Элементы векторной алгебры

^{rang А = rang А_ь (г(А) = г(А_ь)У}

 

Справедливо также следующее утверждение, которое  уточняет теоремы Кронекера-Капелли.

 

Теорема. Если выполняется условие теоремы Кронекера-Капелли rangA = rangA_b = г (т.е. другими словами, если система совместна), то:

1. при г = п (т..е если ранг системы равен числу неизвестных), система имеет единственное решение;
2. при г <п система имеет бесчисленное множество решений.

 

Замечание. Дадим геометрическую иллюстрацию теоремы Кронекера-Капелли. Для этого введем т -мерные вектор-столбцы, составленные из коэффициентов системы и его свободных членов:

а_: 

21 

,i = l,2,...,n,      b =

 

 

\^ami J

Тогда исходная система уравнений (1) может быть записана в векторной форме как

х_г • а_х + х₂ • а₂ +.... + х_п • а_п =Ь

 

Это равенство  можно рассматривать как разложение вектора Ь по системе векторов а₁,....,а_п. Нетрудно видеть, что решить систему означает найти коэффициенты разложения   х₁,....,х_п в данной линейной комбинации. Теорема

Кронекера-Капелли  по сути дает условия, при которых  такое разложении возможно, а именно, когда количество линейно независимых  векторов у двух систем векторов а₁,....,а_п и а₁,....,а_п,Ь одинаково. В этом случае вектор Ъ всегда может быть разложен по системе а₁,....,а_п. При этом, если система векторов а₁,....,а_п имеет максимальный ранг, то такое разложение вектора Ъ будет единственным. Если же ранг не является максимальным, то в системе а₁,....,а_п может быть много линейно независимых подсистем векторов, а значит много вариантов разложения вектора Ъ и, следовательно, много решений для исходной системы уравнений.

Также можно трактовать СЛАУ следующим  образом. Множество всевозможных линейных комбинаций векторов а₁,....,а_п образует конечномерное линейное пространство, размерность которого равна рангу этой системы векторов. Если вектор Ъ лежит (принадлежит) в этом пространстве, то он может быть разложен по базисным векторам этого пространства, что означает совместность исходной системы уравнений.

 

Из этих теорем вытекает следующее  общее правило практического  нахождения решения произвольной системы линейных уравнений:

Найти ранги основной и расширенной  матриц системы. Если г(А) Ф г(А_ь), то система несовместна, и следовательно процесс решения завершен.

Если rang А = rangA_b = г (обозначили общее значение ранга как г), то

система совместна. Надо найти какой-либо базисный минор порядка г (напомним: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять г штук уравнений (каких?) из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Далее г штук неизвестных, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют их слева, а остальные {п - г) неизвестных называют свободными и переносят их в правые части уравнений.

Найти выражения главных неизвестных  через свободные. Полученное выражение  является общим решением системы.

Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных, находя тем самым частные решения системы.

 

Пример 1. Исследовать на совместность систему 

X + у = 1

Зх + 3у = -2

 

	(1   Л		(1	1 1 >
Решение. А =
		7        и	v3	3  -2,

= -5*0

как А₂ =

Легко видеть, что г (А) = 1, а ранг расширенной матрицы есть г(А_ь) = 2, так 1    1 '

1 1 3  3

= -5 ф 0.  Таким образом

= 0   ,  а   А₉ =

1    1

3   -2

3   -2 А₁₌1^0,     А₂ =

г(А) Ф г (A_b ) =>. Это означает, что система уравнений несовместна.

 

Пример 2. Решить систему 

х^     ^/^х^ ~\~ Х^ ~\~ Х^     1}

Х^       2Л/^

 

 

Решение. Имеем

	1    1
, А, =
7          L	1   -1

 

 

1-211

= —2*0. Все остальные миноры 3-го по-

А= 1   -2  1   -1 1-2  1   3,

рядка матрицы А равны 0. Легко видеть, что в расширенной матрице А_ъ все

миноры 3-его порядка, включая и минор , составленный с помощью свободных членов равны нулю:

А₃ =

1   -2    1

1   —2   —1=0 (так как столбцы 1 и 2 пропорциональны).

1 -2   3

Значит, г (А) = г (А_ъ) = 2.

