Элементы векторной алгебры

Примеры линейных пространств:

1) множество Р[х] всех многочленов от одной действительной переменной с действительными коэффициентами, если сложение и умножение на число определить обычным образом;

2)множество  всех бесконечных последовательностей  чисел (х₁,...,х_и,....), если сложение и умножение определить покомпанентно;

3) множество С[а,Ь] всех непрерывных на отрезке функций с поточечным заданием операций.

Замечание. Множество всех векторов могут образовывать и другие алгебраические структуры, такие как группа, кольцо, тело, метрическое пространство и др. Эти структуры получаются, если при определении операций над векторами отказаться от некоторых привычных нам свойств или допустить другие операции (например, от свойства коммутативности, или ввести новую операцию умножения вектора на вектор и т.д.).

 

 

§ 2. Скалярное произведение векторов.

 

Понятие n-мерного пространства Rⁿ, при п > 3 далеко не в пол-

2       3

ной мере обобщает привычные пространства R , R . Так, например, пока не определены понятия длины вектора, угла между векторами (например, как это представить в 5-мерном пространстве^⁵). Оказывается, что положение можно исправить путем введения понятия скалярного произведения векторов.

Определение. Скалярным произведением (х, у) двух векторов х = (х₁, ..., х_и) и У = {у_х, у„) называется число, равное сумме произведений соответствующих (одноименных) координат

   п

^{(х,у) = х_х ■ у, +х₂ ■ у₂ +... + х_п ■ у_п = Y,xi ■ y_t ■}

i=l

Из  данного определения следуют  следующие основные свойства скалярного произведения векторов:

!) (х, у) = (у,х);

3. (х + j,z) = (x, j) + (j,z);
4. (х, х) > 0 при V   х^0и(х, х) = 0   <^>   х = 0.

Для доказательства какого-либо из свойств 1) - 4) достаточно, например, найти числа в левой и правой частях соответствующих выражений и убедится, что они равны. (Упр.)

Определение. Векторное пространство с введенным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Определение. Длиной n-мерного вектора х называется число ^х, xj (арифметическое значение квадратного корня). Длину вектора

будем обозначать х или х , (чтобы не смешивать с понятием абсолютных величин).

Таким образом,   длина любого вектора есть    х = ^х, xj    или

|х|| = ^(х, х) .

Из свойства 4) следует, что каждый n-мерный вектор х обладает длиной, причем нулевой вектор 0 является единственным вектором, длина которого равна 0.

Иногда  скалярное произведение ^х, xj называют скалярным квадратом вектора х и обозначают х . Тогда из формулы длины век-

2

тора  следует '

х

= ^х, xj = х , т.е. квадрат длины вектора равен скалярному квадрату. Можно доказать, что верно следующее утверждение.

Теорема. Если х и у — n-мерные векторы, то справедливы следующие соотношения:

 

Л

<

<

X

1)

2) 3) 

 

Лх

(х, у) х+у 

 

X

 

 

X

 

+ 

, где X - число; у —(неравенство  Коши-Буняковского; у — (неравенство треугольника).

 

Следствие. 

-х 

X 

. Действительно, 

-х 

1 

х 

X

 

Определение. Вектор называется нормированным, если его длина равна 1.

Покажем, что  каждый ненулевой вектор х можно нормировать. Для

этого умножим вектор х на число Л — 

1 

Тогда

X

Л-х 

1  -

х

X 

 

 

X 

 

X 

X

 

X 

 

=1,

 

что и требовалось доказать.

 

 

§ 3. Угол между n-мерными векторами.

Из   неравенства  Коши-Буняковского двойное  неравенство 

(х, у) 

< 

 

х 

 

У 

 

следует

х 

У 

<(х, у)< 

+ 

х 

У

 

или если разделим его на 

х 

У 

, то получим

 

-1<^<1. 

(1)

X 

У

Определение. Углом <р между ненулевыми n-мерными векторами х и у называется решение уравнения

(2)

(х, у)

cos ф -

X 

У

которое принадлежит  отрезку [О, к\.

Из условия (1) следует, что уравнение (2) имеет на отрезке [0, к\

единственное решение при любых х ф О, у ф О (что свидетельствует о корректности введенного выше определения).

