Элементы векторной алгебры

Следствие. А ¹ = 

1

det А 

•А .

 

Пример. Вычислить обратную матрицу для матрицы А = 

3 -1 2    1

 

л *

Союзная матрица имеет вид : А = 

 

 

V 

Ai Ai

А₁₂   Аз,

2 У 

, где алгебраические допол-

нения есть

vl+l

A_u = (-1)'" ■ М_и = 1, А₂₁ = (-1)²⁺¹ ■ М₂₁ = 1, Д₂ = (-1)¹⁺² -М₁₂ = -2, А,₂ = (-1)^м -М₂₂ = 3.

Определитель  исходной матрицы det А = Тогда 

 

 

 

 

 

 

 

 

^11 ' ^22     ^12 ' ^21      ^

			Г 1	\Л
1	( 1		5	5
5*			2	3
			v~5	5у

^21     ^22

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Определение. Элементарными преобразованиями строк матрицы будем называть):

1. перемену двух строк местами;
2. умножение всех элементов строки на число, не равное нулю;
3. прибавление ко всем элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на некоторое (одно и то же) число.

Как эти  преобразования используются для вычисления А ¹ ? Составим расширенную матрицу

 

	4i •	■■     а1п	\ 1	о .	• °1
[А\Е] =	...		; о	1 ..	.  0
	уат    ■	■•     апп	; о	о .	• 1,

Над полученной прямоугольной матрицей осуществим элементарные преобразования строк (см. далее метод Гаусса) до тех пор, пока не получим матрицу вида

 

 

 

[Е\В] = 

'1   ...

; 1 

_о 

 

'11 

 

'In

 

V 

_о

Так как

А

АЕ

Е'.А

А-¹А\А~¹Е

то А ¹ = В. Таким образом, матрица, составленная из элементов Ъ_{-, будет искомой обратной матрицей А ¹ = В.

 

§ 5. Ранг матрицы.

Мы уже упоминали, что прямоугольные А_тхп матрицы можно рассматривать как систему, состоящую из т штук w-мерных векторов-строк (или как систему из п штук m-мерных векторов). Поэтому естественным является рангом матрицы назвать ранг полученных систем векторов. Однако, мы имеем две различные системы векторов. Как быть? Оказывается верна следующая теорема.

Теорема. Для матрицы А_тхп максимальное число линейно независимых строк равно максимальному числу линейно независимых столбцов. Поэтому корректно следующее определение.

Определение. Рангом матрицы А назовем максимальное число ее линейно независимых векторов-строк (или столбцов). Ранг матрицы обозначается как rank А или г (А).

Справедливо неравенство rank А < min [ш, тг}.

 

Лекция  № 2 Матрицы и матричное исчисление     проф. Дымков М.П. 30

Как находить rank А! В основу вычисления ранга матрицы (соответственно и ранга системы векторов (см. Часть 1)!) могут быть положены следующие свойства.

 

Свойства  ранга матрицы.

1. При транспонировании матрицы ранг не меняется.
2. Если из матрицы вычеркнуть нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
3. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

Оказывается, что с помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к так называемой канонической форме, т.е. к диагональной матрице вида

 

fl	0   .			°1
0	1 .			0
0	0   .	. 1	0	0
	0   .	.   0	0	о.

у которой в начале главной диагонали стоят 1, а все остальные элементы равны 0. Тогда ранг матрицы равен количеству единиц на диагонали.

Существуют другие (эквивалентные предыдущему) определения  ранга матрицы. Прежде введем новые понятия.

Определение. Рассмотрим матрицу А_тхп. Возьмем любое натуральное число k < min jm, nj. Выделим в ней к строк и к столбцов. Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим матрицу порядка к. Определитель полученной матрицы называется минором к-го порядка (ранее был введен минор элемента матрицы). Очевидно, таких миноров k-то порядка может оказаться несколько.

Определение. Рангом матрицы А называется порядок её наибольшего ненулевого минора.

Очевидно, что 0 < r(A) < min {т, п\.

Минор, порядок  которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Один из способов нахождения ранга матрицы, основанный на данном определение — «метод окаймляющих миноров». Суть этого  метода в следующем: если уже найден ненулевой минор (к — 1) -го порядка, то следующие миноры к -го порядка следует выбирать лишь такие, которые включают в себя целиком найденный на предыдущем шаге ненулевой минор (к — 1) -го порядка. При больших размерах матриц такое «окаймление» существенно сократит число возможных переборов миноров к -го порядка.

 

 

 

 

Пример. Найти г (А), где А_5х7 = 

'2 3 1 5 4 2 7^

4 4 4 4 4 4 4

7 7 7 7 7 7 7 
0 0 0 0 0 0 0

8 8 8 8 8 8 8

V

Здесь ранг матрицы равен двум г (А) = 2, так как легко видеть, что есть ненулевые миноры второго порядка, а все миноры 3-го порядка равны 0 (так как они содержат пропорциональные строки).

Глава III. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

(СЛАУ)

 

 

§ 1. Линейное уравнение. Основные понятия.

 

Определение. Линейным уравнением относительно неизвестных действительных чисел  х₁, х₂, ..., х_п называется выражение вида

а,х+а~х, н vax =b, (1)

112   2 п   п ' ^v/

где а_х, а_п,Ь—заданные числа. При этом а_х, ^—называются коэффициентами уравнения, Ъ - свободный член.

Определение. Совокупность п штук упорядоченных чисел q, с₂, ..., с_п называется решением уравнения (1), если после их подстановки х₁= q, х₂= с₂, ..., х_п = с_п в данное уравнение оно превратится в верное числовое равенство.

Пример. Для уравнения 2х₂ +3х₂ -5х₃ + х₄ =4 набор чисел (2, 1, 1, 2) является его одним из решений, а набор (3, 0, 0, 1) — нет.

Подчеркнем, что совокупность чисел с₁₅ с₂, ..., с_п составляет одно решение уравнения (1) (а не л решений!), и поэтому решение уравнения будем записывать в скобках (с_х, ..., с_п) как единое целое .

Очевидно, что уравнение (1) имеет, вообще говоря, много решений.

Два решения уравнения (1) с = [с_х, ..., с_и) и / = (/₁₅ ..., /„) будем

считать одинаковыми тогда и только тогда, когда выполняются следующие  равенства с_х = 1_Х, ..., с_п = 1_п. В противном случае решения считаются разными.

Два линейных уравнения называются равносильными, если множества их решения как множества совпадают.

Решить  уравнение (1) означает найти все его решения, или установить, что их нет.

В зависимости  от того, каковы заданные числа а_х,      а_п,Ь можно определить, имеет ли уравнение (1) решение или нет, а также их количество. Возможно только следующие три случая:

 

Лекция № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.      33

1) Если а_х = а₂ =... = а_п = О, ЬфО, т.е. если уравнение имеет вид 
О• х₁+0-х₂+... + 0• х_п = Ъ, b фО, то очевидно, что оно не имеет решений, 
ибо какое бы с = [с₁,       с_п) не подставили, то получим выражение вида

О = Ъ ф 0, что невозможно;

2) Если a_t=0, b = 0, т.е.  если уравнение имеет вид 0-х_х +... + 0-х_п = О, то

любая последовательно  чисел с = [с_х, ..., с_и) является решением. Такое

уравнение называют тривиальным;

3) Если хотя бы одно из чисел а_{ не равно 0 (пусть для определенности а_х ф 0),

то     тогда     разделив     все     выражение     на а_х,     имеем

где с_п =

Таким образом, уравнение  в этом случае имеет бесчисленное множество решений, так как значения для неизвестных х₂, ..., х_п можно выбирать бесконечным числом различных способов.

Итак, при п > 1 уравнение (1): либо 1) не имеет решения;

либо 2) имеет бесчисленное множество решений.

 

 

§ 2. Системы линейных уравнений.

 

Пусть теперь дана система, состоящая из т штук линейных уравнений относительно неизвестных х_х, х₂, х_п. Уравнения системы будем считать пронумерованными - первой, второе и т.д. Так что коэффициенты при неизвестных в /-ом уравнении системы будем обозначать через а_й, a_i2, a_in (первый индекс указывает номер уравнения, второй - номер неизвестно, при котором стоит этот коэффициент), свободный член - b_i.

Тогда система  линейных уравнений будет выглядеть  следующим образом:

т

1'

^21-^1     ^22-^2 + • • • + ^а2п^Хп ~

2'

« ,.v, + а,„^\\ + ... + ах_п = /?,

mi   1        ml   I тп   п        i

Лекция  № 3 Системы линейных алгебраических уравнений проф. Дымков М.П. 34 Числа a_tj — коэффициенты системы; Ъ- — свободные члены.

Заметим, что  в системе уравнений (1) количество неизвестных п может не совпадать с числом уравнений т.

Определение. Решением системы уравнений (1) называется такая упорядоченная совокупность чисел [с_х, с₂, ..., с_п), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке значений неизвестных х₁=с₁, ..., х_п = с_п в (1) все уравнения системы обращаются в верные равенства.

Система уравнений, которая имеет хотя бы одно, решение называют совместной, в противном случае — несовместной. При этом каждое ее отдельное решение называют частным решением. Совокупность же всех частных решений называют общим решением.

Решить систему - это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, то требуется найти все ее решения, т.е. найти ее общее решение.

В дальнейшем увидим, что возможны только следующие  три случая:

1. система уравнений несовместна, т.е. система не имеет ни одного решения;
2. система уравнений является определенной, т.е. имеет единственное решение;
3. система уравнений является неопределенной, т.е. имеет бесчисленное множество решений.

Две системы уравнений вида (1) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Элементарными преобразованиями системы называются следующие:

1) удаление (вычеркивание) из системы нулевой строки

О-Xi + 0-х₀ + ... + 0-х = О (так как оно «лишнее» и никак не влияет на мно-

12 п ^v

жество  решений);

2) перестановка местами уравнений системы;

3. умножение обеих частей одного из уравнений на любое отличное от 0 число;
4. прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое число.

 

Оказывается, что  если к исходной системе применить  так называемые элементарные преобразования системы, то полученная в итоге система эквивалентна исходной.

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.      35 Определение. Система линейных уравнений (1) называется однородной, если все свободные члены равны 0; Ь_х = Ъ₂ =... = Ъ_т = 0.

Заметим, что однородная система всегда совместна, т.к. х_х = 0, ..., х_п = 0 является решение системы. Это решение называют нулевым или тривиальным.

 

§ 3. Теорема Кронекера-Капелли.

 

Пусть дана произвольная система т линейных уравнений с п неизвестными вида (1).

Представим  систему (1) в матричной форме. Для  этого:

а 

п 

а 

In

1)   сформируем из коэффициентов  системы матрицу А =

 

V   тп тп J

 

 

2)   матрицу-столбец (или п - вектор-столбец) неизвестных х

 

\^XnJ

 

 

3)   т- вектор-столбец свободных членов Ъ =

 

 

С учетом введенных  обозначений и правил умножения матриц (здесь матрицы согласованы) систему линейных уравнений (1) можно переписать в краткой матричной форме следующтм образом

Ах = Ъ. (2)

(Здесь равенство  векторов означает покомпонентное  равенство.) Нетрудно проверить,  что матричное уравнение (2) содержит все уравнения системы (1).

Процесс нахождения решений системы уравнений весьма трудоемкий. Однако часто бывает достаточно знать, лишь что система совместна  или несовместна, а сами собственно численные значения решения сами по себе не важны. Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы дает теореме Кронекера-Капелли. Для ее формулировки введем еще так называемую расширенную матрицу системы

а 

п 

а 

In

 

Ъ,

\^ат\ 

а.. 

т J

 

Теорема (Кронекера-Капелли) (критерий совместности системы).

Система линейных алгебраических уравнений (1) совместна тогда и только тогда когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы