Лекции по "Имитационному моделированию"

                                                                                                          5

      где Т — некоторый момент временя. Величина Т часто называется горизонтом планирования. Чем больше значение критерия (5), тем этот вариант развития системы больше удовлетворяет лицо принимающее решение.

      После формулировки критерия оптимизационная  постановка сводится к следующей математической задаче: найти среди пар , удовлетворяющих соотношениям

                                                  ,                                                               6

                                                  ,                                                                 7

                                                  ,                                                                8

      такую пару , на которой достигается максимальное значение критерия (5).

      Далее поставленная задача решается одним из методов оптимизации. Полученное управление и* (t), 0 <= t<=Т, рекомендуется ЛПР в качестве наиболее подходящего воздействия на исследуемый экономический объект. Подчеркнем еще раз, что для выбора единственного оптимального управления и* (t) необходимо задать единственный критерий типа (5). В некоторых случаях это сделать невозможно. Кроме того, даже в случае единственного критерия задачу оптимизации удается решить далёко не всегда: модель может оказаться чересчур большой или чересчур сложной для современных методов оптимизации.

10. Метод вариантных расчетов

 

      В последнее время для анализа  экономико-математических моделей стал широко использоваться имитационный подход, на основе которого удается преодолеть некоторые из трудностей, связанных с использованием оптимизационного подхода. В имитационном подходе, вообще говоря, не требуется заранее задавать критерий развития изучаемого объекта. Вместо него задается управление — либо в виде функции времени и {t), либо в виде функции состояния системы и (х). Подставляя эти заранее сформулированные функции в систему дифференциальных уравнений (6) с начальными данными (8), можно построить траекторию системы. Если при этом не нарушается ограничение (7), то управление и (t) (или и (х)) является допустимым. Сформулировав заранее некоторое число вариантов управления, можно построить траекторию системы для каждого из вариантов и представить результаты развития системы Заказчику, чтобы он сам выбрал наиболее подходящий ему вариант управления системой. В этом подходе вместо проблемы формулировки единственного критерия возникает проблема выбора вариантов управления, которые будут изучаться в исследовании. Подчеркнём, что имитация свелась к вариантным расчетам в случае уже сформулированной модели (6) — (8). В действительности же имитация, понимаемая как эксперимент с математической моделью, проводимый на основе ЭВМ, является новым мощным методом анализа экономических (и не только экономических) проблем.

11. Метод множества достижимости

 

      В последнее время появился еще  один подход, предназначенный для  оценки возможностей системы в целом, при всех допустимых управлениях  — подход на основе множеств достижимости. Множеством достижимости Г (Т) для системы (6) — (8) называется множество всех таких состояний х, в которые систему (6) — (8) можно привести при помощи допустимого управления из точки х₀ за время Т. Изучая множество Г (Т), заказчик может выбрать наиболее удовлетворяющий его конечный результат развития системы.

      До  сих пор мы говорили об основных методах исследования систем типа (6) — (8), т. е. систем без случайных возмущений и неопределенностей. В таких моделях управление однозначно определяло траекторию системы. Если же мы будем учитывать случайные возмущения , то траектория будет зависеть от того, какие конкретные значения случайных величин реализовались. Если удастся сформулировать критерий развития системы, то его значение будет случайной величиной, распределение которой будет зависеть от управления. Методы исследования таких моделей бывают теоретическими (когда пытаются построить распределение некоторых показателей данной модели), оптимизационными (когда пытаются найти управление, приводящее к максимуму, скажем, математического ожидания критерия), и имитационными, причем в данном случае задаются не только варианты управления системой, но и варианты реализации случайных воздействий .

      Задачи  с неопределенными  воздействиями  используются в задачах планирования производственных систем пока в незначительной степени.

12. Понятие имитационного эксперимента

 

      Экономико-математические модели и методы их исследования имеют две характерные общие черты:

      1) можно было математически сформулировать некоторый критерий, на основе которого предполагалось оценивать качество принимаемых экономических решений о воздействиях на изучаемую систему;

      2) изучаемые системы  были достаточно  просты для того, чтобы эту задачу  можно было решить с помощью какого-либо метода оптимизации (аналитического или численного, т. е. использующего ЭВМ).

      Часто вопрос о выборе решении оказывается  настолько сложным, что необходим  неформальный, с участием эксперта, анализ последствий каждого из вариантов принимаемого решения. В этом случае прибегают к методам исследования, которые принято называть имитационными.

      Под имитацией принято  понимать изучение объектов исследования путем проведения экспериментов с реализованными на ЭВМ математическими моделями этих объектов.

      Подчеркнем, что главная особенность  имитационного исследования состоит в том, что в этом исследовании проводятся эксперименты, но только не с объектом, а с его математической моделью. Такое представление об имитации появилось в 60-х годах нашего столетия. Имитационные исследования используются для анализа сложных систем в таких непохожих областях науки, как исследование ядерных реакторов и изучение психологии человека, моделирование боевых действий и анализ биологических систем в природе и т. д. Особенно важное место имитационные исследования занимают в анализе экономических процессов. В экономических исследованиях имитация используется в широком диапазоне задач, от отдельных вопросов массового обслуживания и оперативного планирования производства до изучения перспектив развития экономики нашей планеты в целом.