Следствие. Перепишем равенство (2) в виде

(х, у) - х • у • соъф. (3)

Таким образом, скалярное произведение равно  произведению длин этих векторов на косинус  угла между ними.

Замечание. Часто в качестве определения скалярного произведения векторов принимают равенство (3). В этом случае требуются некоторые пояснения понятия угла между векторами в п - мерном пространстве.

Определение. 1) Два ненулевых n-мерных вектора х и у называются коллинеарными, если угол между ними равен 0 или ж. Если <р = О, то векторы называют одинаково направленными, если ф = 7Г, то противоположно направленными.

2) Два ненулевых n-мерных вектора х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю {^х, _уj = 0 (или угол

 

между ними равен ^-).

Можно показать, что верно следующее  утверждение.

Теорема. Ненулевые векторы х и у коллинеарны тогда и только тогда, когда (<=>) можно найти такое число 1, что х — Я - у.

Если  векторы заданы своими координатами х = (х₁, ..., х_и), у — ( у_г, ..., у_п), то из условия равенства векторов х - Л - у или в координатной записи (хр х_п^) = (Ау₁, Ау_и) следует, что векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда выполняются следующие равенства   х. = Л• у_{, i = 1,п. Другими словами, векторы коллинеарны,

когда одноименные координаты векторов пропорциональны (с одним и тем же коэффициентом пропорциональности 11 ), т. е.

 

^х1                  ^Хп     

Ух     "    Уп

Замечание. При геометрическом изложении векторов, определение коллинеарных векторов звучит так: говорят, что векторы на плоскости (и в пространстве) коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Далее, три вектора в пространстве называют компланарными, если эти векторы лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Замечание. (Упр. ^. Существуют, помимо скалярного произведения векторов, другие понятия произведения векторов. Например:

1) векторное произведение 2-х векторов 

хху 

, результатом кото-

 

рого является не число, а вектор;

2) смешанное  (векторно-скалярное)  произведение  3-х векторов

хх у , zj, результатом которого является число.

Имеется определенный геометрический и физический смысл таких произведений. Например, векторное произведение используется для проверки коллинеарности векторов, вычислении площадей параллелограмма и треугольника, для нахождения линейной скорости вращения твердого тела). Смешанное произведение можно использовать для определения компланарности векторов, вычисления объема параллепи-педа, пирамиды и др.

 

§ 4. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов.

 

При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов обычно одинаковой размерности, которую обозначим как

(1)

Определение. Пусть \, Л₂,      Л_к - произвольные действительные числа. Линейной комбинацией векторов а\,       at называется вектор Ъ вида

к

(2)

Будем говорить, что заданный вектор Ъ разлагается по векторам      а\,       at   (линейно   выражается),   если  найдутся   числа Л_[,      Л_к такие, что верно следующее равенство

к

Ь-^Ла..

i i

 

Замечание. Вспомним, что два вектора Ъ и а называются колли-неарными, если Ъ — Ла, где 1 - некоторое число. Поэтому в некотором смысле понятие линейной комбинации векторов обобщает понятие кол-линеарных векторов. Здесь мы объединили две операции - сложение векторов и умножение векторов на число.

Пример. а_г=(1, 2, 0), а₂ = (2, 1, 1), а_ъ = (-1, 1, -2). Пусть Л_[=2, Л₂ = 3, Лз=4. Тогда линейная комбинация векторов есть

Ь — \ а_г + Л₂ а₂ + Л_ъ а_ъ — ( для вычислений удобнее столбцевая запись)

 

	(1)		(2)		Г-Г|		(4)
2	2	+ 3	1	+ 4	1	—	п
	А

 

Определение. Будем говорить, что система векторов а_{,       а_к

является линейно зависимой, если существуют такие числа \,      Л_к, из которых хотя бы одно отлично от нуля (иногда этот

п

факт  записывают как 

/ Д. ^ 0), что верно равенство

i=l

J^a_{+... +Л_ка_к =0, (3)

т.е. линейная комбинация векторов равна нулевому вектору.

Если  же равенство (3) возможно лишь при Л_[=Л₂= ... = Л_к = 0, то

такая система  векторов называется линейно независимой.

