Портфельное инвестирование на валютном рынке

Так же в это время Клод Шенной положил начало теории информации. Он утверждал, что при надлежащем кодировании двоичные символы могут  передаваться по зашумлённому каналу с произвольной малой вероятностью ошибки.

В 1956г. Дж. Л. Келли младший объединил некоторые элементы теории игр и теории информации в своей статье «Новая интерпретация скорости передачи информации». Хотя в ней речь шла о теории информации, из неё вытекало, то что игроку надо стремится максимизировать величину логарифма своего капитала, в отличие от ранее существовавшей методологии о величине самого капитала.

Формулы Келли

Если система имеет только два  возможных исхода, причём выигрыши и проигрыши всегда равны между собой, или одинаковы по отдельности, то есть имеют распределение Бернулли, то оптимальное  F  ищется по формулам Келли:

1. F = 2*P –1
2. F = P-Q

F -  оптимальная фиксированная доля,

Р – вероятность выигрыша

Q – вероятность проигрыша = 1-Р

Если выигрыши и проигрыши не одинакового размера, но выигрыши одинаковы  между собой, а проигрыши  -  между собой, то верна

3. F = ((B+1)*P-1)/B = математическое ожидание/ В

B – отношение выигранной суммы к проигранной сумме.

Благодаря усилиям  Эдварда О. Торпа  и его книге «Как победить дилера», критерии Келли приобрели популярность среди наиболее математически подкованных рыночных игроков и технических аналитиков.

Повсеместное употребление в среде биржевых спекулянтов  и торговцев состоялось после  выхода в свет знаменитой книги Фреда  Гема «Управление капиталом на товарных рынках». И после 1986 года, когда эти критерии начал пропагандировать Лари Вильямс, стало трудно найти опытного спекулянта, который не знал бы и не пользовался критериями Келли.

Однако, Ральф Винс утверждает, что эти формулы применимы только к распределению Бернулли, имеющему только два различных исхода. Поскольку в азартных играх есть два исхода – выигрышный исход и проигрышный исход, проблем не возникает. Но в торговле же сделка может иметь множество величин исхода, размер выигрышей и проигрышей постоянно меняется. Применение этих формул к другим распределениям является ошибкой.

Он вводит понятие дохода за период владения– holding period returns -  HPR, процент чистого дохода от данной сделки плюс единица. Доход в 10% эквивалентен HPR, равному 1.10, при убытке в 25% HPR равно 0.75.

 

HPR = 1+F*(-Сделка/ L_o)             (4)

L_o - наибольший проигрыш (всегда отрицательное число),

-Сделка – прибыль или убыток  в сделке

Если перемножать все прибыли за определённый период, то в итоге получится функция роста, или относительный конечный капитал:

                     _{N                    N}

TWR = ∏ HPR =∏ (1+F(-Сделка/ L_o))             (5)

                     ^{i=1                  I=1}

Таким образом функция капитала является функцией величины F.

 

Винс сделал предположение о  наличии некоего оптимального F, при котором конечный капитал максимизируется. Прежде чем доказать существование оптимального F, необходимо рассмотреть фундаментальное уравнение торговли.

2.2. Фундаментальное уравнение торговли

Оценка TWR -  аппроксимация мультипликативной функции роста

TWR = ((A² – S² )^{^1/2})^Т,

Т – количество периодов

А – среднее арифметическое HPR,

S - стандартное отклонение HPR.

G = (A² – S² )^{^1/2},  оценочное среднее геометрическое с довольно точной аппроксимацией.

 

Надо стремиться максимизировать эти функции, точнее стремится максимизировать квадратный из квадрата среднего корень дохода за период держания за вычетом его дисперсии, или максимизировать разницу доходности и риска.

 

Параметр Т позаботится  о себе сам.

Формулу для G  переписать в виде:

А² = G² +S² ,     что по форме переставляет собой терему Пифагора. Таким образом, надо стараться максимизировать катет G, а не гипотенузу A. При росте катета, гипотенуза сама вырастет, но не за счёт риска S. Это сказано для того, что бы стало ясно, что хороши те системы, у которых с большой вероятностью появляются, возможно, малые выигрыши, а не те,  которые дают более крупные выигрыши при большом риске.

 

Рис 3.                                                         Характеризуя влияние А и S на G, можно

                                                                    утверждать, что приращение А  эквивалентно 

                                                                            соответственному уменьшению S и наоборот.

                                                                    То есть, любое уменьшение стандартного  

       G                A         G                A                отклонения (риска) эквивалентно увеличению

                                                                            среднего арифметического HPR (дохода).

