Элементы векторной алгебры

Вернемся, однако, к системе (l⁽¹⁾). В рамке выделена остаточная часть системы, которую будем решать аналогичным образом.

 

 

 

Д(1) _ 

 

а

О

(1_ХХ     (2_Х2

22 

 

I

2п

а а

 

V 0   а\   ...   а

V т2 тп 

_ы

Считая  разрешающим элементом а₂₂ Ф 0, исключим неизвестное х₂ из всех

уравнений системы, кроме первого и второго. (Для пересчета опять можно  пользоваться правилом «прямоугольника» - только уже для остаточной части).

Лекция № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.      44 Продолжаем этот процесс, пока это возможно. При этом, если встретится нулевая строка 0 • х₁ +... + 0 • х_п = 0, то ее вычеркивают (удаляют).

В итоге процесс  таких преобразований приводит к  одному из двух случаев:

либо  встретится уравнение вида 0 • х_к +... + 0 • х_п = d,    где d Ф О, и

тогда это означает, что рассматриваемая система несовместна:

либо  получим систему ступенчатого вида без остаточной части ^rb_nx_x + Ь_пх₂ + ... + b_lrx_r +... + b_lnx_n = с,, b₂₂x₂ +... + b_2rx_r +... + b_2nx_n = c_n,

 

 

b x +... + b x = с .

rr   r rn   n        r

Если r = п, то говорят, что система (2) имеет треугольный вид, в противном случае — трапецевидный . Возможное уменьшение количества уравнений связано с вычеркиванием нулевых уравнений . На этом прямой ход закончен. Обратный ход заключается в решении ступенчатой системы (2).

а) Если г = п, то последнее уравнение системы (2) имеет вид

К^хп = ^сп. (Кп * 0), откуда x_n=^Cn/_h  ■

Тогда, подставив найденное х_п в предпоследнее уравнение, найдем оттуда х_п__х. Двигаясь, таким образом, снизу вверх по уравнению системы (2), найдем все неизвестные х_п, х_п__х, ..., х_х .

б) Если г < п, то в последнем уравнении системы (2) переменные 
^хг+\' ^хг+2' • • •' ^хп объявляем свободными (можно другие, оставив любое од- 
но из перечисленных переменных) и перенося их в первую часть, находим 
оставшееся неизвестное х_г через свободные:

x_r =c_r + b_rr+1x_r+1 +... + b_rnx_n. Подставляя найденное х_г в предпоследнее уравнение, найдем х_г1, которое после приведения подобных членов будет выражаться только через свободные переменные [х_г+1, ..., х_п).

Таким образом, поднимаясь снизу вверх по системе (2), мы находим  в итоге  все оставшиеся неизвестные х_г_₂,       х₁, каждое из которых будет

выражаться  только через свободные переменные (х_г+1, ..., д^). Получен-

 

Лекция  № 3    Системы линейных алгебраических уравнений   проф. Дымков М.П.      45 ные формулы и задают общее решение исходной системы уравнений. Придавая свободным неизвестным (х_г+1, х_г+2,      х_п} произвольные значения,

получим тем самым бесчисленное множество  решений системы (1).

Замечание. На практике, преобразование системы значительно удобнее выполнять, если оперировать с расширенной матрицей коэффициентов (или как говорят пользоваться табличной формой), которая после первого шага имеет вид

 

id)

а

п О

 

 

О

12 i

22

а

т2

In I

2п

Ъ'

а а

а а

^ai2+- + ^a'in

0	а12 ci22	••     а2п	; ьл \   Ъ'2	•У
	а ~ т2	i ..   а тп		'■У

Кроме того, для контроля вычислений иногда добавляют так называемый контрольный  столбец, каждый элемент которого представляет сумму коэффициентов строки, и этот столбец также преобразуется на каждом шаге по правилу прямоугольника

Тогда правильность вычислений состоит  в совпадении суммы коэффициентов преобразованной строки с преобразованным элементом контрольного

столбца:    Е'

 

 

 

 

 

§ 6. Однородные системы уравнений.

