Элементы векторной алгебры

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4       Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4       Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4       Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4       Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4       Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4       Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4       Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4       Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4       Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4       Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4       Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4       Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция № 4       Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4       Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4

Приложения  линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4

Приложения  линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4

Приложения  линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4

Приложения  линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4

Приложения  линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4

Приложения  линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4

Приложения  линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4

Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4

Приложения  линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4

Приложения  линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.     

Лекция  № 4

Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.

Лекция  № 4

Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.

Лекция  № 4

Приложения  линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.

Лекция  № 4

Приложения  линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.

Лекция  № 4

Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.

Лекция  № 4

Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.

Лекция  № 4

Приложения  линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.

Лекция  № 4

Приложения  линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П.

 

 

Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

 

§ 1. Векторы и операции над ними. Понятие n-мерного векторного пространства.

 

В своей практической деятельности человек  встречается с величинами различного рода. Одни из них, например, площадь, объем, масса, температура полностью характеризуются заданием своих численных значений. Такие величины называются скалярными. Другие же величины, например, сила, скорость, ускорение определяются не только своим числовым значением, но и направлением их действия. Такие величины называют векторными. При этом для анализа векторных величин с одинаковым успехом используют как геометрическую, так и алгебраическую формы их представления.

В геометрии  вектором называют направленный отрезок. Геометрическое представление вектора на плоскости приводилось в школе, и поэтому не будем его здесь в деталях приводить.

Для алгебраического описания векторов их связывают с некоторой системой координат. В фиксированной системе координат, например, в плоскости каждый вектор а определяется однозначно своими двумя координатами: а —      а₂У, вектор в пространстве — тремя координатами:

а - (<2_1? а₂, а₃У

Замечание. При геометрическом изображении векторов часто используют понятие свободных и связанных векторов. Под связанным вектором понимают направленный отрезок прямой, у которого указано какой из концов является началом и концом. Длиной вектора называют расстояние (в выбранном масштабе) между конечными точками отрезка. Часто начало вектора не имеет значения, существенны лишь его длина и направление. Два вектора называют эквивалентными, если они имеют одинаковую длину и одинаково направлены (сонаправлены). Понятно, что если есть фиксированный связанный вектор, то ему соответствует бесконечно много эквивалентных ему связанных векторов. Все множество - это множество эквивалентных связанных векторов (пучок векторов) называют свободным вектором. Для задания свободного вектора достаточно задать какой-нибудь один его представитель, например, выходящий из начала координат. Тогда второй конец вектора однозначно определит единственную точку а₂, я₃) — конец вектора (здесь говорим о векторах в пространстве). И наоборот, задав точку       а₂, а₃),

мы  физически задаем вектор с началом  в начале координат, а конец -

Приведем  теперь обобщение понятия вектора на произвольный п-мерный случай. Такое обобщение естественно и диктуется приложениями. Часто приходится изучать объекты, для задания которых недостаточно задать 2 или 3 координаты. Например, положение самолета определяется в пространстве заданием 3-х координат его центра масс, 2-мя углами описывающими направление оси самолета, угол поворота самолета вокруг его оси (углы атаки, тангажа) и др. Другой пример, пусть некоторое предприятие в своем производстве использует п видов сырья. Тогда, если через x_t, i = 1,2,...,п обозначить количество сырья /-го вида, необходимое предприятию на одни сутки, то набор чисел (%р х₂, х_п) означает все сырье, которое использует предприятие в своем производстве в течение суток.

Определение 1. Любой упорядоченный набор из п-действительных чисел (х_г, х₂, • • •, х_п) называется n-мерным вектором

 

и обозначается  х. Числа x_t,   i = l,..., п, составляющие упомянутый

 

набор, называются компонентами (координатами) вектора х.

Часто вектор х будем писать просто как х (для упрощения записей без черты сверху, если это не будет приводить к недоразумению) так, что возможна запись вектора в виде х = (х₁,       хЛ.

Координаты  n-мерного вектора можно расположить либо в строку

х - (х_:, • ■ •, х_п), либо в столбец х - 

. Иногда в литературе предпи-

 

K^XnJ

сывают  записывать n-мерный вектор как вектор столбец х — 

и то-

 

 

K^XnJ

гда для  того, чтобы записать в виде строки используют операцию

транспонирования х — 

^{= (%р х₂, ..., х_пУ Мы не будем следо-}

 

\^XnJ

вать жесткому стилю обозначений

Определение 2. Два n-мерных вектора (т.е. два вектора с одним и    тем    же    числом    п    координат)     х = (х₁, х₂,      х_и)    и

У — (У\ •> У2' • ■ •' У_п) Р^авны> тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты х_{ = у_{, х₂ = у₂,      х_п — у_п.

Определение 3. Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нулевым 0 = (0, 0, ..., 0).

Наиболее частыми  операциями, которые совершаются  над векторами, является сложение и умножение на число.

Определение 4. Пусть даны два n-мерных вектора х = (х_х, х_и) и у — {у₁, у_п). Суммой z векторов х+у называется вектор вида z — {x_l + y_l,x₂ + y₂, ..., х_п + у_п) и записывают как z = x+y.

Пусть X - любое  действительное число.   Произведением  вектора

х    на    число   X    называется    n-мерный        вектор    с    вида

с — (Ах_г, Лх₂,      Лх_п) и записывают как с — Л-х.

Введенные выше две операции называют линейными операциями. Замечание. При геометрическом изображении векторов сумму 2-х векторов можно находить по правилу параллелограмма

х+у

Позже убедимся, что такое определение  приводит к тому же результату, что и ранее.

Так как линейные операции (сложение и  умножение на число) сводятся к операциям  над их координатами, а они в  свою очередь являются обычными действительными числами, то легко проверить справедливость следующих свойств введенных выше операций над векторами.

Пусть х, у, z - произвольные n-мерные векторы. Тогда:

1. х+ у — у + х — переместительный закон (или коммутативность);
2. (^х+ j j + z - х + [у + — сочетательный закон (или закон ассоциативности относительно сложения);
3. Я^х+ = Лх + Лу, где X - действительное число (дистрибутивный закон относительно сложения векторов);
4. (Л + /л)х — Лх + /лх, где X, ju - действительные числа (дистрибутивный закон относительно сложения чисел);
5. Л {^/лх^ — (Л/л)х — ассоциативный закон относительно умножения на числа;
6. х + 0 = х,где 0 = (0,      0);

7) для любого  вектора х существует такой вектор у—xj, что jc + (-jc) = 0;

8. 1-х- х;
9. 0-jc = 0.

Определение 5. Совокупность всех n-мерных векторов с линейными операциями (сложение и умножение на действительное число), подчиняющиеся свойствам 1) - 9), называется n-мерным линейным (или векторным) пространством. Если координаты векторов - действительные числа, то пространство называется арифметическим  и

обозначается Rⁿ.

Например, R¹ = R — множество действительных чисел - одномерное арифметическое пространство. Отметим, что в определение векторного пространства не входит никакое умножение вектора на вектор.

Замечание. Понятие линейного пространства относится к числу основных в математике. Абстрактное определение линейного пространства вводится следующим образом: непустое множество X элементов любой природы называется линейным пространством, если для любых двух элементов х, у е X однозначно определен третий элемент z £ X ,

называемый  их суммой и обозначаемый х + у, и для каждого числа а и

любого  элемента х е X определен элемент ах е X (произведение элемента х на число а), так что введенные операции сложения и умножения на число удовлетворяют свойствам 1)—9). Часто элементы абстрактных линейных пространств называют векторами, а само пространство векторным. Таким образом, линейные пространства могут быть образованы не только лишь арифметическими векторами — эти пространства могут быть построены из объектов самой различной природы (возможность такого абстрагирования, а значит, и разработки универсальных (единых) методов их исследования, отличает математику от других наук !).