Простейшие  свойства линейно   зависимых  и независимых векторов^

1. Нулевой вектор 0 разлагается по любой системе векторов, так как справедливо равенство 0 = 0• а_{+ ... + 0• а_к, с нулевыми коэффициентами.
2. Если вектор разлагается по части векторов, взятых из заданной совокупности, то он разлагается и по всей системе векторов (дополняя остальные слагаемые, например, нулевыми коэффициентами).
3. Каждый n-мерный вектор b — {b_x, £>_и) разлагается по следующей диагональной системе единичных n-мерных векторов

'ei=(l, 0,      0)' е₂=(0, 1,      0)

 

 

^„=(0, 0,      1))

 

в виде b = b_le_l+... + b_ne_n.

Можно    показать,    что    диагональные    системы    векторов е_{,      е_п — линейно независимы для любого целого числа п. ^Упр.*)

4. Если система векторов зависима, то в сумме (3) найдется слагаемое, у которого Л₅ф 0, а значит, вектор a_s можно линейно выразить через остальные векторы (разделив все соотношения на Л₈ и перенося в другую часть).
5. Система векторов, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима.
6. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Три 3-мерных вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.
7. Если система а_г, ..., а_к линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.
8. Наоборот, если в системе а_{, ..., а_к какая то ее часть линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Упр. - проверить свойства 1) - 8).

Выше мы показали, что любой n-мерный вектор b = (b_x, ..., Ь_и)

можно разложить по диагональной системе  единичных векторов е_г, е_п. Возникает вопрос: существуют ли другие, отличные от единичных векторов, векторы такие, что любой n-мерный вектор можно представить как линейную их комбинацию? Если да, то как их описать?

Определение. Пусть задана система векторов (1). Максимально независимой подсистемой совокупности (1) (векторов а_{, a_k) называется любой частичный набор векторов этой системы, удовлетворяющий двум условиям:

1. векторы этого частичного набора линейно независимы;
2. любой вектор исходной совокупности (1) линейно выражается через векторы этого частичного набора.

Нетрудно  видеть, что, вообще говоря, произвольно  заданная совокупность векторов может иметь несколько различных максимальных линейно независимых подсистем. Однако, имеет место следующее утверждение:

Теорема. Все максимально независимые подсистемы заданной совокупности векторов имеют одно и то же число векторов.

Это утверждение делает возможным следующее определение.

Определение. Максимально независимая подсистема системы векторов называется ее базисом. Число векторов базиса называется рангом исходной системы векторов.

Другими словами, ранг системы векторов - это максимальное число линейно независимых векторов системы.

Ясно, что если ранг системы векторов а_{,      а_к меньше числа к, то

эта система может  иметь несколько базисов.

Замечание. Один из возможных способов вычисления ранга системы векторов непосредственно следует из определения (путем очевидного перебора различных комбинаций). О других способах вычисления ранга системы векторов будет сказано в Главе 2 (Матрицы).

Лемма. Система векторов, состоящая более чем из п-штук п-мерных векторов, линейно зависима.

Доказательство. Пусть а_{, ..., а_т, т> п. Добавим к ней еще п штук

единичных векторов е_{, е_п. В расширенной системе а_{, а_т, е_{, е_п векторы е_{, е_п образуют базис, так как они, во-первых, линейно независимы; во-вторых, любой вектор а_{ является их линейной комбинацией (см. ранее). Значит, ранг расширенной системы равен п. Но тогда и ранг исходной системы векторов равен п. А так как т> п, то исходная система векторов является линейно зависимой, щ

До сих пор  мы говорили о конечной совокупности векторов a_v a_k одинаковой размерности. Как быть, если рассмотреть систему   векторов,   содержащую       бесконечное       число   векторов

 

 

Доказанная  лемма позволяет распространить понятие базиса и ранга и на бесконечную совокупность. Согласно этой лемме базис любой такой совокупности n-мерных векторов состоит из конечного числа векторов, не превосходящих числа п , где п - размерность пространства векторов, из которых образована данное множество векторов. Значит, мы можем говорить о базисе и ранге системы всех n-мерных векторов,