                 S                            S

Следует подробнее рассмотреть  уравнение  TWR = ((A² – S² )^{^1/2})^Т или, по Ральфу Винсу, фундаментальное уравнение торговли.

Если математическое ожидание системы  отрицательное, то математическое ожидание HPR меньше единицы (исходя из формулы для HPR),  получается отрицательное число, что в итоге, так или иначе, приводит трейдера к разорению.

Плюс к этому надо добавить, что  значимость этого уравнения заключается в том, что из него следует, что при уменьшении стандартного отклонения в большей степени, чем средне арифметическое сделок, конечный результат улучшается. Поэтому имеет смысл по возможности ограничивать убытки – это приносит пользу. Вместе с тем, уравнение показывает, что в некоторой точке ограничение потерь станет неблагоприятным. Система в этой точке будет с небольшими потерями выходить из слишком большого числа сделок, которые позже могут оказаться прибыльными, тем самым, снижая A больше, чем S.

Аналогичным образом, уменьшение числа  крупных сделок будет способствовать итоговому успеху, если это не сокращает  А больше, чем S.

Этого можно добиться путём приближения  или удаления стоп-приказов, задания ценовых ориентиров и т.д.

 

2.3. Обоснование существования оптимального F

 

Средняя сделка, высчитываемая как  оценочное математическое ожидание (среднее арифметическое) выборки  из сделок, в действительности не является в том плане средней, что по ней можно спрогнозировать вероятную  величину следующей сделки. Дело в том, что в подсчёт среднего арифметического включаются наибольшие выигрыши и наибольшие проигрыши, повторение которых имеет достаточно небольшую вероятность. Таким образом, среднее арифметическое может быть занижено или увеличено, в отличие от реально средней сделки. Для устранения этого вводится понятие средне геометрической сделки и математического ожидания.

Геометрическое математическое ожидание = $F*(среднее геометрическое HPR – 1)

 

Средне геометрическая сделка:

                                         _N

G = TWR^1/T = ( ∏ HPR_i)^1/T

                                    ⁱ⁼¹                 

( ∏ HPR_i)^1/T = exp ((∑ ln (HPR_i))/T)

 

Согласно закону больших чисел  в слабой форме или Центральной  предельной теоремы применительно  к сумме независимых переменных (то есть к числителю данной формулы), если максимизировать среднее геометрическое по всем периодам владения на достаточно большой выборке данных, то почти наверняка получим большой конечный капитал.

Под оптимальностью здесь понимается то, что оптимальное количество даёт наибольший геометрический рост с увеличением количества испытаний.

Кроме того, для доказательства оптимальности  F можно воспользоваться теоремой Ролля. Теорема Ролля утверждает, что если некая функция пересекает линию (см. рис.2), параллельную оси Х в двух точках а и b, и функция непрерывна на [ a,b ], то на этом интервале существует, по крайней мере, одна точка, в которой первая производная обращается в ноль. ( В действительности при F =  0  также и TWR = 0. Поэтому нельзя сказать, функция капитала пересекает ноль снизу вверх. Вместо этого можно утверждать, что при значении F, которое бесконечно близко к нулю, TWR пересекает линию, расположенную над осью Х и бесконечно близкую к ней. Аналогичным образом характеризуется и правая точка пересечения.)

Все функции с положительным  арифметическим математическим ожиданием  пересекают ось Х дважды ( в качестве оси Х выступает ось F) – при F = 0 и в той точке справа, где F даёт такие расчётные HPR, что их дисперсия превосходит среднее арифметическое HPR минус один. Эти две точки будут определять интервал [a,b] на оси Х. Далее первая производная фундаментального уравнения торговли (т.е. оценочного TWR) будет непрерывна для всех F внутри данного интервала, поскольку F даёт такие средние и дисперсии HPR внутри интервала, которые дифференцируемы на нём. Следовательно, оценочное TWR как функция от F непрерывна внутри интервала. Значит, согласно теореме Ролля, на этом интервале должен быть, по крайней мере, один относительный экстремум. Поскольку на этом интервале оценочное  TWR положительно, то есть расположено над осью Х, на отрезке должен содержаться, по крайней мере, один максимум.

Фактически на этом интервале может  быть лишь один максимум, так как  изменение среднего геометрического  HPR (среднее геометрическое HPR является корнем степени T из функции роста), согласно теореме Пифагора, напрямую зависит от среднеарифметического HPR и дисперсии, которые при изменениях F изменяются в противоположных направлениях. Этим гарантируется единственность вершины. Таким образом, на данном отрезке может быть только максимум, и он может быть только один.

Допустим, совершено только 2 сделки. Тогда

 

dTWR/dF  = ((1+F*(-L₁/ L₀))*( -L₂/ L₀)) + ((1+F*(-L₂/ L₀))*( -L₁/ L₀)) = 0

Пусть выходами сделок будут +2, -1. Подставляя, получим -(1+F*2) + (2(1-F)) = 0. F = 0.25

Так из уравнения  найдена точка  F, где наклон касательной равен нулю. Никакого другого локального экстремума быть не может из-за ограничений, накладываемых теоремой Пифагора. В случае количества сделок большем двух, можно использовать эту формулу, но она сразу же сильно разрастается (представляет собой сумму производных каждого множителя произведения). Но на отрезке F от 0 до 1 экстремум будет один.

dTWR/dТ = (А² – S² )^t/2*ln (А² – S² ), по скольку ln(1) =0, то при том значении F, когда (А² – S² ) = 1, функция достигает вершины – максимумаTWR, зависящего лишь от F. Заметим, что среднеарифметическое и стандартное отклонение не зависит от Т до тех пор, пока они неизменны. Поэтому на большой выборке то F, которое оптимально в смысле максимизации оценочного TWR, всегда будет иметь одно и то же значение, независимо от Т.

Следует обратить внимание на то, что эта вершина не является устойчивой во времени, поэтому её поиск затруднён.

2.4. Поиск оптимального F c помощью среднего геометрического

Как было сказано выше, если перемножать  все прибыли за определённый период (4), то в итоге получится функция  роста (5), или относительный конечный капитал:

                     _{N                    N}

TWR = ∏ HPR =∏ (1+F(-Сделка/ L_o))

                     ^{i=1                  I=1}

 

Алгоритм поиска оптимального F прост: значения от 0,01 до 1 подставляются по очереди в формулу, где сделками  является история данной рыночной системы. Оптимальным будет то значение, которое  доставляет максимум функции роста. Причем, если значение функции роста уменьшилось, то предыдущее значение было оптимальным. Так график функции роста имеет один пик. Вместо функции роста можно использовать среднее геометрическое, которое находится как корень N (общее количество сделок) степени из функции роста. Специально для этого написана программа поиска оптимального F, которая использована в данной работе.  Среднее геометрическое можно использовать для сравнения систем между собой.

После нахождения оптимального  F необходимо провести следующую операцию:

Количество контрактов =  int (сумма счёта/оптимальное F в долларах),

 округление в меньшую сторону,  так как лучше быть левее  на кривой.

Чем точнее выражается размер позиции  в торговых единицах, тем  лучше, тем больше получается при максимизации ожидаемой величины логарифма счёта. Нужно стараться брать единицы как можно меньшей величины

Оптимальное количество торговли несёт  тем больше полезности, чем больше счёт для торговли. Большой размер счёта обеспечивает и большую  прибыль. При большем счёте можно лучше воспользоваться плюсами методики оптимального F, чем при меньшем. В том же примере при наибольшем проигрыше в 20 единиц и оптимальном F = 0.1 , если на счету 400 долларов, то, ставя 1 контракт на каждые 200 долларов, можно выигрывать или проигрывать 50% счёта, пока не создастся возможность для увеличения числа контрактов. Если счёт равен 20000 долларов, то регулировать количество контрактов необходимо при изменении в 1 %.

 

На реальном рынке торгует множество  частных инвесторов, сумма счёта которых допускает возможность торговли не более чем 1-2 контрактами.

 На FOREX минимальный размер контракта составляет 100000 $. Обычно обслуживающие компании предоставляют плечо либо 1:100, либо 1:50. Это значит, что для торговли одним контрактом необходимо иметь счет 1000$ либо 2000$,  что для российского частного инвестора достаточно существенная сумма. Здесь стоит сказать, что чаще всего берётся плечо 1:50, а не 1:100. Это делается для того, чтобы избежать потерь, так как и прибыль и убытки идут без плеча, а по стоимости 1 пункта – 10$. Таким образом, проигрыш в 5 пунктов будет составлять 50 $, что для счета в 1000$ составляет 5%, для счета в 2000$ - 2,5 %. 

 Для начинающих трейдеров  существует также методика оптимального  количества торговли, которая определяет переход от торговли одним контрактом к торговле большим числом контрактов. Она вообще определяет момент перехода к торговле на один контракт большей, чем изначально.