Далее, согласно общим рекомендациям, берем  два первых уравнения (они входят в базисный минор), выделяем в них  главные и свободные переменны, и в итоге находим общее  решение:

х^   2д^2   х^ ~\~ х^ —1₉

=>

2 х^ ~\~ х^   х^ —   1 у

 

-l-x₁ + 2x₂ 

— общее решение системы.

l^X4 ⁼¹

 

 

§ 4. Метод обратной матрицы. Метод Крамера.

 

Рассмотрим частный случай системы (1), когда т = п (число уравнений т совпадает с числом неизвестных п). Поскольку матрица А системы

Ах= b

квадратная, то если А = det А * 0 (т.е, если А - невырожденная), то тогда,

умножая (2) на А^-1 слева, имеем, что матричное уравнение (2) имеет единственное решение

 

х = A~^lb (3)

Отыскание решения по формуле (3) называют матричным способом или методом обратной матрицы решения системы линейных уравнений.

Матричное равенство (3) перепишем в другой, более подробной записи, используя формулы для нахождения обратной матрицы. Тогда получим

( 1 ^

f h \

Ai A2

-(A_n-b_l+A_2l-b₂ + ... + A_nl-b_n)

А

42

^vn2

l_

А

UA₁₂-b₁ + A₂₂-b₂+... + A_n2-b_n) А

\\n      An

\^XnJ

nn J

 

 

^r(An-b₁ + A_2n-b₂ + ... + A_nn-b_n) 
А )

Сравнивая покомпонентно  полученные векторы, имеем

^х1=^(АА + .-. + А_ггл)---^«=^(АЛ + --- + АА)-

Преобразуем полученные формулы. Для этого рассмотрим, например, определитель Aj, полученный из определителя А заменой первого столбца столбцом свободных членов, т.е. рассмотрим определитель вида :

 

Ь_х   а 

12 

а 

In

Ь₂    (2₂₂ 

а 

 

2п

 

 

п        п2

Разложим  этот определитель  по первому столбцу: Ь_ХА_ХХ +b₂A₂₁ +... + Ь_п^ .

Аналогично  можно выписать и соответственно разложить определители А₂,А₃,..., А_п. Тогда предыдущие формулы можно переписать в виде

х_л

х„

А А "А

где А. есть определитель матрицы, полученной из исходной заменой /-го столбца столбцом свободных членов.

Это формулы Крамера  решения систем п уравнений с п неизвестными.

_i 2х_г - х₂ = 0

Пример. Решить систему

JC^ ~~\~ ^JC^ — 7

Имеем согласно формул Крамера

 

А = 

2 -1 1    3 

 

= 7,   А_{1 =} 

0 -1 7   3 

 

= 7,  А,= 

2 0 1   7 

_7_ 
7 7

 

 

[ ]х₁+[ ]х₂+... + [ ]х_я =

 

 

 

§ 5. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

 

Прежде  отметим, что, как метод обратной матрицы, так и метод Крамера применимы только для случая п = т. Оба эти методы являются весьма трудоемкими по количеству вычислительных операций и требуют порядка

п² • п! арифметических действий для нахождения решения системы линейных уравнений. Например, при п = 5 это составит около 3 ООО действий,

п = 10 около 3,6-10⁸ действий. Серьезные практические задачи имеют п = 100 и более. Даже суперкомпьютеры требуют долгое время для вычисления. Кроме того, неизбежные погрешности при компьютерном округлении дейст-

вительных чисел 

fl

- = 0,3(3). 

часто ведут к значительным ошибкам.

Существуют более  экономичные методы решения. В частности, одним из них является метод Гаусса или, как иначе говорят, метод последовательного исключения неизвестных. Фактически метод основан на предварительном преобразовании расширенной матрицы системы к специальному ее виду (так называемому, трапецевидному, вообще говоря, виду). Эти преобразования матрицы (или, другими словами, преобразование системы уравнений) называют еще жордановыми преобразованиями.

