Элементы векторной алгебры

т.е. всего n-мерного пространства Rⁿ (см. ранее). Одним из базисов этого пространства является система единичных векторов е_г, е₂,      е_п,

введенных выше.

С учетом сказанного выше можно сделать следующий вывод: в любом n-мерном векторном пространстве Rⁿ существует много базисов;

любой базис n-мерного векторного пространства Rⁿ содержит ровно п-векторов.

Замечание. Существуют бесконечномерные линейные пространства. Например, пространство всех непрерывных на отрезке [а,Ь]  функций

имеет бесконечный  базис вида 1

Пусть система векторов а_г, а₂,      а_к является базисом некоторой

 

совокупности  векторов, а вектор Ъ является их линейной комбинацией

Ь = \ а_х +... + Л_к а_к,

Имеет место следующая  теорема

Теорема. Разложение любого конечномерного вектора в заданном базисе, если оно существует, единственно.

Следствие. Пусть теперь векторы а_х, ..., а_п — базис пространства

R". Тогда любой вектор из пространства R" обязательно представим в виде разложения по базису

Ь = а₁а₁+... + а_па_п.

Числа а_{, а_пназываются координатами вектора Ъ в базисе a_v ..., а_п, и как следует из вышеприведенной теоремы, этот набор чисел единственный для заданного базиса.

Ясно, что один и тот же вектор Ъ в другом базисе (их же много!) будет иметь другие координаты.

Важность  теоремы (следствие к ней) заключается в том, что на ее основе изучение множества векторов n-мерного пространства Rⁿ, содержащего бесконечно много элементов, можно фактически свести к изучению конечного множества векторов базиса этого пространства.

Наиболее  удобно изучать разложение n-мерных векторов по специальным базисам -ортогональным и ортонормированным.

Ортогональный базис

Рассмотрим  базис пространства Rⁿ, состоящий из взаимно ортогональных векторов (так называемый ортогональный базис).

Определение. Ортогональным базисом пространства Rⁿ называется система неулевых векторов h, /2, In, для которых все попарные скалярные произведения равны нулю:

(/., 1^ = 0, если      j (4)

Замечание. Ортогональные базисы хорошо известны на плоскости и 
пространстве |

 

 

 

 

 

 

 

Чем удобны такие базисы? Прежде всего  тем, что координаты разложения произвольного вектора весьма просто определить.

Пусть требуется найти координаты разложения произвольного вектора Ъ в базисе (4), т.е. надо найти числа a_i, / = 1,...,п в равенстве

 

Ъ = a_{h + a₂h + ... + a_nL. (5)

Умножим скалярно обе части равенства (5) (это же векторы!) на вектор /., используя при этом свойства скалярного произведения векторов:

(b,l) = а_х{1_х,/.) + ... + «.(/.,/.) + ... + «„(/„,/.). Так как   (/., /^ = 0для i ч£ у, то получаем

(w,)=o+...+«,.(/,.,/,.)+. ..+0.

а. -

Отсюда

_{(м) (м,)}

i =1,2,..., п.

^{' с-') КГ '}

Определение. Ортогональные базисы вида (4), у которых II/. 11=1,

называют ортонормированными базисами.

Координаты  разложения в таком базисе имеют  простой вид — это

числа, которые  вычисляются по формулам     a_t —{b, /.), i — \,...,n.

Глава II.  МАТРИЦЫ И МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

 

 

§ 1. Матрицы. Основные понятия.

В этой главе введены новые объекты (сравните с введенными ранее понятиями: числа, векторы и др.) и основные операции над ними. Также показано как эти новые объекты можно использовать при решении конкретных задач. Как оказалось, матричное исчисление является весьма выразительным и компактным математическим аппаратом при моделировании многих процессов в различных областях.

Определение. Прямоугольная таблица действительных чисел

 

С\>Л Л С\>Л r\ а   а   а С\>

*11      "12      •■•     "1и

А = 

^21      ^22      " " •     ^а2п

 

 

\^ат\      ^ат2      • • •     ^атп J

содержащая  т строк и п столбцов, называется (числовой) матрицей размера тхп.

(Заметим, что строки (и столбцы) имеют одинаковую длину —тип, соответственно). Числа a_ll,a_l2,...,а_тп называются элементами матрицы. Каждый элемент a_t- снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер

строки, второй - номер столбца, в которых расположен этот элемент.

Матрицы в дальнейшем будем обозначать заглавными буквами А, В, С, или Л₁,Л₂,... . Часто вместо подробной записи всей таблицы используют сокращенную запись вида А = (а-),   i = 1, 2,..., т,      j = 1,..., п    или

А 

я.. 

, i = 1,2,.. т, j = 1,2,..., п. Когда существенным является указать

лишь размеры  матрицы, то матрицы иногда записывают как А_тхп Матрица, у которой т = п, называется квадратной.

Элементы  квадратных матриц, стоящие на диагонали, идущей с верхнего левого угла, образуют так называемую главную диагональ. Элементы квадратных матриц, стоящие на диагонали, идущей с верхнего правого угла, образуют побочную диагональ.

Лекция № 2 Матрицы и матричное исчисление     проф. Дымков М.П. 17

Квадратная  матрица называется диагональной, если у неё ненулевыми элементами являются лишь элементы главной диагонали.

Квадратная  матрица называется симметрической, если ее элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны.

Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой.

'1 О

О

Если  все ненулевые элементы диагональной матрицы равны 1, то такая квадратная матрица называется единичной, т.е., единичная матрица имеет

Е =

...   О'

2. ...   О

 

 

О   ...   1,

Квадратная  матрица, у которой все элементы, лежащие ниже (или выше) главной  диагонали, равны 0, называется треугольной (нижне-треугольной или верхне-треугольной, соответственно).

Отметим, что единичная Е и нулевая О матрицы играют в матричном исчислении роль, в некотором смысле близкую к роли 1 и 0 в арифметике.

Матрицу, состоящую из одной строки и п столбцов, называют иногда матрицей-строкой. Аналогично говорят о матрице-столбце. Отметим здесь схожесть таких матриц с векторами. И поэтому их часто называют векторами.

Две матрицы АиВ называются равными (и этот факт записывают как А — В), если они

1. имеют одинаковые размеры;
2. соответствующие элементы матриц равны, т.е.

^aij = ^Ъгг i = h-,m; j = l,...,n.

 

§ 2. Операции над матрицами. 1. Сложение матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.  Суммой матриц   А_тхп = (а-)   и   В_тхп = {Ь~)   называется матрица

С_тхп = {c_tj), элементы которой есть с_{. — а_{. + Ъ_{., i — 1,т, j — 1, п. Кратко этот факт записывают как С = А + В.

 

О  0^

	(1   АЛ		Г-1	"41		Го
А =					, с  = А + В =
	v2   Зу			v-2	1,

Матрицы и матричное исчисление     проф. Дымков М.П.

О  4

Аналогично определяется разность матриц. 2. Умножение матрицы на число.

Произведение матрицы А_тхп = {а_{. ^ на действительное число X называется матрица, каждый элемент которой получается умножением соответствующего элемента матрицы А на число Я

Я-А = (Я-ау).

1 -1 0   3

v 2^

Пример. Пусть А — ^г\   -\Л   (2

С = 2 

 

и /1 = 2. Тогда матрица С имеет вид

0   3 

V 

0   6

 

Свойства введенных операций сложения и умножения на число непосредственно вытекают из их определения.

Пусть А, В, С - матрицы, имеющие одинаковый размер, а а и /3 — неко- 
торые действительные числа. Тогда верны следующие свойства: 
1.     А+В = В+А; 2.(А+В) + С = А + (В + С);

3.     а(А + В) = оА + аВ; 4. (а + /3) ■ А = оА + /ЗА;

5.     {а-Р)-А = {аА)-Р; 6. А_тхп + О_тхп = А_тхп;

7.      ОЛ =0 

 

 

3. Произведение матрицы на матрицу,

! Операция умножения двух матриц  вводится только для случая, когда  число столбцов первой матрицы  равно числу строк второй матрицы  (или еще говорят, когда матрицы согласованные.

Произведение  матрицы А_тхп = {^а^ на матрицу В_пхр = (b_jk} называется матрица С_тхр = (c_ik ), такая что

 

c_ik = ^аиК + ^an^b2k +- + ^ainKk»   i = lm,   k = \,p,

 

Лекция  № 2 Матрицы и матричное исчисление     проф. Дымков М.П. 19

т.е. элемент /-ой строки и к-то столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов /-ой строки матрицы у4 на соответствующие элементы к-то столбца матрицы В.

