Математические основы решение задачи коммивояжера

Содержание

 

 

Введение                                                                                                                       2

1 Математические основы решение задачи коммивояжера                                    3

1.1 Основные понятия теории графов                                                                       3

1.2 Формулировка и некоторые  свойства решений задачи коммивояжера           5

1.3 Постановка задачи коммивояжера  как задачи на графе                                    6

1.4 Метод ветвей и границ                                                                                          7

2 Разработка и описание алгоритма  работы программы                                          11

2.1 Описание работы программы                                                                                11

2.2 Текст программы                                                                                                    11

3 Заключение                                                                                                                 15

4 Литература                                                                                                                  16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

В данной курсовой работе рассматривается задача коммивояжера. Целью курсовой работы является решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ, а также ее программная реализация на одном из языков программирования. Задача проектирования состоит в том, чтобы максимально просто добиться результата поставленной задачи.

Математическое программирование — область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

Один из разделов математического программирования - линейным программированием.   Методы и модели линейного программирования широко применяются при оптимизации процессов во всех отраслях народного хозяйства: при разработке производственной программы предприятия, распределении ее по исполнителям, при размещении заказов между исполнителями и по временным интервалам, при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции, в задачах перспективного, текущего и оперативного планирования и управления; при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении; в задачах развития и размещения производительных сил, баз и складов систем обращения материальных ресурсов и т. д. Особенно широкое применение методы и модели линейного программирования получили при решении задач экономии ресурсов (выбор ресурсосберегающих технологий, составление смесей, раскрой материалов), производственно-транспортных и других задач.

 

 

 

 

1 Математические  основы решение задачи коммивояжера

 

1.1 Основные понятия теории  графов

 

 

Пусть задано некоторое непустое множество Х множество, состоящее из пар элементов множества X. Пары во множестве могут повторяться, и также могут повторяться элементы в парах. Множества Х задают граф 0=(Х, Y).

Элементы множества называют вершинами графа, элементы множества V — ребрами графа.

Если пары во множестве V повторяются, то граф С называют псевдографом или графом с кратными ребрами.

Если элементы в парах множества не упорядочены, то граф С называют неориентированным графом. Если они упорядочены, то граф О является ориентированным графом или орграфом, а элементы множества V называют дугами.

Графически граф задается в виде точек и линий, их соединяющих.

Введем ряд основных понятий для неориентированного графа. Ребро, начало и конец которого совпадают, называется петлей. Вершины называются смежными или соседними, если существует ребро, их соединяющее.

Если вершина является началом или концом ребра, то вершина и ребро называются инцидентными.

Степенью вершины называется число инцидентных ей ребер. Вершина, степень которой равна нулю, называется изолированной. Вершина, степень которой равна единице, называется висячей или тупиковой.

Маршрутом в графе называется последовательность вершин и ребер, в которой конец предыдущего ребра совпадает с началом следующего), это не относится к первому и последнему ребру). Число ребер в маршруте определяет его длину.

Цепью называется маршрут, в котором все ребра попарно различны.

Простой называется цепь, в которой все вершины попарно различны.

Циклом (простым циклом) называется цепь (простая цепь), начало и конец которой совпадают.

Граф называется связным, если для любых двух его вершин существует цепь, соединяющая эти вершины.

Расстоянием между вершинами связного графа называется длина самой короткой цепи, соединяющей вершины.

Диаметром графа называется максимальное расстояние между его вершинами.

Деревом называется связный граф без циклов

Граф называется регулярным степени i, если все его вершины имеют степень i.

Граф называется полным, если любые две его вершины соединены ребром. Лесом называется граф без циклов, т.е. совокупность деревьев.

Регулярный граф, все вершины которого имеют степень 1, называется паросочетанием. Граф называется двудольным, если множество его вершин X может быть разделено на два непересекающихся подмножества таким образом, что каждое ребро графа соединяет вершины из двух разных подмножеств.

Гамильтоновой цепью называется простая цепь, содержащая все вершины графа.

Гамильтоновым циклом называется простой цикл, содержащий все вершины графа.

В ориентированном графе каждая дуга имеет направление, показанное стрелкой

Маршрут в ориентированном графе часто называют контуром, а цепь — путем.

 

1.2 Формулировка и некоторые  свойства решений задачи коммивояжера

 

 

Классическая постановка задачи о коммивояжере выглядит следующим образом:

Имеется N городов, выезжая из исходного города А1, коммивояжер должен побывать во всех городах по 1 разу и вернуться в город А1. Задача заключается в определении последовательности объезда городов, при которой коммивояжеру требуется минимизировать некоторый критерий эффективности: стоимость проезда, время пути, суммарное расстояние и т.д.

Для расчета затрат существует матрица условий, содержащая затраты на переход из каждого города в каждый, при этом считается, что можно перейти из любого города в любой, кроме того же самого (в матрице как бы вычеркивается диагональ). Целью решения является нахождения маршрута, удовлетворяющего всем условиям и при этом имеющего минимальную сумму затрат.

Чтобы привести задачу к научному виду, введём некоторые термины. Итак, города перенумерованы числами jÎТ=(1,2,3..n). Тур коммивояжера может быть описан циклической перестановкой t=(j1,j2,..,jn,j1), причём все j1..jn – разные номера; повторяющийся в начале и в конце j1, показывает, что перестановка зациклена. Расстояния между парами вершин  Сij образуют матрицу С. Задача состоит в том, чтобы найти такой тур t, чтобы минимизировать функционал

     

Относительно математизированной формулировки задачи коммивояжера уместно сделать два замечания.

Во-первых, в постановке Сij означали расстояния, поэтому они должны быть неотрицательными, т.е. для всех jÎТ:

Сij³0; Cjj=∞     

(последнее равенство означает  запрет на петли в туре), симметричными, т.е.  для всех i,j:

Сij= Сji.     

и удовлетворять неравенству треугольника, т.е. для всех:

Сij+ Сjk³Cik       

 

 

1.3 Постановка задачи  коммивояжера как задачи на  графе

 

 

Задача коммивояжера может быть сформулирована как задача на графе в следующей постановке: построить граф G(X, A), вершины которого соответствуют городам в зоне коммивояжера, а дуги отображают коммуникации, соединяющие пары городов. Пусть длина a(х, у) > 0 каждой дуги (х, у) є А равна расстоянию, стоимости или времени. Контур, включающий каждую вершину графа G хотя бы один раз, называется маршрутом коммивояжера. Контур, включающий каждую вершину графа G ровно один раз, называется гамильтоновым контуром (по имени ирландского математика Вильяма Роуана Гамильтона, который в 1859 г. первым начал изучение этих задач).

Города – это вершины графа.

Дороги между городами – это ориентированные ребра графа.

Длина соответствующей дороги – это вес ребра.

Граф должен быть полным, т.е. в нем имеются все возможные ребра. Если граф не является полным, то его можно дополнить недостающими ребрами с весом =

Путь, который требуется найти, - это ориентированный оставный, простой цикл, минимального веса в графе. Такие циклы называются гамильтоновыми.

Оставным циклом называется такой цикл, который проходит через все вершины. Вес цикла – это сумма веса всех ребер.

 

1.4 Метод ветвей и границ

 

 

К идее метода ветвей и границ приходили многие исследователи, но Литтл с соавторами на основе указанного метода разработали удачный алгоритм решения задачи коммивояжера и тем самым способствовали популяризации подхода. С тех пор метод ветвей и границ был успешно применен ко многим задачам, для решения задачи коммивояжера было придумано несколько других модификаций метода, но в большинстве учебников излагается пионерская работа Литтла.

Общая идея тривиальна: нужно разделить огромное число перебираемых вариантов на классы и получить оценки (снизу – в задаче минимизации, сверху – в задаче максимизации) для этих классов, чтобы иметь возможность отбрасывать варианты не по одному, а целыми классами. Трудность состоит в том, чтобы найти такое разделение на классы (ветви) и такие оценки (границы), чтобы процедура была эффективной. Нам будет удобнее трактовать Сij как стоимость проезда из города i в город j. Допустим, что добрый мэр города j издал указ выплачивать каждому въехавшему в город коммивояжеру 5 долларов. Это означает, что любой тур подешевеет на 5 долларов, поскольку в любом туре нужно въехать в город j. Но поскольку все туры равномерно подешевели, то прежний минимальный тур будет и теперь стоить меньше всех. Добрый же поступок мэра можно представить как уменьшение всех чисел j-го столбца матрицы С на 5. Если бы мэр хотел спровадить коммивояжеров из  j-го города и установил награду за выезд в размере 10 долларов, это можно было бы выразить вычитанием 10 из всех элементов j-й той строки. Это снова бы изменило стоимость каждого тура, но минимальный тур остался бы минимальным. Итак, доказана следующая лемма. Вычитая любую константу из всех элементов любой строки или столбца матрицы С, мы оставляем минимальный тур минимальным. Для алгоритма нам будет удобно получить побольше нулей в матрице С, не получая там, однако, отрицательных чисел. Для этого мы вычтем из каждой строки ее минимальный элемент (это называется приведением по строкам,  а затем вычтем из каждого столбца матрицы, приведенной по строкам, его минимальный элемент, получив матрицу, элементов матрицы С. Подчеркивание элемента  означает, что в туре из i-го элемента идут именно в j-тый. Для тура из шести городов подчеркнутых элементов должно быть шесть, так как в туре из шести городов есть шесть ребер. Каждый столбец должен содержать ровно один подчеркнутый элемент  (в каждый город коммивояжер въехал один раз), в каждой строке должен быть ровно один подчеркнутый элемент (из каждого города коммивояжер выехал один раз); кроме того, подчеркнутые элементы должны описывать один тур, а не несколько меньших циклов. Сумма чисел подчеркнутых элементов есть стоимость тура. Стоимость равна 36, это тот минимальный тур, который получен лексикографическим перебором.

Если в ней удастся построить правильную систему подчеркнутых элементов, т.е. систему, удовлетворяющую трем вышеописанным требованиям, и этими подчеркнутыми элементами будут только нули, то ясно, что для этой матрицы мы получим минимальный тур. Но он же будет минимальным и для исходной матрицы С, только для того, чтобы получить правильную стоимость тура, нужно будет обратно прибавить все константы приведения, и стоимость тура изменится с 0 до 34. Таким образом, минимальный тур не может быть меньше 34. Мы получили оценку снизу для всех туров.

Теперь приступим к ветвлению. Для этого проделаем шаг оценки нулей. Рассмотрим нуль в клетке (1,2) приведенной матрицы. Он означает, что цена перехода из города 1 в город 2 равна 0. А если мы не пойдем из города 1 в город 2? Тогда все равно нужно въехать в город 2 за цены, указанные во втором столбце; дешевле всего за 1 (из города 6). Далее, все равно надо будет выехать из города 1 за цену, указанную в первой строке; дешевле всего в город 3 за 0. Суммируя эти два минимума, имеем 1+0=1: если не ехать «по нулю» из города 1 в город 2, то надо заплатить не меньше 1. Это и есть оценка нуля. Оценки всех нулей поставлены правее и выше нуля (оценки нуля, равные нулю, не ставились).

Выберем максимальную из этих оценок (в примере есть несколько оценок, равных единице, выберем первую из них, в клетке (1,2)).

Итак, выбрано нулевое ребро (1,2). Разобьем все туры на два класса – включающие ребро (1,2) и не включающие ребро (1,2). Про второй класс можно сказать, что придется приплатить еще 1, так что туры этого класса стоят 35 или больше.

Что касается первого класса, то в нем надо рассмотреть матрицу с вычеркнутой первой строкой и вторым столбцом.

Дополнительно в уменьшенной матрице поставлен запрет в клетке (2,1), т. к. выбрано ребро (1,2) и замыкать преждевременно тур ребром (2,1) нельзя. Уменьшенную матрицу можно привести на 1 по первому столбцу, так что каждый тур, ей отвечающий, стоит не меньше 35

Кружки представляют классы: верхний кружок – класс всех туров; нижний левый – класс всех туров, включающих ребро (1,2); нижний правый – класс всех туров, не включающих ребро (1,2). Числа над кружками – оценки снизу.

Продолжим ветвление в положительную сторону: влево - вниз. Для этого оценим нули в уменьшенной матрице C[1,2]. Максимальная оценка в клетке (3,1) равна 3. Таким образом, оценка для правой нижней вершины  есть 35+3=38. Для оценки левой нижней вершины нужно вычеркнуть из матрицы C[1,2] еще строку 3 и столбец 1, получив матрицу C[(1,2),(3,1)]  В эту матрицу нужно поставить запрет в клетку (2,3), так как уже построен фрагмент тура из ребер (1,2) и (3,1), т.е. [3,1,2], и нужно запретить преждевременное замыкание (2,3).