Метод геометрических преобразований в школьном математическом образований в 1964-1985 гг

А.Н. Колмогоров подчеркивал, что основной задачей разработчики новых программ считали достижение идейной стройности курса математики, основываясь на трех основополагающих принципах:

• Всюду, где это возможно, учащихся надо прямыми путями вести к современным и рациональным методам решения проблем и задач. Именно этой идеей руководствовались составители программ, рекомендуя раннее введение алгебраической символики при записи общих формул решения типовых задач и при решении уравнений. По этой же причине предлагалось раннее введение отрицательных чисел.
• Переход к новому кругу идей должен быть по возможности мотивирован понятным для учащихся способом.
• Каждое направление работы учащегося, будучи начато, должно быть доведено до тех минимальных результатов, которые его действительно оправдывают. Школа не должна заниматься наполнением памяти учащихся заготовками, которые в школьном курсе не найдут достойного применения в надежде, что учащимся они когда-нибудь пригодятся. Этими соображениями Колмогоров объяснял исключение из школьного курса темы «Комплексные числа»: «Мы считаем сохранение темы «Комплексные числа» в объеме действующих сейчас программ, когда, например, тригонометрическая форма комплексного числа изучается, но сложение аргументов при умножении из программы исключено, не имеющим разумного смысла».

Разумеется, новая программа по математике радикально отличалась от всех предшествующих программ нашей отечественной школы, и, разумеется, серьезным изменениям подверглось содержание математического образования. Решение задач в начальной школе (и в 4-5 классах) велось, в основном алгебраическим методом. Уже в 4-м классе вводилось неопределяемое понятие множества, пустого множества, пересечения и объединения множеств. Вводились соответствующий язык и символика. В 4-5 классе начинала формулироваться идея функциональной зависимости как соответствия между элементами двух множеств. Тогда же вводились понятия выражения, выражения с переменной, равенства. Уравнение понималось как равенство, содержащее переменную. С 6 класса начиналось систематическое изучение курса алгебры, элементы математического анализа изучались в 9-10 классе. Функция трактовалась как отношение соответствия, а затем как отображение одного множества на другое. Причем вначале рассматривались конечные множества произвольной природы, а затем переходили к числовым функциям. В 9 классе ученики знакомились с понятием производной, в 10-м классе – интеграла, поэтому свойства показательной, логарифмической и тригонометрической функции изучались с помощью понятия производной. Из программы были исключены комплексные числа, элементы комбинаторики, а элементы теории вероятности так и не были введены.

Коренной переработке  был подвергнут курс геометрии. В  уже упоминавшейся статье Колмогорова  были сформулированы основные тенденции  перестройки курса геометрии. Во-первых, формирование начальных геометрических сведений должно происходить в младших классах. Во-вторых, логическая структура систематическая курса геометрии, по замыслу авторов реформы, должна значительно упроститься. «Развитие привычки к строгим логическим доказательствам, - пишет Колмогоров, - на этом этапе соединяется с открытым признанием права принимать без доказательства избыточную систему допущений». Предлагалось, в частности, пополнить список утверждений, принимаемых без доказательства. Причем подчеркивалось, что не обязательно нужно называть их аксиомами. Например, подобие определялось авторами учебников через равенство отношений соответствующих отрезков, при этом постулировалось существование фигуры, подобной данной, с произвольным коэффициентом подобия и равенство соответствующих углов в подобных фигурах. Такие допущения позволяли обойти все трудности, возникающие в теме «Подобие» из-за отсутствия ясных представлений об иррациональных числах.

Наконец, третьей тенденцией изменения курса геометрии было построение курса геометрии в  старших классах на основе векторных  представлений. Координатный метод  считался вспомогательным. Предлагалось, в частности, внедрить в школьную программу старших классов изучение понятия векторного пространства и  связанной с ним системы аксиом.

Проблема логического  построения курса геометрии решалась следующим образом: вначале вводились  основные понятия (точка, прямая, плоскость, расстояние от одной точки до другой), а в дальнейшем их свойства описывались  через систему аксиом (их было 12). Система аксиом состояла из пяти групп: аксиомы принадлежности (3), аксиомы  расстояния (3), аксиомы порядка (4), аксиома  подвижности плоскости и аксиома  параллельности. Соответственно, авторами использовался аксиоматический  подход к построению курса геометрии. Аксиомы формулировались в учебнике постепенно, по мере необходимости, однако знакомство с ними и соответствующей  терминологией начинается уже первых страниц учебника. Уже в п.2 говорится об основных (неопределяемых) понятиях, а в п.4 впервые появляется термин «аксиома».

При построении нового курса  геометрии активно применялся и  теоретико-множественный подход. Изучаемые  определения, аксиомы, теоремы формулировались  в терминах теории множеств. Так, геометрическая фигура понималась как множество  точек. Даже в ходе доказательства теорем и решения задач использовался  язык теории множеств: например, следовало  говорить, что точка X  принадлежит отрезку AB, а не лежит на отрезке AB.

В основу курса геометрии  было положено изучение свойств расстояний, свойств геометрических фигур и  их взаимного расположения. Впервые  начали изучаться геометрические преобразования: перемещения, преобразования подобия, гомотетия (центральное подобие). Важнейшим  понятием стало отображение: «с помощью  отображений представилось возможным  дать общее определение подобных фигур». Геометрические преобразования стали мощным средством решения задач и доказательства теорем.

Много внимания авторами учебников  уделялось межпредметным связям, в частности связи математики и физики. Так, в п. 60 учебника «Геометрия 6-8» под редакцией А.Н. Колмогорова  говорится о применении векторов при решении физических задач, объясняется  разница между понятиями вектор и векторная величина, которые  в физике нередко отождествляют.

В 1970/71 году начался массовый переход школы на новую систему обучения математике. Однако с самого начала внедрение новых программ и учебников столкнулось с заметными трудностями. Ни учительство, ни институты усовершенствования учителей, ни пединституты, ни органы образования на местах не были готовы к столь резкому изменению содержания и методов обучения математике в школе. Не все учителя могли вникнуть в новые идеи, а, следовательно, и донести их до учащихся. Новая программа содержала не только целый ряд абсолютно новых для учителей вопросов, но и весьма непривычные для них трактовки общеизвестных математических понятий, равно как и необычную терминологию и символику. Чего, например, стоило учителям осмыслить привычный «направленный отрезок» (вектор) как параллельный перенос; использовать в школе термин «конгруэнтно» вместо привычного термина «равно», говорить о задаче решения неравенства типа и т.п. Поэтому в педагогических институтах по инициативе Колмогорова был введен курс «Научные основы школьной математики». Этот предмет ставил своей целью показать будущему учителю, как отражается состояние современной науки в школьном курсе математики, помочь ему предвидеть возможное развитие школьного курса. Однако это начинание могло дать свои плоды только в перспективе. А времени катастрофически не хватало. Лишь один учебный год был оставлен для написания новых учебников и их проверку. Предложения А.Н. Колмогорова о необходимости проведения некратковременных экспериментов для «ометодичивания» учебников, о создании параллельных учебников и дифференцированного обучения в старших классах были отклонены: начинался переход ко всеобщему среднему образованию.

Программу и реформу в  целом начали критиковать. Отмечалась трудность понимания школьником понятий бесконечность и бесконечное множество. Возникла «педагогическая вилка» между обучением математике и обучением физике. На уроках математики школьники говорили о функции как о соответствии, а на уроках физики те же школьники говорили о ней как о зависимой переменной (и такая «раздвоенность» была не единственной).

Конечно, не вся критика  новых идей была конструктивной. Бытовало мнение, что «советская школа через  обновленный курс математики попала под влияние современных буржуазных воззрений». Колмогорова обвиняли в  космополитизме. В 1980 году в журнале  «Коммунист» появилась статья академика  Л.С. Понтрягина «О математике и качестве её преподавания», в которой автор  осуждал разработчиков реформы  за излишний формализм, замену в учебниках многих сравнительно простых, наглядных формулировок на громоздкие, нарочито усложненные. В качестве примера он приводил определение вектора. Теория множеств, по мнению Л.С. Понтрягина, это только язык, удобный для математиков-профессионалов, а школьникам он не нужен. Утверждалось также, что пора вернутся к серьезным школьным задачам, не тратя времени на то, что учащимся может никогда и не понадобиться, так как техника и технологи прекрасно развиваются без теории множеств.

Появлялись статьи в защиту колмогоровской реформы, но они не принимались к печати. Из программы начали изымать некоторые разделы. К 1984 году произошло возвращение к старой идеологии преподавания математики. Отказ от теоретико-множественного подхода произошел, однако в содержании школьного курса остались векторы и координаты, элементы анализа. Курс геометрии снова строится в духе «Начал» Евклида. Идеи Колмогорова ждут своего воплощения.

Значение  метода геометрических преобразований. Эрлангенская программа Клейна.

Одним из центральных понятий  школьного курса геометрии во времена колмогоровской реформы стало понятие геометрических преобразований, в частности, изучались движения и преобразования подобия. Метод геометрических преобразований стал не просто предметом изучения, а средством выявления свойств фигур, инструментом доказательства теорем и решения задач. Логику разработчиков реформы легко понять, если иметь в виду то удивительное значение, которое имеет метод геометрических преобразований в геометрии-науке.

Создание математической теории геометрических преобразований и осознание их важной роли в геометрии  связано с именем немецкого математика Ф. Клейна, который при вступлении в должность профессора кафедры  геометрии в университете г. Эрлангена прочитал лекцию о роли преобразований в геометрии. Выдвинутая им идея переосмысления всей геометрии на основе теории преобразований получила название Эрлангенской программы. Подход, предложенный тогда Клейном, позволил сформировать единую точку зрения на различные геометрии и тем самым дать ответ на вопрос, что же такое геометрия.

К середине XIX века геометрия  разделилась на множество плохо  согласованных разделов: евклидова, сферическая, гиперболическая, проективная, аффинная, комплексная и т. д. Клейну принадлежит идея алгебраической классификации  различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований, которые её определяют. Так, например, евклидова геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при движениях. Иначе говоря, если одна фигура получается из другой движением, то у этих фигур одинаковые геометрические свойства. В этом смысле движения составляют основу евклидовой геометрии. Они обладают тем свойством, что композиция g◦f любых двух движений  f и g также является движением; кроме того для любого движения f существует обратное отображение f, которое также является движением. Таким образом, движения образуют группу. Следовательно, группа движений задает, определяет евклидову геометрии. Существуют и другие группы преобразований. Например, все параллельные переносы образуют группу, все подобные преобразования также образуют группу. По мысли Клейна, каждая группа преобразований определяет свою геометрию. Эта геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при всех преобразованиях данной группы. Так, принимая за основу группу движений, мы придём к обычной (евклидовой) геометрии; заменяя движения аффинными преобразованиями или проективными преобразованиями, придем к аффинной, и, соответственно, проективной геометрии. Основываясь на идеях А. Кэли, Клейн показал, что принятие за основу группы проективных преобразований, переводящих в себя некоторый круг (или произвольное коническое сечение), приводит к неевклидовой геометрии Лобачевского.

Эрлангенская программа  Клейна и заложенные в ней идеи позволили дать общее определение  геометрии: геометрия – это наука, изучающая такие свойства фигур, которые сохраняются при преобразованиях  некоторой группы преобразований. Групповой подход Клейна унифицировал различные геометрии и их методы, прояснил их различия, показал внутреннее единство геометрии, при этом связующим звеном, объединяющим в единую науку различные геометрические дисциплины, выступили геометрические преобразования. На новом уровне повторилось открытие Декарта: алгебраизация геометрии позволила получить глубокие результаты, для старых инструментов крайне затруднительные или вовсе недостижимые. Стоит также отметить, что после первой алгебраизации геометрии Декартом, то есть в аналитической геометрии, имелось одно неудобство: часто приходилось отдельно доказывать геометрический характер результатов, то есть их независимость от системы координат. Дополнительным достоинством подхода Клейна было то, что полученные инварианты по самому смыслу своего определения от системы координат не зависят.

Отметим также, что подход Клейна оказался применимым к самым  абстрактным геометриям ― многомерным, неевклидовым, неархимедовым и т. д. В начале XX века Исай Шур, Эмми Нётер, Эли Картан и другие математики разработали общую теорию представлений групп и теорию инвариантов. Эти исследования не только существенно обогатили геометрию, но оказались необходимы в физике.

Значение идей Эрлангенской программы Клейна не исчерпывается  рамками только геометрии. Групповая  точка зрения на геометрические свойства фигур широко используется в физике. Так, русский математик и кристаллограф  Е.С. Федоров, используя клейновские идеи, открыл кристаллографические группы, носящие теперь его имя. Они стали в наши дни подлинной научной основой всей кристаллографии. Групповой подход находит важные применения и в ядерной физике: принципы симметрии и четности – яркое проявление групповой точки зрения. Основой специальной теории относительности стала группа Лоренца; по существу эта группа представляет собой своеобразную геометрию «четырехмерного пространства-времени», определяемого группой Лоренца. Важные приложения групповая точка зрения находит и в других областях физики, химии.

Влияние группового подхода  можно проследить и в школьной геометрии. Каждая фигура F определяет некоторую группу движений, в эту группу входят все те движения, которые переводят группу F в себя. Она называется группой самосовмещений фигуры F. Знание группы самосовмещений фигуры F во многом определяет геометрические свойства этой фигуры.  Рассмотрим параллелограмм общего вида, т.е. параллелограмм, не являющийся ни прямоугольником, ни ромбом. Существуют два движения, переводящие этот параллелограмм в себя: тождественное отображение и симметрия относительно точки , в которой пересекаются диагонали параллелограмма. Других движений плоскости, переводящих параллелограмм в себя нет. Таким образом, группа самосовмещений состоит из двух элементов . Из того, что группа самосовмещений параллелограмма содержит центральную симметрию r, вытекают все основные свойства параллелограмма. Например, так как противоположные углы параллелограмма центрально симметричны относительно точки , то эти углы равны. Из симметричности противоположных сторон параллелограмма вытекает, что эти стороны равны и параллельны.