Что это такое? Жордановы преобразования состоят  из элементарных преобразований, выполняемых в определенном порядке. Напомним, элементарными преобразованиями системы называются: перемена местами любых двух уравнений системы;

умножение (деление) обеих частей какого-либо уравнения системы на число /1^0;

прибавление к одному из уравнений другого уравнения, умноженного на произвольное число X (/1 = 0 нет смысл рассматривать, так как это ничего не изменяет);

удаление из системы  нулевого уравнения, т.е. уравнения  вида

0 • х_х +... + 0 • х_п = 0. Следовательно, раз жордановы преобразования  основаны на элементарных преобразованиях, то такие преобразования, как мы упоминали уже ранее, приводят к системе уравнений эквивалентной исходной. Схема метода. Пусть дана система линейных уравнений :

 

 

а)

а_т1х₁+... + а_тпх_п=Ь_т

Процесс решения  по методу Гаусса состоит из двух этапов.

На первом этапе (называют его еще  как прямой ход метода ) система с помощью жордановых преобразований сводится к ступенчатому (трапецевидному ) виду ( в частности, это может быть и треугольный вид):

^а\\^Х\ + ^а\2^Х2 + ••• + ^а\к^Хк + • • • + ^а\п^Хп ⁼ \ '

а'₂₂х₂ +... + а'_2кх_к+... + а'_2пх_п = Ь'₂, где к <п, а'_иФ0, i = 1 ,к.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из ступенчатой системы (2).

 

 

Опишем подробнее метод Гаусса.

Прямой  ход. Будем считать, что уже в исходной системе (1) коэффициент а_п фО. (Если а_п=0, то среди оставшихся уравнений найдем г-ое

уравнение такое, что а_л Ф О. Такое всегда найдется, ибо в противном случае

когда все коэффициенты а_п = а₂₁ =... = а_т1 = О переменная х₁ фактически

исключается вообще из рассмотрения.

Теперь, используя элементарные преобразования, преобразуем систему (1), исключив неизвестное х₁ во всех уравнениях кроме первого. Для это-

го  умножим обе части первого  уравнения на 

а 

21 

и сложим почленно со

а 

п J

вторым уравнением системы. Затем умножим обе части  первого уравнения

на 

а 

31 

и сложим почленно с третьим и т.д. Продолжая процесс, пока не

а 

п J

дойдем  до последней строки. Этим завершается первый шаг гауссового исключения. В результате получим систему, в которой, начиная со второго уравнения, отсутствуют слагаемые, содержащие неизвестное х₁:

а_пх_г + а₁₂х₂ +... + а_ых_п = Ь_х,

^аггХ₂+... + С1_2п Х_п—Ь₂ ,

,(1),

(1)

 

 

а⁽¹1х^ +... + a^{i>x = Ь

т2   2 тп   п        т

Здесь      ,      — новые значения коэффициентов, которые получились после

первого шага

а_1Га_а 

Ь^а) = Ъ, 

Ь_х-а_а 

,i = 2,...,m;j = l,...,n

 

Замечание.

1) Выбранный коэффициент а_пФ0 называют разрешающим элементом (на первом шаге), а строка и столбец (первые в данном случае), содер

 

жащие разрешающий  элемент называют разрешающей строкой и столбцом

соответственно.

2) На практике, для удобства, вычисления коэффициентов преобразованной системы можно пользоваться «правилом прямоугольника»: строят прямоугольник с «вершинами» а_п, a_i.,a_il,   a_Xj и новый элемент вычислят

как разность произведений диагональных элементов :

а_ц =a_tj-a_n 

а_л-а_1г

Диагональ, на которой лежат разрешающий элемент а_п и преобразуемый элемент a_tj — называется главной, другая диагональ - побочная.

Заметим, что коэффициенты, полученные по правилу  прямоугольника, 
отличаются от коэффициентов из на множитель а_п. Другими словами,

если в (l⁽¹⁾) каждое уравнение умножить на число Я = а_п (это же есть элементарное преобразование, не изменяющее множества решений !), то тогда упомянутые коэффициенты совпадут. Этот факт легко следует из формул (*). Если вычисления нового элемента по «правилу прямоугольников» дополнить делением полученного результата на разрешающий элемент, что часто и практикуется, то указанное различие будет устранено, т.е. имеем

(1) ^aij о   = —— 

_ы

_b(\) =^j = 2,...,m;j = l,...,n

а 

п 

а 

п

Отметим еще, что элементы разрешающей строки остаются без изменения, а элементы разрешающего столбца равны нулю, за исключением разрешающего элемента.