Элементы векторной алгебры

 

Лекция  № 2 Матрицы и матричное исчисление     проф. Дымков М.П. 22

§ 3. Определитель матрицы.

Пусть А - квадратная матрица порядка п. Матрице А можно поставить в соответствие действительное число det А (иногда обозначают это число как

А или А), которое  называется определителем (детерминантом) матрицы ,

Введем понятие  определителя матрицы для п — 1,2,3?••• по мере роста размеров квадратной матрицы следующим образом: 1. При п = 1, т.е если А = а_п    , то положим det А = а_п.

\

 

22 )

2. При 

 

п 

 

=    2, 

 

т.е 

 

если 

 

А = 

11      "12

а

\^а2\ 

 

то    положим

 

detA = 

а_п   а₁₂ 

 

^11^22     ^12^22"

, то

^21     ^22

 

 

Символически

 

		(а "п	а\2	"13
3.	При /7 = 3, т.е. если А —		^22	а2Ъ
		\аъ\	аЪ2

 

	ап	а\2	а\ъ
detA =	а2\	^22	а2Ъ
	аъ\	аЪ2

 

 

	^22	а2Ъ			а2Ъ	+ аи-	а2\	^22
			аХ2 •
	аЪ2			аъ\	аъъ		аъ\	аЪ2

 

 

Или, если воспользоваться  предыдущим, то

 

	а\2	а\ъ
а2\	^22	а2Ъ		^22	аъъ	+ Q,l2 ' ^23 '	•а31	+ аи		аЪ2
аъ\	аЪ2		-(ап	• а2Ъ	• аЪ2	+ а12 • а2\		+ аи	' ^22	■а31).

Для облегчения запоминания удобно воспользоваться  правилом треугольников (или правилом Саррюса)

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Общее определение  может быть дано следующим  образом.

Определение. Определителем квадратной матрицы А п-го порядка называется алгебраическая сумма п\ — \-2-... -п произведений п-го порядка (т.е. каждое произведение содержит п сомножителей) элементов этой матрицы, причем в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца данной матрицы. Знак каждого слагаемого определяется с помощью подсчета так называемых инверсий в перестановке чисел (1, 2,     п).

Как видно, при п > 3 правила (определения) вычисления определителя сложны для восприятия и их непосредственного применения. Однако, известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высокого порядка на основе вычисления определителей низшего порядка. Один из таких методов основан на разложении определителя по элементам некоторого ряда (в дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами). Этот способ вычисления определителей матриц будет показан ниже.

Вычисление  определителей облегчает знание его основных свойств. Эти свойства легко проверить, например, при п = 2, 3.

Основные  свойства определителей.

1. detA = detA^r.
2. Если строка (или столбец)матрицы А нулевые, то detA = 0.
3. При перестановке местами двух строк (столбцов) матрицы определитель меняет знак (сохраняя при этом свое числовое значение по абсолютной величине).
4. Определитель матрицы, содержащий две одинаковые строки (столбца) равен 0.

(Действительно,  поменяв местами строки, имеем  согласно предыдущего свойства, что Д_ = — Д„„,„„, а это возможно если только А = 0.)

5. Общий множитель любой строки (т.е. если все элементы имеют один и тот же общий множитель!) можно вынести за знак определителя.
6. Из свойств 4-5 следует, что определитель с двумя пропорциональными рядами равен 0. Например,

	al2	al3		an	al2	al3
		kciy^	= k	an	al2	au
a3i	аЪ2			a3i	аЪ2

 

 

= £•0 = 0.

7. Если каждый элемент некоторой строки матрицы представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей, отличющихся лишь этой строкой. Например, при п = 3

 

	an			al2		al3
—	a'2l + a	"   a' 21     "-22		+ ci22
			аЪ2			аъъ
an	al2	al3		an	al2	ахъ
a2l	^22	a23	+	a2l	^22	а2Ъ
a3l	аЪ2			a3l	аЪ2

8. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число. (Это свойство есть следствие свойств 3) -7). Это преобразование определителя еще называют элементарным.

Замечание. Из перечисленных свойств следует, что определитель равен 0, если, по крайней мере, одна из строк (столбцов) является линейной комбинацией других его строк (столбцов). При этом, определение линейной комбинации аналогично данному ранее для векторов. Это естественно, так как каждую строчку (можно рассматривать как вектор (это же тоже набор чисел - только здесь разделяем их запятой)). Отсюда вытекает необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя: определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Для дальнейшего изучения матриц и их определителей нам понадобится  понятие миноров и алгебраических дополнений элементов матриц.

Определение. Минором М_{. элемента а_{- квадратной матрицы А_пхп

называется определитель матрицы (п - 1) порядка, полученный из исходной

Лекция № 2 Матрицы и матричное исчисление     проф. Дымков М.П. 25

матрицы путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится  выбранный элемент а..