 

 

Система линейных уравнений (1) называется однородной, если во всех

уравнениях  свободные члены равны 0, т.е. вектор Ъ = 0.

Тогда однородная система в матричной  форме имеет вид

Ах = 0 (3)

где матрица А = А    составлена из коэффициентов системы (1).

Лекция  № 3 Системы линейных алгебраических уравнений проф. Дымков М.П. 46 Очевидно, что верно равенство г (А) = г(А_ь). Значит, система (3) всегда совместна. Очевидно, х = О является решением (3) (тривиальное решение). Когда существуют ненулевые решения?

Теорема. Для того, чтобы однородная система т линейных уравнений с п неизвестными, имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы г (А) <п.

Доказательство. Необходимость. Так как ранг матрицы не может быть больше размеров матрицы то г <п. (Ясно, что г <т тоже - но это нам не надо!). Предположим вначале, что г = п. Тогда по теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений имеет единственное решение, а именно нулевое решение. Значит, других, кроме тривиальных решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то г Ф п, а значит, должно выполняться неравенство г <п, что и требовалось доказать.

Достаточность. Если есть система уравнений размера пхп, и г < п, то это означает, что столбцы матрицы коэффициентов линейно зависимы. Это означает, что в их линейной комбинации

х_г • а₁ + х₂ • а₂ +.... + х_п • а_п = б существует ненулевой набор чисел х₁,...,х_п, т.е. существует ненулевое решение, что и требовалось доказать.

Имеет место следующее утверждение Теорема. Для того, чтобы однородная система п линейных уравнений с п неизвестными, имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель равнялся нулю А = det А = 0.

 

Следствие. Однородная система, у которой число уравнений меньше числа неизвестных всегда имеет ненулевое решение.

 

 

§ 7. Собственные векторы и собственные числа.

 

Рассмотрим квадратную матрицу А порядка п, элементы которой действительные числа. При умножении такой матрицы на w-мерный вектор

х е Rⁿ, получается некоторый w-мерный вектор Ъ = Ах, Ъ е Rⁿ.

Во  многих задачах линейной алгебры возникает следующий вопрос:

можно ли найти  такое число Я, что верно равенство Ъ = Лх, т.е.

 

Ах = Ях.

По-другому, для конкретной матрицы А требуется знать, есть ли такие специфические векторы х, что действие на них матрицы А равносильно просто умножению этого вектора на некоторое число Я .

Определение. Число Я <=R называется собственным числом квадратной матрицы А, если существует такой ненулевой вектор х е R", что выполняется равенство

Ах = Ях. (1)

При этом вектор х называется собственным  вектором матрицы А, соответствующим собственному числу Я.

Уравнение (1) можно переписать в виде

(А-ЯЕ)х = 0~_п , (2)

где Е - единичная матрица, 0_п —нулевой вектор. Система уравнений (2) - однородная. Следовательно, она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда det( А — ЯЕ) = 0. Этот определитель представляет собой многочлен

w-ой степени (относительно переменной Я) и он называется характеристическим многочленом, а уравнение d&t(A- ЯЕ) = 0 характеристическим

уравнением для  матрицы А.

Его действительные корни (если они существуют) называются собственными числами матрицы А.

ГЗ  2^		(Л	°1		'3-Я     2 >
,1					v 1     4-Я,

Замечание. Оказывается, собственные векторы образуют базис пространства, в котором весьма просто представляются многие объекты и позволяют найти решение других задач.

Пример. А =

(А-ЯЕ) =

vl  4

'3   2^

dQt(A-AE) = (3-A)-(4-A)-2 = A²-7A + 10 = 0=>A_l = 2, Я₂ =5, ля А_[ = 2 собственный вектор есть решение системы уравнений

(А-ЯЕ)х = 0

х₁ + 2х₂ = О

Пусть х₂ = сс => х_л = -2а => Общее реше-

х₂ + 2х₂ = О

ние есть {—2Я, Я), где а е R — любое, а Ф 0. Или, вынося общий множитель, 
имеем (—2/1, Я) = (—2/1, Я) = Я(—2,1). Отсюда, учитывая, что умноже-

ние на число Я для вектора (—2,1) означает изменение лишь его длины, то в

Лекция  № 3 Системы линейных алгебраических уравнений проф. Дымков М.П. 48 качестве собственного вектор, соответствующего собственному числу \=2 можно взять вектор (—2,1). Аналогично находится второй собственный вектор для \ =5 (Упр).

Лекция  № 4       Приложения линейной алгебры в экономике   проф. Дымков М.П. § 8. Применение элементов линейной алгебры в экономике

 

Использование алгебры матриц

Использование элементов алгебры матриц упрощает и облегчает решение многих экономических задач. Особенно актуальным становится этот вопрос при компьютерной разработке и использовании различных баз данных, в которых почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Рассмотрим  простейшие производственные задачи, в которых можно использовать понятие матрицы и операций над  ними.

Пример. Рассмотрим 4 фирмы, выпускающие 5 видов продукции и потребляющие при этом 3 типа сырья. Данные о дневной производительности этих фирм по каждому виду изделий, нормах потребления каждого типа сырья по каждому виду изделий, продолжительность работы (в днях) каждой фирмы в году, а также цены каждого типа сырья приведены в таблице:

 

Вид изделия	Тип сырья			Фирма
		1	2	3	1	2	3	4
1	3	4	2	5	6	7	0
2	4	3	6	0	4	6	3
3	5	7	9	6	5	0	7
4	2	4	4	6	7	0	4
5	3	5	3	3	2	4	0
Продолжительность работы фирмы		/		200	15D	100	200
Цена  единицы сырья		20	10		/

₇₇

Матрица дневных затрат сырья Матрица   ежедневной   производи-

фирмами на единицу изделия тельности по каждому виду изделий

(изделия одинаковы для всех фирм , что естественно для поставщиков!)

 

Требуется определить:

1. годовую производительность каждой фирмы по каждому виду изделий;
2. годовую потребность каждой фирмы по каждому типу сырья;
 

3) годовую сумму кредитов для  закупки сырья, необходимую для  выпуска продукции указанных  видов и объемов.

(5	6	7	°1
0	4	6	3
6	5	0	7
6	7	0	4
	2	4	о,
Гз	4	5	2
4	3	7	4
v2	6	9	4

Решение. Составим следующие матрицы:

i)£ =

 

^матрица  ежедн. производительность фирм^ каждыйстолбец = дневная производит.

отдельной фирмы по каждому виду _v изделий

 

 

 

^  ^ежедн.  затраты сырья на единицу ^

. Так

2) S =

изделия (они  одинаковы для всех У фирм

что     описывает расход /-го типа сырья  на производство /-го вида изделия.

У

3) Вектор-строку (матрица размера 1x3) р — (30 20 10) — стоимость 
единицы сырья

4) диагональную матрицу (так нам удобнее!) времени работы фирмы 
^200 0 ^

150

7 =

100

V 

_о 

200

 

 

Теперь  запишем решение задачи, используя  введенные матрицы:

1) Годовая  производительность у'-ой фирмы  по каждому виду продукции  получается умножением у'-го столбца матрицы Q на количество рабочих дней для этой фирмы. Таким образом, годовая производительность каждой фирмы по каждому изделию описывается матрицей

 

 

 

 

 

G = QT = 

 

 

 

 

 

 

 

V 

 

 

 

 

 

 

 

V 

О ООО 900 700     0 ^

0 600 600 600

1200 750 0 1400

1200 1050 0 400

600 300 400    0

 

Здесь у-ый столбец в полученной матрице G есть годовая производительность у'-ой фирмы.