Элементы векторной алгебры

2) Дневной расход по типам сырья на фирмах описывается матрицей, по- 
лученной умножением двух матриц SQ

^r \( \   (66   79   57  55^

SQ= • = 101  109  66  74

){ )   [91   115  62  97_;

Здесь z'-ая строка полученной матрицы SQ соответствует расходу / -го типа сырья по фирмам, у-ый столбец - расход сырья у- ой фирмой.

3) Годовая потребность каждой фирмы по каждому сырью получается пу- 
тем умножения дневной потребности (т. е. матрицы SQ) на соответст- 
вующее количество рабочих дней каждой фирмы в году (т. е. умножени- 
ем на матрицу Г):

'13 200   11 850  5 700  11 000^

20 200      

SQT =

V 

19 400 

)

4) Тогда стоимость  общего годового запаса сырья  для каждой фирмы получается умножением вектора цен (р) на годовую потребность (SQT):

( \

 

pSQT = (30  20  10)

V

= (994 000  855 000  365 000  82 000).

Элементы в  полученной строке означают величину кредита для каждой фирмы, необходимого для закупок сырья, требуемого в  производстве данных изделий.

Использование систем линейных уравнений.

Существует множество  экономических задач, приводящих к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений.

Мы  рассмотрим такую задачу на примере  макроэкономической модели многоотраслевого хозяйства. Каждая отрасль, с одной  стороны, является производителем, а  с другой - потребителем продукции выпускаемой другими отраслями. Возникает задача расчета связей между отраслями и баланса выпускаемой и потребляемой продукции. Впервые эта проблема в математической форме была сформулирована в 1936 г. в трудах американского экономиста Василия Леонтьева (русского эмигранта 1913 г., лауреата Нобелевской премии, осуществлял анализ причин экономической депрессии в США в 1929 - 1932 г.г.). Межотраслевые модели используются во многих странах мира (более 80), и позволяют организовать рациональное управление производственными секторами национальных экономик.

Для простоты предположим, что изучаемое  хозяйство (макроуровень) представляет собой п отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Мы предполагаем, что в одну отрасль объединены все производства одного продукта. Интуитивно ясно, что чем мельче «нарезка» производственного сектора национальной экономики на «отрасли», т.е. чем больше п, тем адекватнее можно описать существующие взаимосвязи. Но здесь имеется эффект «проклятие бесконечности», связанной с размерностью получаемых задач. В 1972 г. в СССР, п = 112. Сейчас в Японии п = 2000. Чаще всего, используют п = 500 - 600. Процесс производства обычно изучается за некоторый период (год, например). Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление) (например, тракторному заводу нужны моторы из моторного завода).

Составим  математическую задачу деятельности многоотраслевого хозяйства, для чего введем следующие обозначения:

1. х.—общий объем продукции /-ой отрасли (валовой выпуск); i — l,n, х. > 0 — по смыслу;
2. x_tj — объем продукции /-ой отрасли, потребляемой у'-ой отраслью в процессе производства продукции х., j — 1, п. По смыслу х.. > 0;

3) y_i —объем продукции /-ой отрасли, предназначенной для реализации в

непроизводственной сфере (продукт конечного потребления, личное потребление граждан, общественное потребление, гос. органы, ...),

y_i > O.i -l,n.

Принцип баланса во взаимосвязях различных отраслей данного хозяйства состоит в том, что валовой выпуск /-ой отрасли должен равняться сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности или простого сложения) балансовые соотношения имеют вид:

^Хг =^ХИ^+ХП⁺--- ^{+ Х}т⁺Уп       1=1,2, Л (1)

Уравнение (1) называют соотношениями баланса.

Замечание. Поскольку продукция разных отраслей имеют разные измерения (метры, тонны, штуки, ...), то в дальнейшем будем иметь в виду стоимостный баланс (в единых единицах измерения, например, млн. рублей).

Было установлено (первым, видимо, Леонтьевым В.В.) важное свойст-во: в течение длительного периода величины а — —; I, j — i,n меняются

 

очень слабо и могут рассматриваться как постоянные числа. Это можно объяснить, например, тем, что технология производства остается на одном и том же уровне длительное время. Следовательно, объем потребления у'-ой отраслью продукции /-ой отрасли при производстве своей продукции объема х^есть технологическая константа. В силу этого факта можно сделать следующее допущение: для производства у'-ой отрасли продукции объема X. нужно использовать продукцию /-ой отрасли в объеме  а.-х., где

J

а.. - const:

 

х = а • х .

j     у   1

При таком допущении технология производства принимается линейной (гипотеза линейности). При этом числа а_И называются коэффициентами пря-

мых затрат или технологическими коэффициентами. Тогда уравнения баланса (1) можно переписать в виде системы

 

+ ^а1п^хп + У1>     x_t>0

(2)

х„ =а„,х, + + а„х + у„,     у, > О

Введем в рассмотрение векторно-матричные обозначения:

 

X - 

-вектор  валового выпуска;

 

K^XnJ

У = 

—вектор конечного потребления;

А =

 

 

а_::

— матрица коэффициентов прямых затрат (технологическая

\J,j = l,n^ матрица).

Тогда (2) в матрично-векторной записи есть

х = Ах+у,     х>0,    у>0. (3)

Обычно  уравнение (3) называют уравнением линейного межотраслевого баланса, а описанную выше модель называют моделью Леонтьева.

Модель  межотраслевого баланса можно использовать для различных целей, среди которых можно выделить две основные:

1. В первом, более простом случае, пусть известен вектор валового выпуска х и известна технологическая матрица А. Требуется рассчитать вектор конечного потребления у. Это решается просто у = х — Ах.
2. Во втором случае используется для решения следующие задачи: Для периода времени (например, на 1 год) Т задан вектор конечного потребления у. Требуется определить вектор х валового выпуска (при условии, что задана технологическая матрица^).

В этом случае надо решить систему уравнений

х- Ах = у   или   (Е - А)х - у, (4)

где у - задано, х - неизвестно.

Отметим, что система (4) имеет ряд особенностей, связанных с экономическим характером ее элементов: все элементы a_t- > О, х. > О, y_i > 0. Эти особенности усложняют задачу. Вообще говоря, не для всякого заданного наперед у > О найдется решение системы (4), что х > О.

В связи  с этим дадим следующее определение

Определение. Матрица А, все элементы которой > О называется продуктивной, если для любого вектора у > О существует решение   х

уравнения (4), причем х > 0.

Если существует обратная матрица (Е — А) ¹, то уравнение (4) имеет

единственное  решение

х = (Е-АГу. 

(5)

Матрица В — (Е — А) называется матрицей полных затрат или мультипликатором Леонтьева. Если обозначить элементы матрицы В как (Ьц),

т. е. В — (b_tj) — (Е — А) ¹, то решение (5) представимо в виде

п

 

(6)

Коэффициенты   Ъц имеют глубокий экономический смысл , а именно,  Ъц

— это количество валовой продукции (в стоимостном выражении) отрасли /, необходимой для выпуска единицы конечной продукции (в стоимостном выражении) отрасли j. Из смысла коэффициентов Ъц и анализа модели вытекают следующие два их свойства:

1. Ъц > 0 при всех допустимых
2. b_tj > 1 при всех j = 1,2,п

(1)

(1)

(1)

(1)