Решение задач с помощью математического редактора MathCAD и электронной таблицы Microsoft Excel

И далее ввести подынтегральную  функцию. Заметим, что значение производной в численном виде можно получить, если заранее задать значение аргумента:

 

5. Решение уравнения

 

 

Решим данное уравнение  с помощью MathCAD с помощью встроенной функции root(f(x), x), где f(x) –– функция, представляющая собой левую часть уравнения вида f(x)=0. Функция root(f(x), x) – находит корень уравнения с одним неизвестным. Возвращает значение x, при котором функция f(x) равна нулю. Использование функции root требует предварительного задания начального значения. Если исследуемая функция имеет много корней, то найденный корень будет зависеть от начального приближения.

Зададим значения аргумента x из интервала [0;1] с шагом 0.1. Запишем уравнение и построим график данной функции(чтобы построить график, нужно нажать сочетание клавиш Shift+2 или кнопку Декартов график в панели инструментов Математика):

 

 

Из данного графика  видно, что уравнение  пересекает ась x в единственной точке. Поэтому можно приблизительно из графика определить начальное значение переменной x, относительно которой решается уравнение. В данном случае x=0.56. И далее записываем функцию root, предварительно задав точность вычислений, которая задается встроенной переменной TOL. По умолчанию ее значение равно 0,001.

 

Решим заданное уравнение  символьно. Для этого запишем само уравнение, выделим в нем переменную и выполним команду Символы – Переменные – Вычислить:

 

 

Теперь решим  поставленную задачу в MS Excel.

Вначале определим, сколько корней имеет уравнение на данном отрезке. Для чего построим таблицу значений функции с шагом 0.1:

 

Из таблицы видно, что  функция один раз изменила свой знак с «+» на «–». Значит решением будет  единственный корень из интервала (0.5; 0.6). Выпишем в свободную ячейку среднее значение полученного интервала, а именно 0.55, а в следующую ячейку скопируем формулу, по которой считали значение функции. Выделим эту ячейку с формулой и вызовем команду Подбор параметра меню Сервис. Появится диалоговое окно:

 

 

В пункте Установить в ячейке адрес появится автоматически. В пункт Значение нужно поставить 0, а в пункт Изменяя значение ячейки – адрес той ячейки, куда вписывали 0.55. И MS Excel выведет приближенное значение корня уравнения:

 

 

6. Решение системы линейных уравнений

 

Рассмотрим решение  данной системы линейных алгебраических уравнений, используя различные способы:

 

 

Исходную систему линейных уравнений часто представляют в  виде A X=B, где A – матрица коэффициентов при неизвестных, X – матрица неизвестных и B – матрица свободных членов. Это позволяет решить систему уравнений методом обратной матрицы. Так как мы снова работаем с матрицами, то нужно ввести переменную ORIGIN , присвоив ей значение 1: ORIGIN:=1. Далее вводим матрицы A и B, затем записываем, что . И выводим матрицу неизвестных X:

 

 

Также данную систему  можно решить с помощью встроенной функции lsolve:

Встроенные функции augment, rref и submatrix позволяют решить данную систему методом Гаусса. Сначала мы объединяем матрицы A и B в одну матрицу – расширенную. Далее с помощью функции rref мы получаем нули под главной диагональю и над ней, то есть выполняем прямой и обратный ходы метода Гаусса. И в конечном итоге получаем неизвестные и преобразуем их в матрицу с помощью функции submatrix.

 

 

Решим систему уравнений  методом Крамера.

Вычисляем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных (A) и если не равен 0, то система имеет единственное решение x1, x2,…,xn, определяемое формулами Крамера следующим образом:

,

где – определитель матрицы n-го порядка, полученный из матрицы  системы заменой i-го столбца коэффициентов при неизвестных столбцом свободных членов.

 

 

Решение системы уравнений  с помощью функции Given – Find.

Функция find(x1, x2, …) – возвращает значения x, y, …, удовлетворяющие ограничениям: равенствам и неравенствам, заданным в блоке решения уравнений Given. Число уравнений должно равняться количеству неизвестных x1, x2, … Когда блок решения уравнений ищет одну неизвестную, функция find возвращает скаляр. В ином случае она возвращает вектор, первым элементом которого является искомое значение неизвестной x1, вторым – x2 и т.д. Перед использованием этой функции необходимо задать начальное приближение для каждой неизвестной. Если система имеет несколько решений, то нужное определяется заданным начальным приближением.

Запишем в рабочей  области программы систему уравнений (ограничения), предварительно задав начальное приближенное значение для каждой неизвестной, и, воспользовавшись функцией find(x1, x2, …), найдем корни этой системы. Так как система имеет более одной неизвестной ответ получим виде вектора, элементы которого есть искомые значения х1, х2, х3, х4 соответственно:

 

 

Решение системы линейных уравнений символьным способом такое же, но только для символьного способа не нужно вводить начальные значения неизвестных:

 

Данное задание можно  выполнить и в MS Excel.

Для каждого из трех методов  сформируем матрицу коэффициентов  при неизвестных и матрицу свободных членов. Реализация матричного способа в  MS Excel базируется на математических функциях, оперирующих массивами. Выделяем диапазон ячеек правее столбца ячеек (x1, x2, x3, x4) и вводим формулу

 

=МУМНОЖ (МОБР(C16:F19); (I16:I19)),

 

нажимаем Ctrl + Shift + Enter, и получаем результат

 

Перед использованием правила Крамера, сформируем матрицы, полученные поочередной заменой одного столбца в матрице свободных членов столбцом правых частей системы. Для подсчета определителя формулы для неизвестных запишем в виде:

 

=МОПРЕД(C33:F36)/МОПРЕД(C26:F29)

 

И решение будет иметь вид:

 

 

Для решения последним способом сформируем левую часть системы. В ячейку правее сформированной матрицы коэффициентов при неизвестных введем формулу:

 

=СУММПРОИЗВ($B$60:$E$60;C52:F52)

 

 и скопируем ее с помощью маркера заполнения в 3 ячейки ниже этой.

Выполним команду Сервис – Поиск решения:

 

 

В поле Ограничения внесем равенство диапазонов ячеек, в которые мы записывали формулу =СУММПРОИЗВ($B$60:$E$60;C52:F52) и ячеек, в которые записывали матрицу свободных членов. В качестве изменяемых значений используются ячейки любые свободные ячейки, их и указываем в поле Изменяемые ячейки. Результат можно видеть ниже:

 

 

7. Обработка экспериментальных данных

 

Для табличных данных найдем аппроксимирующую зависимость  в виде линейной и квадратичной функции (составим функцию, чтобы данные нам значения x и y были приближены к этой функции с наименьшей погрешностью):

 

x	3	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9	4,0
y	4,61	4,59	5,13	5,48	5,49	5,55	5,47	5,72	5,79	6,11	6,60

 

Линейная регрессия

 

Для начала рассмотрим поиск аппроксимирующей зависимости в виде линейной функции, то есть получим функцию y=ax+b.

Введем последовательности X и Y в векторном виде.

Для поиска коэффициентов  линейной зависимости в MathCaD существуют следующие функции:

• line (X; Y) – создаёт вектор из коэффициентов линейной регрессии b+ах;
• intercept (X; Y) – определяет коэффициент параметра b (свободного члена прямой регрессии);
• slope (X; Y) – определяет коэффициент параметра а линейной регрессии b+ax;
• corr (X; Y) – Возвращает скаляр: коэффициент корреляции  для двух массивов X и Y. Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем точнее представленная исходными точками зависимость приближается к линейной.

 

И тогда решение в MathCAD поставленной задачи с помощью этих функций будет иметь вид:

 

Чтобы найти аппроксимирующую зависимость в виде линейной функции методом наименьших квадратов, нужно решить систему:

 

 

где a и b – искомые коэффициенты линейной зависимости;

n – количество экспериментальных точек.

Используя функцию Given/Find, задав начальные значения параметрам a и b, получим решение поставленной задачи методом наименьших квадратов в MathCAD:

 

где S – сумма квадратов отклонений функции от заданных значений Y, и чем меньше S, тем точнее функция.

Далее рассмотрим поиск  линейной функции в MS Excel.

Для начала воспользуемся  методом наименьших квадратов. Линейная аппроксимация (y=ax+b) приводит к необходимости вычисления коэффициентов a и b с помощью следующей системы двух уравнений:

 

 

где n – количество экспериментальных  точек.

Составим таблицу из переменных X, Y, X^2 и X Y. В этой же таблице посчитаем сумму для каждой переменной. Далее в свободных ячейках представим матрицу коэффициентов при неизвестных и матрицу свободных членов. С помощью функции МОБР получим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных. И в конце с помощью функции МУМНОЖ, обратной матрицы и матрицы свободных членов получаем значения искомых параметров a и b (нажав сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter):

 

Также параметры a и b линейной функции можно найти с помощью встроенных в MS Excel функций:

• Наклон (известные значения у; известные значения х) – определяет коэффициент наклона линейного тренда;
• Отрезок (известные значения у; известные значения х) – определяет свободный член линейного тренда;
• Линейн (известные значения у; известные значения х) – использует метод наименьших квадратов, чтобы вычислить параметры линейной зависимости, в том числе для множественной регрессии.

И вот как это будет  выглядеть в Excel:

 

 

Еще параметры a и b можно определить, построив линию тренда. Линия тренда – это линия регрессии, которая аппроксимирует точки данных, или линия скользящего среднего. Из меню Диаграмма или контекстного меню диаграммы исходных данных можно выбрать тип зависимости и задать возможность вывода уравнения в поле графика.

Сначала строим точечную диаграмму по заданным значениям X и Y. Далее нажимаем правой кнопкой мыши на графике и выбираем из контекстного меню пункт Добавить линию тренда. В открывшемся диалоговом окне во вкладке Тип выбираем Линейный и во вкладке Параметры ставим галочку на пункте Показывать уравнение на диаграмме. Результат можно увидеть ниже:

 

 

Также выполним данное задание  с помощью инструмента Поиск решения. Эта встроенная команда позволяет найти параметры линейной зависимости a и b, минимизируя предварительно составленную сумму квадратов разностей расчетного и табличного значений Y.

Для начала как и для  метода наименьших квадратов создадим таблицу, но только вместо переменных X^2 и X Y возьмем выражения (aX+b) и ((aX+b)-Y)^2 – (квадрат отклонения). Далее в две свободные ячейки введем приближенные значения параметров a и b. Используя эти приближенные значения и исходные данные X, сформируем столбец значений расчетной линейной функции aX+b. Используя только что полученные расчетные значения и исходные значения Y, сформируем столбец с квадратами их разностей, а также рассчитаем сумму по этому столбцу – сумму квадратов отклонений. Из меню Сервис выберем команду Поиск решения. В диалоговом окне Поиск решения в поле Установить целевую ячейку указать ячейку с суммой квадратов отклонений; в поле Равной – минимальному значению; в поле Изменяя ячейки указать ячейки с приближенными значениями коэффициентов a и b. Затем – Выполнить:

 

Квадратичная  регрессия

 

Найдем аппроксимирующую зависимость в виде квадратной функции

 

 

с помощью MathCAD. Для этого сначала зададим степень регрессии. Затем используем функцию regress, которая получает в качестве аргументов исходные векторы X и Y, а также степень регрессии. Эта функция вспомогательная, она возвращает вектор, требующий interp, чтобы найти полином порядка, равного степени регрессии, который наилучшим образом приближает данные из X и Y. Далее с помощью функции submatrix преобразуем полученный массив в матрицу и транспонируем ее. В качестве элементов этой транспонированной матрицы и будут искомые параметры a, b и c: