F-критерий служит для проверки гипотезы о равенстве дисперсий Dx и Dy при условии, что х и у распределены нормально.

      Гипотезы  такого рода имеют большое значение в технике, так как дисперсия  есть мера таких характеристик, как  погрешности измерительных приборов, точность технологических процессов, точность наведения при стрельбе и так далее.

      В качестве контрольной величины используется отношение дисперсий F=Dx /Dy  (или Dy/Dx — большая дисперсия должна быть в числителе).

      Величина  F подчиняется F-распределению (Фишера) с (m₁, m₂) степенями свободы (m₁=n₁-1, m₂=n₂ - 1). Проверка гипотезы состоит в следующем.

      Для величины и величин m₁, m₂ по таблице F-распределения выбирают значения . Если f, вычисленное по выборке, больше этого критического значения, гипотеза должна быть отклонена с вероятностью ошибки а.

      Критерии  согласия - это критерии, с помощью которых проверяют, удовлетворяет ли рассматриваемая СВ данному закону распределения.

      Критерий  согласия Пирсона ( ) служит для проверки гипотезы Но о том, что F_у(у) = F₀(у), где F_у (у) - истинное распределение СВ у; F₀(y) - гипотетическое распределение.

      Проверка  производится следующим  образом.

      1) Область значений  СВ у разбивается  (произвольно) на k непересекающихся  множеств («классов»).

      2) В результате п  опытов формируется выборка (у₁,...у_n).

      3) Вычисляется контрольная  величина 

      

      где М² _i - число значение у, попавших в i-й класс,

      p_i -теоретическая вероятность (для F₀(y)) попадания значения у в i-й класс. 4)По таблице - распределений находят критическое значение для

      уровня  значимости а и  т = k - 1 степеней свободы. Если  , то гипотеза отвергается.

      Критерий  Колмогорова - Смирнова. При использовании  данного критерия имеющуюся выборку (у₁,...у_n).упорядочивают по возрастанию и строят следующую эмпирическую функцию распределения: 

      

                                                       

                                    

                                                 

      Контрольной величиной является

      

      Гипотеза  Н₀: F_у (у) = F₀(y) отвергается, если вероятность попадания соответствующего критерия в критическую область оказывается меньше выбранного исследователем уровня значимости а.

      Критическое значение критерия, как и в предыдущих случаях, находится по таблице.

      Разумеется, проведение вручную расчетов, необходимых  для проверки статистических гипотез, требует значительных затрат времени и сил. Поэтому многие современные математические пакеты имеют в своем составе средства, позволяющие свести к минимуму число операций, выполняемых пользователем вручную.

 

       План лекции №8

      1    44. Оценка влияния и взаимосвязи  факторов

      2    45. Однофакторный дисперсионный  анализ

      3    46. Многофакторный дисперсионный  анялмз(МДА)

      4    47. Корреляционный анализ

      5    48. Простой корреляционный анализ

      6    49. Регрессионный анализ

44. Оценка влияния и взаимосвязи факторов

 

      Количественная оценка степени влияния того или иного фактора на значения наблюдаемой переменной (показателя эффективности) вызывает значительную сложность, особенно при наличии взаимного влияния факторов.

      Наиболее простой и доступный способ решения этой проблемы состоит в использовании результатов оценки чувствительности модели. Однако эти результаты сложно представить в форме аналитической зависимости. Хотя оно было бы полезным для многих практических задач, связанных как с разработкой моделей, так и непосредственно с принятием решений по экспериментальным данным.

      Поиск аналитических зависимостей, связывающих  между собой различные параметры, фигурирующие в модели, может быть основано на совместном использовании группы методов математической статистики: дисперсионного, корреляционного и регрессионного анализа. Эти методы широко освещены в учебной, научной и справочной литературе.

      Наша  задача показать роль и место этих методов при анализе данных, полученных в ходе имитационного эксперимента и их применение при описании технологии анализа результатов моделирования средствами пакета MATLAB.

45. Однофакторный дисперсионный анализ

 

      Его суть сводится к определению  влияния на результат  моделирования одного выбранного фактора.

      Пусть, например, исследователя интересует средняя интенсивность отказов компьютера, и в созданной им модели учтены следующие факторы: интенсивность поступления заданий пользователей, интенсивность обращений в оперативную память, временные характеристики решаемых задач и интенсивность обращений к жесткому диску. Если предварительные данные говорят о том, что основной причиной отказов является ненадежная работа жесткого диска, то в качестве анализируемого фактора целесообразно выбрать интенсивность обращений к нему. Задача факторного анализа в данном случае состоит в том, чтобы оценить влияние указанного фактора на среднее число отказов.

