начале главы  VI  «Подобие» учебника перебрасывается своеобразный  мостик между темами «Конгруэнтные фигуры» и «Подобием»: конгруэнтные фигуры – это фигуры одинаковой формы и одинаковых размеров. Но на практике часто приходится сталкиваться с фигурами одинаковой формы, но разного размера. В качестве примера приводится корабль и его модель, карты в разных масштабах, а также фотоснимки, напечатанные с одного негатива при разных разрешениях. Здесь же объявляется: такие фигуры называются подобными.

Затем предлагается ещё один пример: рассматриваются два треугольника и , причём отношение длин второго треугольника к длинам соответствующих сторон первого равно 2. Здесь объявляется, что существует такое отображение первого треугольника на второй, при котором любые точки и   отображаются на такие точки и , что

 

Говорят, что при таком  отображении расстояния изменяются в одном и том же отношении, а треугольник  подобен треугольнику с коэффициентом подобия .

При этом такое отображение  пока никак не называется, т.е. о преобразовании подобия пока явно не говорится.   На основе этого примера далее  формулируется следующее определение  подобных фигур:

Фигура  подобна фигуре , если существует отображение фигуры на , при котором расстояния изменяются в одном и том же отношении .

Вводится обозначение  подобия фигур.

Далее рассматриваются следующие  свойства подобных фигур:

1. Конгруэнтные фигуры подобны. Явно в тексте это свойство не выделяется, но оно очень важно и используется в доказательстве признаков подобия. Доказательство следует из определений конгруэнтных и подобных фигур: две фигуры называются конгруэнтными, если существует такое отображение одной фигуры на другую, при котором сохраняются расстояния. Значит, если рассматривать отношение этих расстояний, то всегда при делении будем получать  1. Значит, конгруэнтные фигуры подобны с коэффициентом .
2. Отношение подобия рефлексивно: каждая фигура подобна себе (коэффициент подобия равен 1). Доказательство  очевидно, оно следует из рефлексивности отношения конгруэнтности.
3. Отношение подобия симметрично: Если фигура подобна фигуре с коэффициентом , то фигура подобна фигуре с коэффициентом . Доказательство строго дедуктивное, сначала доказывается обратимость отображения подобия, а затем находится коэффициент подобия при обратном отображении.
4. Отношение подобия транзитивно: Если фигура подобна фигуре с коэффициентом , а фигура подобна фигуре с коэффициентом , то фигура подобна фигуре с коэффициентом . Рассматривается композиция отображения фигуры на фигуру и отображения фигуры на фигуру .

На основании трёх предыдущих свойств делается вывод: отношение подобия является отношением эквивалентности на множестве фигур плоскости. 

Введение гомотетии авторы обуславливают потребностью найти  способ построения подобных фигур. Рассматривается  задача: как построить многоугольник, подобный данному многоугольнику с коэффициентом . В решении предлагается взять некоторую произвольную точку плоскости O и отложить от неё векторы , , , . Получившийся многоугольник и будет искомым. Обоснование этого факта авторы пока не проводят, обоснование даётся позже, после введения понятия гомотетии и её свойств, в частности свойства о подобии гомотетичных фигур.

На основе этой задачи о  построении фигуры, подобной данной, определяется новое отображение плоскости  на себя, при котором каждая точка  плоскости отображается в такую точку , что . Приводятся примеры таких отображений с различными коэффициентами .

После этой подготовительной работы даётся определение гомотетии:

Определение. Гомотетией с центром О и коэффициентом называется отображение плоскости на себя, при котором образом произвольной точки плоскости является точка такая, что

 

Вводится обозначение  гомотетии:   и рассматриваются частные случаи гомотетии с коэффициентами и . В первом случае получаем тождественное отображение, во втором – центральную симметрию.

Далее выводится следствия  из определения:

1. Центр гомотетии отображается на себя.
2. Точки и лежат по одну сторону от центра гомотетии на прямой (если k>0), и по разные стороны (если k<0). Это следует из сонаправленности или противоположной направленности векторов и .

Авторы обращают внимание на то, что коэффициент гомотетии  может быть и отрицательным числом, а коэффициент подобия всегда положителен.

Далее формулируется и  доказывается  теорема о гомотетии, обратной данной:

Теорема. Отображение, обратное гомотетии с коэффициентом есть гомотетия с тем же центром и коэффициентом . Доказательство следует из определения гомотетии и обратного отображения.

На основе этой теоремы  делается следующий вывод:  Если фигура   гомотетична фигуре с коэффициентом , то фигура гомотетична фигуре с коэффициентом .