      В имитационном эксперименте законы производства описываются в виде соотношении экономико-математической модели. Далее, как и в натурном эксперименте, задаются внешние воздействия, после чего модель «развивается», функционирует по своим законам, реализованным в виде программы для вычислительной машины. Далее исследователь, опять же с помощью ЭВМ, регистрирует результаты воздействия на модель. В таком «человеко-машинном» - диалоговом режиме работы, исследователь получает результаты различных внешних воздействий на модель. При этом осуществляется настоящий эксперимент, отличающийся от обычного лишь тем, что он проводится с моделью изучаемого объекта, а не с самим объектом.

      В кибернетических системах, описываемых дифференциальными уравнениями при отсутствии случайных и неопределенных воздействий имитационные эксперименты с моделями подобного типа сводятся к вариантным просчетам. Если же есть случайные воздействия, то при имитации их заменяют последовательностью величин, которые в целом могут интерпретироваться как реализация случайного воздействия, распределение которого сформулировано при построении модели.

      Если  же есть неопределенные воздействия, то исследование часто проводят в виде имитационной игры, в которой сразу несколько «игроков» воздействуют на изучаемую модель в диалоговом режиме.

      Итак, имитационные эксперименты — это исследования математических моделей, которые принимают форму эксперимента и осуществляются с помощью вычислительных машин. Имитационные эксперименты позволяют анализировать такие объекты, которые по тем или иным причинам не могут быть исследованы другими путями.  

13. Натурний та модельний експеримент 

      Для лучшего понимания различия между  натурным и имитационным экспериментами приведем схемы этих экспериментов.

      

      Рисунок 1-Схема натурного эксперимента 

        Схема натурного  эксперимента представлена  на рис. 1. Здесь  Э — экспериментатор, СЭ — средства эксперимента, О — изучаемый объект, Т — теоретические представления об объекте. Экспериментатор воздействует на средства эксперимента, которые в свою очередь воздействуют на объект и сами подвергаются воздействию объекта. Изменения в средствах эксперимента наблюдаются экспериментатором, причем экспериментатор истолковывает их в соответствии со своими теоретическими представлениями об объекте. Результаты эксперимента позволяют развить теоретические представления об объекте, в том числе выбрать наиболее подходящие воздействия на управляемый объект.

      Модельный эксперимент (и имитационный в том числе) имеет более сложную структуру (2). Новыми обозначениями здесь являются: МО — модель объекта, ТО — теоретические представления об объекте, ТМ — теоретические представления о модели.

      

      Рисунок 2-Модельный эксперимент 

 

      Экспериментатор строит модель объекта  в соответствии с  теоретическими представлениями об объекте. Этот переход от объекта к его модели (часто называемый собственно моделированием) является важнейшим этапом любого модельного эксперимента и осуществляется при помощи теории объекта и теории моделей данного объекта (если последняя уже существует). Если этот переход обоснован достаточно надежно (теория объекта и методы его моделирования развиты достаточно хорошо), то можно выбрать подходящую модель для осуществления исследования. Далее модельный эксперимент проходит в пределах, ограниченных на рис.2 штриховой линией, т. е. по структуре не отличается от натурного эксперимента. Здесь возникают те же проблемы, что и в натурном эксперименте: необходимость выбирать и комбинировать внешние воздействия так, чтобы осуществить цель исследования с наименьшими затратами (планирование эксперимента), необходимость делать обоснованные выводы на основе результатов (обработка результатов эксперимента). По окончании модельного эксперимента полученные в исследовании результаты переносят на моделировавшийся объект.

      Таким образом, главное  отличие модельных  экспериментов от натурных состоит в переходе от изучаемого объекта к его модели, а затем — от модели к изучаемому объекту. На этом, с одной стороны, основаны преимуществ модельного исследования; с другой стороны, это создает дополнительные трудности.

14. Основные этапы прикладного имитационного эксперимента

 

      Рассмотрим основные этапы исследования экономических процессов с позиций имитационного экспериментатор.

      Первый  этап любого исследования - формулировка проблемы. В имитационном исследовании этот этап имеет свои особенности, связанные с тем, что прикладное имитационное исследование проводится для решения достаточно сложных проблем, так что взаимодействие математика с заказчиком имеет особенно важное значение. Заказчик может существенно помочь не только в формализации цели исследования, но и в оценке роли различных факторов.

      Таким образом, на первом этапе  прикладного имитационного исследования в результате интенсивного взаимодействия с заказчиком должны быть решены следующие вопросы:

      1) должна быть сформулирована  цель исследования;

      2) должно быть осуществлено  концептуальное описание  модели;

      3)должен  быть решен вопрос  о возможности проведения прикладного имитационного исследования.

      Второй  этап - построения модели. В имитационном эксперименте, кроме обычных  для модельного исследования формулировки модели и оценки ее параметров, важную роль играют выбор языка программирования на ЭВМ, создание специальных машинных средств, необходимых для проведения имитационного исследования, а также проверка модели.

      Этот  этап распадается  на три подэтапа:

      1) построение математической  модели изучаемого  объекта на основе  концептуальной модели;

            2) построение программы для ЭВМ на основе математической модели:

            3) проверка реализованной  на ЭВМ модели.

      Третий  этап имитационного  исследования - проведении самого эксперимента. Возникают вопросы, связанные с рациональным выбором вариантов  внешнего воздействия на модель (планирование эксперимента) с таким расчетом, чтобы можно было получить интересующие исследователя результаты (анализ результатов эксперимента) с наименьшими затратами.