Схематично  вычисление элементов матрицы С  можно изобразить как

z-ая строка +
'           ,
	=|=—
•       •                   ф	—1	•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к-ыи

столбец

 

Другими словами, при перемножении строки матрицы А на столбец матрицы В осуществляется обычное скалярное произведение двух векторов, причем координатами первого вектора являются элементы строки, а координатами второго вектора - элементы столбца.

'10   2-0

,в =

Пример. Пусть А =

Тогда

 

 

 

1 -1   0

2 1    3

/2x3

(

1 -1 о

 

 

 

^{\ 0  2  -1^л

2 113 
0 10-1

/3x4

2 113 0   10-1

/3x4

 

^ с_п   с_п   с₁₃   с₁₄ ^

V^C21     ^С22     ^С23     ^С*23 J 2x4 

 

 

 

 

 

 

, где

 

с_п=(1   -1   0). 

= 1-1 + (-1)-2 + 0-0 = -1,

 

с 

12 

= (1  -1  0). 

= 1-0 + (-1)-1 + 0-1 = -1,

 

С 

13 

= (1 -1 о). 

= 1-2 + (-1)-1 + 0-0 = 1,

Лекция  № 2 Матрицы и матричное исчисление     проф. Дымков М.П.

'-О

С 

14 

= (1 -1 о). 

= 1 - (-1) + (-1) - 3 + 0 - (-1) = -4,

 

 

(л  \

с₂₁=(2  1  3). 

= 2-1 + 1-2 + 3-0 = 4,

 

 

0^

с₂₂=(2  1  3). 

= 2-0 + 1-1 + 3-1 = 4,

 

 

 

(2\

с₂₃=(2  1  3) 

= 2-2 + 1-1 + 3-0 = 5,

 

 

 

'-О

с₂₄=(2  1  3). 

= 2-(-1) + 1-3 + 3-(-1) = -2.

 

 

Таким образом, матрица  произведения имеет вид

С = АВ =

-1 -1 1 -4 4    4   5   -2

Отметим некоторые  специфические особенности и  свойства операции умножения матриц (при условии, что рассматриваемые  там произведения матриц существуют), и которые легко проверить  на примерах.

1. Для прямоугольных матриц А и В из того, что существует произведение 
АВ не следует, что существует произведение В А. Но даже, если это так, то 
АВфВА, вообще говоря. (Упр. Проверить ).

В связи с этим естественным является ввести следующее определение. Матрицы называют перестановочными, если АВ = В А.

2. Если А и В - квадратные матрицы одного размера, то АВ и В А 
существуют (как следует из предыдущего АВ Ф ВА, вообще говоря). 
Степени квадратной матрицы определяются очевидным образом

А^к = А •... • А, где к - целое число, А - квадратная матрица.

При этом, по определению  полагают А⁰ = E,Al = А

3. А • (ВС) — (АВ) • С, (если существуют указанные произведения).
4. (А + В)С = АС + ВС.
5. а-(АВ) = (аА)-В.
6. Роль единичной (квадратной) матрицы: умножение слева, справа на данную матрицу не изменяют исходную матрицу

Е     А    = А

тхт       тхп тхп

А    • Е   = А

тхп       пхп тхп

(Е    -А    -А     Е    —А    \

V    тхт       тхт тхт       тхт тхт) '

7. Роль нулевой матрицы

( ^тхт   ^тхп      ^тхп   ^пхп      ^тхп )"

Отметим, что возможны случаи, когда АВ = О, однако Аф 0,В ф О 4. Транспонирование матрицы.

Матрица, строками которой являются столбцы  матрицы А с тем же номером и сохранением порядка следования элементов, называется транспонированной к данной и обозначается как А^Т или А'.

(Отметим,  что при определении операции  транспонирования вместо заменяемых  столбцов исходной матрицы можно  говорить о замене ее строк!)

fl   2^     _т   fl   Ъ\ _т   ,     _ч

Пример. А= ; А^т = ; А=      ; А^г = (О   1)

 

(сравните с  понятием транспонирования векторов).

т

В общем случае для квадратных матриц Аф А . Легко проверить, что если А = А^т, то матрица А является симметрической.

Свойства операции транспонирования.

^{1. (atJ = А; 2. (АВ)Т =ВТАТ;}

3.(А + В)^Т=А^Т+В^Т;  4.(аА)^т=аА^т.