У
ап   ...
аа   ...	а-	...     Cl-
		у	in

V 

а 

и1 

nj 

а..

Определение. Алгебраическим дополнением А. элемента а_И называ-

У У

ется  число А. = (—Х)^1+]М_И, т.е. это минор со знаком «+», если число

У У

(/ + j) — четное, и со знаком «—», если нечетное.

Миноры  и алгебраические дополнения играют важную роль в матричном исчислении. В частности, они используются для вычисления определителей матриц высокого порядка.

9. Теорема Лапласа (Разложение определителя по элементам некоторого ряда). Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения:

А_и = а_пА, + а_пА_п + ... + a. A.    (l<i<n).

П 11    11 il    il in    in       ^v /

Аналогичное утверждение верно для столбцов матрицы. Более общий вариант этой теоремы даёт формулу разложения определителя по нескольким строкам (столбцам).

Эта важная формула - она сводит вычисление определителя п-то порядка к вычислению определителей (п -1)-го порядка, и таким образом, после многократного ее применения позволяет свести к вычислению определителей порядка 2 и 3.

Замечание. 1) Объем вычислений уменьшается, если ряд, по которому осуществляется разложение определителя, имеет нулевые элементы. Иногда с этой целью перед вычислением определителя осуществляют его элементарные преобразования (см. свойство 8), а затем уже реализуют его вычисление.

1 2 5 4  7   6

'1   3   4^

Пример. Вычислить определитель матрицы А =

	1	3	4		1	0	0
								= (-D1+1	-1    1
detA =	1	2	5		1	-1	1				= 10 + 5 = 15
										-5  -10
	4	7	6		4	-5	-10

Вычтем  из элементов второго столбца элементы первого, умноженные на 3, а из элементов третьего столбца вычтем соответствующие элементы первого, умноженные на 4. Полученный определитель вычислим посредством его разложения по первой строке. Получим:

2) Существуют обобщение свойства разложения - можно осуществить разложение не по одному ряду, а по нескольким одновременно (теорема Лапласа).

10. (сравните со свойством 9). Сумма произведений элементов какого-либо ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого параллельного ему ряда равна нулю.

Например, сумма элементов первой строки на алгебраические дополнения соответствующих  элементов второй строки равно

а_пА₂₁ + а₁₂А₂₂ +... + а_1пА_2п = 0.

 

 

§ 4. Обратная матрица

 

Пусть А_пхп = (а^) — квадратная пхп матрица.

Определение. Говорят, что матрица А невырожденная, если det А Ф0. В противном случае т.е если det А = 0, матрица А называется вырожденной матрицей.

Замечание. Можно показать, что матрица невырожденная тогда и только тогда, когда ее строки линейно независимы.

Определение. Матрица А^-1 называется обратной к матрице А, если

выполнено условие  А ¹ • А — АА ¹ = Е_пхп.

(Сравните  с понятием обратных чисел,  введенное для ненулевых дей-

ствительных чисел а-а — 1. Не путайте обозначение А с отрицательными показателями,   введенные только для действительных чисел. Запись

.-1    ¹

А   ф — не имеет смысла !) А

Теорема. Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную, причем единственную.

Лекция № 2 Матрицы и матричное исчисление     проф. Дымков М.П.

(Сравните  с числами : если а Ф О, то а ¹ — единственно).

 

Свойства обратной матрицы.

 

1. detA^-1 = —;

detA

2. (А - В) ¹ — В ¹А ¹ (сравните с операцией транспонирования);
3. КГ=(*-)'■

Решение матричных уравнений.

Матричным называется уравнение, в котором роль неизвестного играет матрица X. Простейшими примерами таких уравнений могут служить выражения вида

АХ = С, X В = С, АХ В = С, где X, С , А и В - матрицы таких размеров, что имеют смысл выписанные произведения матриц. Если А и В невырожденные квадратные матрицы, то умножая данные выражения слева и\или справа на соответствующие обратные матрицы, легко получить решения этих уравнений в виде

X=A^lC, Х=СВ~\ Х=А¹СВ¹. Эти и другие задачи показывают, что необходимо уметь находить обратные матрицы.

Существует несколько способов нахождения А ¹ 1. Пусть А_пхп = {a_tj) — невырожденная матрица, т.е. det А Ф О.

Определение. Матрицей, присоединенной к матрице А (или говорят

 

 

 

А *

еще союзной) называется матрица вида А = 

^ А_п   А₂₁   ...   А_и1^ Аг    Аг    • ■ •   Аг2 

 

 

 

где

пп J

_{An Ап ••• А}

А. — алгебраическое дополнение к элементам д..

У У

Замечание. А имеет транспонированный характер, т.е. А —это матрица, элементы которой являются алгебраическим дополнением к транспонированной матрице А^т.

Можно показать, что верна следующая  теорема.

Теорема. А* • А = Е • det А. Упр.* Доказать для я = 3. Отсюда легко получить способ вычисления обратной матрицы