      Формально постановка задачи однофакторного дисперсионного анализа состоит в следующем. Пусть интересующий нас фактор х имеет l уровней. Для каждого из них получена выборка значений наблюдаемой переменной у: у_j(1), у_j(2),...y_j(l), j=1,...,n, n - объем выборки (число наблюдений).

      Необходимо  проверить гипотезу Н₀ о равенстве средних значений выборок (т.е. о независимости значений у от значений исследуемого фактора х). Уравнение однофакторного дисперсионного анализа имеет вид:

      

      где - j-e значение у в i-й серии опытов,

             m - генеральное среднее случайной величины у (т. е. среднее значение наблюдаемой переменной, обусловленное ее «сущностью»),

             - неизвестный параметр, отражающий влияние фактора х («эффект» i-го значения фактора х),

                       - ошибка измерения у.

      Для проверки гипотезы Н₀ используют F-критерий и переходят от проверки значимости различий средних к проверке значимости различий двух дисперсий:

      • генеральной (обусловленной погрешностями  измерений) — D₀;

      • факторной (обусловленной изменением фактора х) — Dx.

      Значение F-критерия вычисляется как отношение  Dx/Do или Do/Dx (в числителе должна стоять большая из дисперсий); затем по по таблице F - распределений находят его критическое значение F_кр для заданного уровня значимости и числа степеней свободы .

      Если  F>Fкр, то гипотезу Н₀ отвергают, т. е. различия являются значимыми (фактор х влияет на значения у). 

46. Многофакторный дисперсионный анялмз(МДА) 

      Он  позволяет оценивать влияние на наблюдаемую переменную уже не одного, а произвольного числа факторов. Точнее, МДА позволяет выбрать из группы факторов, участвующих в эксперименте, те, которые действительно влияют на его результат.

      Методику  проведения многофакторного дисперсионного анализа рассмотрим применительно  к частичному факторному эксперименту, проводимому в соответствии с латинским планом.

      Пусть в эксперименте рассматриваются  один первичный фактор и два вторичных, каждый из которых имеет п уровней (т. е. объем испытаний равен N= n²).

      Обозначим через  результат эксперимента при условии, что фактор а находился на уровне i, фактор b - на уровне j, фактор c - на уровне k. Множество значений, которые может принимать упорядоченная тройка (i,j,k), обозначим через L.

      В этом случае уравнение дисперсионного анализа выглядит следующим образом:

      

      где т - генеральное среднее случайной величины у,

       -неизвестные параметры («эффекты»  соответствующих факторов).

      Решение задачи дисперсионного анализа заключается  в проверке гипотез о независимости результатов измерений от факторов а, b, с:

      

      Для этого по методу наименьших квадратов (МНК) находят оценки параметров минимизируя по указанным переменным (поочередно) функцию:

      

      Затем по каждому фактору вычисляется F-статистика. Величина F есть мера потерь при принятии гипотезы Н₀. Чем больше F, тем хуже модель, отвергающая влияние соответствующего фактора. Таким образом, если вычисленное значение F больше Fкр, найденного по таблице для некоторого уровня значимости, то гипотеза отвергается.

      Необходимо  отметить, что дисперсионный анализ может использоваться для оценки влияния факторов, имеющих как  количественный характер, так и качественный, поскольку в уравнении дисперсионного анализа фигурируют не сами факторы, а только их «эффекты».

      Когда все факторы носят количественный характер, взаимосвязь между ними и наблюдаемой переменной может быть описана с помощью уравнения регрессии.

47. Корреляционный анализ

 

      Это два близких метода, которые обычно используются совместно для исследования взаимосвязи между двумя или более непрерывными переменными.

      Методы корреляционного анализа позволяют делать статистические выводы о степени зависимости между переменными.

      Величина  линейной зависимости между двумя  переменными измеряется посредством простого коэффициента корреляции, величина зависимости от нескольких — посредством множественного коэффициента корреляции.

      В корреляционном анализе используется также понятие частного коэффициента корреляции, который измеряет линейную взаимосвязь между двумя переменными без учета влияния других переменных.

      Если  корреляционный анализ позволил установить наличие линейной зависимости наблюдаемой переменной от одной или более независимых, то форма зависимости может быть уточнена методами регрессионного анализа.

      Для этого строится так называемое уравнение регрессии, которое связывает зависимую переменную с независимыми и содержит неизвестные параметры. Если уравнение линейно относительно параметров (но необязательно линейно относительно независимых переменных), то говорят о линейной регрессии, в противном случае регрессия нелинейная.

48. Простой корреляционный анализ

 

      Рассмотрим простой корреляционный анализ, т. е. метод определения взаимосвязи между двумя переменными.

      Обозначим их х и у. Независимо от способа получения выборки имеются два предварительных шага для определения существования и степени линейной зависимости между х и у. Первый шаг заключается в графическом отображении точек на плоскости, — т. е. в построении диаграммы рассеяния.