Затем рассматриваются свойства гомотетии:

1. Гомотетичные  фигуры подобны. Доказательство основано на следующем важном свойстве гомотетии: для любых точек и и их образов и при гомотетии   . Это векторное равенство доказывается здесь же, исходя из определения гомотетии. А затем от векторов переходят к расстояниям: .
2. При гомотетии с положительным коэффициентом каждый луч отображается на сонаправленный с ним луч, при гомотетии с отрицательным коэффициентом каждый луч отображается на противоположно направленный с ним луч.
3. При гомотетии любая прямая отображается на параллельную ей прямую, отрезок – на параллельный ему отрезок, угол на конгруэнтный ему угол.

Эти два свойства принимаются  без доказательства.

4. Если три точки , , принадлежат одной прямой, то существует единственная гомотетия с центром , отображающая точку на точку . Это свойство очень важно, поскольку в нём выделяются два способа задания гомотетии – центром и коэффициентом и центром и парой точек. Во втором случае даётся план построения. Ещё один способ задания гомотетии – двумя парами соответствующих точек, которые лежат на двух параллельных прямых или лежат на одной прямой,  рассматривается в задаче 901.

Далее авторами формулируется  следующий вопрос: существуют ли фигуры не гомотетичные, но являющиеся подобными. Чтобы ответить на этот вопрос, они рассматривают образ треугольника относительно композицию гомотетии поворота. Получившийся треугольник и исходный не являются гомотетичными, но являются подобными.

Далее даётся определение  преобразования подобия:

Определение. Отображение плоскости на себя, при котором расстояния между двумя любыми точками изменяются в одном и том же соотношении , называется преобразованием подобия. Коэффициент называется коэффициентом преобразования подобия.

Рассматриваются частные  виды преобразования подобия – перемещения () и гомотетия. Выводится следствие из определения:

Преобразование  подобия отображает фигуру на подобную ей фигуру . 

Обратное утверждение  принимается без доказательства:

Если фигура подобна фигуре , то существует преобразование подобия, отображающее фигуру   на фигуру .

Поэтому можно дать следующее  определение подобных фигур:

Определение. Фигура подобна фигуре , если существует преобразование подобия, отображающее фигуру   на фигуру .

Затем рассматриваются свойства преобразования подобия:

1. Преобразование подобия с коэффициентом обратимо. Обратное отображение – есть преобразование подобия с коэффициентом .  Доказательство этого свойства аналогично доказательству подобного свойства для гомотетии.
2. Композиция двух преобразований подобия с коэффициентами есть также преобразование подобия с коэффициентом .

Как частный случай этого  свойства рассматривается следующее  утверждение:

Композиция гомотетии  и перемещения есть преобразование подобия.

Далее формулируется обратное утверждение и доказывается теорема:

Теорема. Каждое преобразование подобия есть композиция гомотетии и перемещения.

Доказательство синтетическое, сначала рассматривают композицию произвольного преобразования  подобия  и гомотетии с коэффициентом . А эта композиция есть преобразование подобия с коэффициентом , т. е. некоторое перемещение . Получают следующее равенство:

 

На обе части равенства  действуют гомотетией , обратной гомотетии , то есть гомотетией с коэффициентом :

 

 

 

 

Следовательно,  

Далее формулируются и  доказываются признаки подобия треугольников  в следующем порядке:

1. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами конгруэнтны, то такие треугольники подобны.
3. Если два угла одного треугольника конгруэнтны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство всех трёх признаков аналогично, можно выделить следующую схему доказательства:

Пусть даны треугольники   и . Рассматривается гомотетия с произвольным центром и коэффициентом . Эта гомотетия отобразит треугольник на подобный ему треугольник , так что треугольник и треугольник   конгруэнтны, а значит подобны:

,   

Так как отношение подобия  транзитивно, то получаем:

 

Докажем, например, признак  подобия по двум углам (3).

Дано:

Доказать:

Доказательство.

Рассматривается гомотетия  с произвольным центром  и коэффициентом . Эта гомотетия отобразит треугольник на подобный ему треугольник . Значит,

,

Причём 

 и  (так как при гомотетии величина угла сохраняется)

Кроме того, по построению и  условию:

 и 

Поскольку отношение равенства  транзитивно, то:

 и 

А значит,

 

Так как конгруэнтные фигуры подобны, то:

 

В силу транзитивности отношения  подобия фигур из соотношений

,   

следует

 

Другие признаки доказываются совершенно аналогично.

Рассмотрев логику изложения  понятий перемещения, преобразования подобия, связанных с ними свойств  и теорем во времена колмогоровской реформы, можно сделать следующие выводы о положении и значении темы в школьном курсе математики тех лет: