Решение задач с помощью математического редактора MathCAD и электронной таблицы Microsoft Excel

 

 

 

 

Министерство образования и  науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

 

Южно-Уральский государственный  университет

 

Филиал в г. Златоусте

 

Кафедра Математики и Вычислительной техники

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по информатике на тему

 

«Решение задач с  помощью математического редактора MathCAD и электронной таблицы Microsoft Excel»

 

 

Вариант № 3

 

 

 

 

 

 

 

	Выполнил: Метликин А.В. Группа: НЗД-107 Проверил: Заскалина Е.Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

Златоуст

2007 
СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение 3

 

1. Работа с векторами и матрицами 5

 

2. Табулирование функции 9

 

3. Вычисление значения функции 13

 

4. Вычисление определенного интеграла и производной 15

 

5. Решение уравнения 16

 

6. Решение системы линейных уравнений 19

 

7. Обработка экспериментальных данных 26

 

а) Линейная регрессия 26

 

б) Квадратная регрессия 31

 

Заключение 36

 

Список литературы 37

 

Введение

 

MathCAD — программа для выполнения  и документации инженерных и  научных расчётов. MathCAD - первый и пожалуй главный помощник инженера, радиолюбителя, математика и конечно студента. MathCAD обладает широкими вычислительными возможностями, сохраняя при этом понятный интерфейс и простоту ввода данных. Главная отличительная особенность системы MathCAD заключается в её входном языке, который максимально приближён к естественному математическому языку, используемому как в трактатах по математике, так и вообще в научной литературе. В ходе работы с системой пользователь готовит так называемые документы. Они одновременно включают описания алгоритмов вычислений, программы управляющие работой систем, и результат вычислений. По внешнему виду тексты мало напоминают обычной программы. MathCAD — необычная программа. Она относится к классу приложений, называемых PSE (problem solution environment — программная среда для решения задач). Это подразумевает, что ее работа не определяется однозначно действиями пользователя (как, например, в текстовых редакторах и т. п.), а является (в большей степени) результатом работы встроенных алгоритмов, недоступных взору исследователя. Введя в редакторе MathCAD выражение, даже довольно простое, и получив некоторый ответ, многие даже не задумываются о том, что для его вычисления проделывается довольно сложная работа, результат которой заранее не предопределен и зависит от целого ряда факторов, не представленных непосредственно на рабочей области документа (свойств функции f, параметров численного алгоритма дифференцирования, значения системных констант и т. д.). Поэтому, проводя даже очень простые расчеты, вам придется иногда сталкиваться с неочевидным поведением программы, которое нельзя понять без ясного представления об основах работы соответствующих алгоритмов, встроенных в Mathcad.

Приложение Mathcad компании MathSoft — самый популярный из компьютерных математических пакетов, остающийся, бесспорно, на протяжении многих последних лет лидером в своем классе математического и образовательного программного обеспечения (ПО). С его помощью можно решать самые разные математические задачи и оформлять результаты расчетов на высоком профессиональном уровне, и сейчас уже сложно представить современного ученого, не пользующегося Mathcad. При помощи этого пакета осуществляются не только простые и вспомогательные вычисления, но и довольно сложные расчеты и научные исследования, использующие комбинации самых разных численных алгоритмов и аналитических преобразований.

Программа Microsoft Excel входит в офисный пакет Microsoft  Office  и предназначена для подготовки и обработки электронных таблиц под управлением операционной системой Windows.  Microsoft Excel – это многофункциональный, мощный редактор электронных таблиц. Он предоставляет возможность производить различные расчеты, вычислять значения функций, решать системы линейных уравнений, находить значения параметров в линейных и квадратичных функциях, составлять списки, сметы и что немаловажно, строить наглядные графики и диаграммы.

 

 

1. Работа с векторами и матрицами

 

Векторы и матрицы  рассматриваются в программе MathCad как одномерные и двумерные массивы данных. Число строк и столбцов матрицы задается в диалоговом окне Insert Matrix (Вставка матрицы), которое открывают командой Insert – Matrix (Вставка – Матрица), либо нажатием  Ctrl+M, либо значком Создать матрицу в панели инструментов Matrix. Вектор задается как матрица, имеющая один столбец.

После щелчка на кнопке ОК в формулу вставляется матрица, содержащая вместо элементов заполнители. Вместо каждого заполнителя надо вставить число, переменную или выражение:

Если необходимо изменить размерность матрицы, то нужно поместить  курсор в область массива и вновь нажать Ctrl+M. В появившемся запросе следует указать сколько строк и столбцов добавляется или удаляется, используя соответственно кнопки Добавить или Удалить.

По умолчанию подразумевают, что индексы первого элемента массива равны нулю. Если нет необходимости работать с нулевыми строками и столбцами, то значение системной переменной ORIGIN нужно изменить с 0 на 1, непосредственно в документе указав ORIGIN:=1

Чтобы транспонировать  матрицу, нужно нажать кнопку Транспонирование матрицы (или Ctrl+1) на панели инструментов Matrix.

Номер столбца матрицы  отображается как верхний индекс, заключенный в угловые скобки, например М^<0>. Для его ввода используется кнопка Столбец матрицы на панели инструментов Matrix.

Символы Σ и Π используют соответственно для нахождения суммы и произведения элементов вектора.

Некоторые векторные  и матричные функции:

• max (A) – нахождение максимального значения матрицы А;
• min (A) – нахождение максимального значения матрицы А;
• mean (A) – нахождение среднего значения матрицы А;
• last (b) – вычисление номера последнего элемента вектора b;
• length (b) – вычисление количества элементов матрицы b;
• rank (A) – вычисление ранга матрицы А;
• cols (A) – вычисление числа столбцов матрицы А;
• rows (A) – вычисление числа строк матрицы А;
• sort (b) – сортирует элементы вектора b по возрастанию значения;
• reverse (b) – переставляет элементы вектора b в обратном порядке после сортировки по возрастанию значения;
• rsort (A, n) – переставляет столбы матрицы А так, чтобы отсортированной оказалась n-строка;
• csort (A, n) – переставляет строки  матрицы А так, чтобы отсортированным оказался n-столбец;
• augment (A, b) – формирует матрицу таким образом, что в первых столбцах находятся элементы матрицы А, в последних – элементы вектора b;

Следующий рисунок показывает применение вышеописанных функций:

 

 

Для работы с элементами матрицы используют индексы элементов. Нумерация строк и столбцов матрицы  начинается с нуля. Индекс элемента задается числом, переменной или выражением и отображается как нижний индекс. Он вводится после щелчка на кнопке Subscript (Индекс) на панели инструментов Matrix (Матрица). Пара индексов, определяющих элемент матрицы, разделяется запятой.

Чтобы задать общую формулу  элементов матрицы, типа М_I,J:= i +j, используют диапазоны. Диапазон фактически представляет собой вектор, содержащий арифметическую прогрессию, определенную первым, вторым и последним элементами. Чтобы задать диапазон, следует указать значение первого элемента, через запятую значение второго и через точку с запятой значение последнего элемента. Точка с запятой при задании диапазона отображается как две точки (..). Диапазон можно использовать как значение переменной, например x:= 0,0.01.. 1.

Вычислим значения N_I,J и запишем в табличном и матричном виде для каждого значения переменной а=(2.1, -3, 5, 0.2, 4, 8 ) и b=(-1, 3, 2.1, -4, 1) в формуле  . Зададим i и j, после запишем последовательности  a и b. Как видно из условия количество строк матрицы N определяется количеством элементов вектора a, количество столбцов – количеством элементов вектора b. Учитываем, что по умолчанию индекс первого элемента равен 0.

 

 

2. Табулирование функции.

 

Протабулируем функцию, то есть найдем значения функции для каждого x из предложенного интервала:

 

 

Если на всем интервале  табуляции функция определена и  непрерывна, то можно воспользоваться  традиционным способом задания переменной как дискретной величины:

 

 

Наряду с традиционными  способами можно использовать возможности программирования. В MathCAD, по сути, не встроен язык программирования, а просто снято ограничение на использование составных операторов в теле алгоритмических управляющих конструкций выбор и повторение. Кроме того, добавлены цикл с параметром и оператор досрочного выхода break. Алгоритмические конструкции и составные операторы в среде MathCAD вводятся нажимом одной из семи кнопок панели управления:

 

Add line	добавить строку программы, тела цикла, плеча альтернативы и  т.д.
¬	знак присвоения.
While	при нажатии на эту  кнопку на экране появляется заготовка  цикла с предпроверкой: слово while с двумя пустыми квадратиками. В квадратик правее while нужно записать булево выражение (переменную), управляющее циклом, а во второй квадратик (ниже while ) - тело цикла.
If	позволяет вводить в  программу альтернативу с одним  плечом.
Otherwise	Обозначает оператор, который должен быть исполнен, если условие оператора if не выполняется
For	кнопка для ввода  в программы цикла с параметром.
Break	кнопка досрочного выхода из программы или цикла.

 

Наличие постоянного  шага изменения аргумента позволяет найти значения данной функции с помощью структуры программирования for:

 

Также данное задание можно выполнить в MS Excel.

Аргумент изменяется с постоянным шагом, что можно использовать для быстрого ввода значений этого ряда. Введем в ячейку А2 число 1, в А3 – число 3. Выделим эти ячейки и маркером автозаполнения сформируем весь ряд изменения аргумента. Теперь в ячейку B2 введем формулу, имеющую вид:

 

=(A2^2+1)/(A2+КОРЕНЬ(A2))*EXP((A2)^2)

 

Далее скопируем формулу  в другие ячейки столбца B. В окончательном виде таблица значений аргумента x и соответствующих им значений функции y(x) будет иметь вид:

 

Для наглядности построим график данной нам функции. В окне первого шага Мастера диаграмм на закладке Стандартные выберем тип График. В окне второго шага укажем диапазон вычисленных данных и расположение рядов – в столбцах. На вкладке Ряд укажем столбец аргументов в строке Подписи оси X:. Далее внесем название графика, а на закладке Линии сетки активизируем опции основные линии по обеим осям. График будет представлять собой:

 

3. Вычисление значения функции.

 

Вычислить значение данной функции:

 

 

Как видно из функции, она имеет разрыв в единственной точке x=0. Чтобы  вычислить ее значения, удобно использовать встроенную функцию if, позволяющую наряду с единственным условием в качестве аргумента использовать другие функции, в том числе и саму if. Такая вложенная структура позволяет учесть все точки разрыва данной по условию задачи функции. Возможности программирования в MAthCAD позволяют более наглядно представить решение задачи:

 

 

Далее подставим несколько  значений аргумента – одно больше 0,а другое меньше 0:

 

 

Данную задачу также  можно решить с помощью возможностей программирования:

 

 

Для этого после нажатия  кнопки Add Line вводим сначала саму функцию, а после условие для аргумента. В конце также можно выполнить проверку.

Чтобы решить данную задачу с помощью  простых вычислений, нужно ввести значение аргумента, а затем записать функцию для этого аргумента:

 

 

Теперь вычислим значение функции в MS Excel. Для вычисления ее значений удобно использовать встроенную функцию ЕСЛИ. Эта функция вычисляет значение Y(x) в зависимости от значения самого аргумента x. Функция если представляет собой:

 

 

Решение поставленной задачи, а именно вычисление значений функции, будет иметь вид:

 

 

4. Вычисление определенного интеграла и производной

 

Вычислим значение определенного  интеграла, в том числе используя  символьный вид:

 

 

Также определим производную  подынтегральной функции для  середины отрезка и для его  концов (x=0; x=0.6; x=1.2).

Расчет значения определенного  интеграла опирается на формулу Ньютона-Лейбница:

 

Чтобы найти значение производной подынтегральной функции, нужно задать значение аргумента  и после этого в панели инструментов Математика нажать на кнопку Производная (или вызвать производную нажатием сочетания клавиш Shift+/):