Исследование систем управления

Последний этап работы над тестом разработка инструкций или пакета инструкций.

В управлении при помощи тестирования можно исследовать проблемы использования ресурсов, уровень квалификации персонала, распределение функции управления, стиль управления, сочетание формального и неформального управления. Тестовые методики могут помочь в: 

- Отборе кандидата при  приеме на работу.

- Определении соответствий  нужности.

- В оценке эффективности  труда

-Формирование списка  сотрудников для кадрового резерва

- В выявлении лидерских  и профессиональных качеств 

 

Математические методы применяемые для ИСУ.

  Прогнозирование это  специальные научные исследования  конкретных перспектив, какого либо  явления. Прогнозирование находится  во взаимосвязи с планированием, проектированием, управлением. Прогноз – это предсказание, основанное на научных данных. Выделяют краткосрочное прогнозирование 1, 2 года, среднесрочное предсказание 5,10 лет, долгосрочное 15,20 лет. Сверхдолгосрочное 50, 100 лет. При прогнозировании можно использовать такие методы:

А) экстраполяция

Б) моделирование

В) опрос экспертов

Прогнозы необходимы в финансировании, маркетинге, подборе персонала. Для менеджера, работающего в условиях неопределенности, выделяют типы прогнозов:

 1 тип: долгосрочные и краткосрочные используются для разработки прогнозов (применяются менеджерами среднего звена). Долгосрочные прогнозы разрабатываются менеджерами высшего звена. Количественного (математические) и качественного (экспертные) звена.

Разновидности прогнозов:

365. экономические прогнозы
366. технологические прогнозы
367. прогнозы развития конкуренции
368. прогнозы развития в социальной сфере

 

Этапы прогнозирования:

369. сбор данных
370. редукция или уплотнение данных
371. построение модели и ее оценка
372. экстраполяция выбранной модели
373. оценка полученного прогноза

   Для того чтобы  эффективно осуществлять процесс  прогнозирования, необходимо найти  ответы на ключевые вопросы.

1.вопрос: почему необходим  прогноз

374. вопрос: кто будет использовать прогноз
375. вопрос: каковы будут временные рамки прогноза
376. вопрос: какая есть информация и достаточно ли ее для получения прогноза
377. вопрос: во что обойдется выполнение прогноза
378. вопрос: какова ожидаемая точность прогноза
379. вопрос: будет ли прогноз сделан вовремя для того, чтобы предприятие могло принять верные решения
380. вопрос: можно ли будет внести уточнения в процесс прогнозирования

 

Место прогнозирования в системе государственного регулирования экономики.

Прогнозирование – это основная часть государственного регулирования экономики. Позволяет выделить основные проблемы и определить направление развития страны. Разработка экономических прогнозов   важная часть управления социально – экономическими процессами.

Выделяют частные прогнозы: демографическая ситуация, прогнозы основных факторов производства, труда, капитала, и так далее.

Выделяют комплексные экономические прогнозы: касается будущего развития экономики всей страны. Прогнозирование выполняет три основные функции государственного регулирования рыночной экономики:

  А) предвиденье возможных  сдвигов, колебаний, социально – экономического развития страны

 Б) рассмотрение возможных  последствий от принимаемых решений

  В) своевременное внесение  корректив (вплоть до отмены решений)

Рассмотрим конкретный пример применения мат прогнозирования для оценки экономических показателей.

Задача:

Пусть имеются следующие данные об обьемах продаж торгующей организации в 2011 году в млн рублей:

Январь 0,25

Февраль 1,14

Март 1,17

Апрель 1,20

Май 1,25

Июнь 1,00

Июль 0,99

Август   1,04

Сентябрь 1,06

Октябрь 1,10

Ноябрь 1,20

Декабрь 1,35

Когда средствами мат прогнозирования можно:

381. для ряда динамики выяснить факт наличия и отсутствия не случайной составляющей (проверку можно произвести тремя способамиJ
1. с помощью проверки гипотезы о неизменности среднего значения уровня динамики
2. используя критерий восходящих и нисходящий серий
3. применяя критерий Аббы с соответствующей доверительной вероятностью

 

382. построить модель функции «Тренда» найти параметры линейной, параболической, степенной, и показательной функции и представить полученные результаты в виде графика
383. для каждого показателя Х найти индексы сезонности, построить график
384. с заданной вероятностью проверить гипотезу о статистической значимости эмпирических данных
385. с помощью величины общие ошибки аппроксимации, отобрать наиболее точную модель не случайной составляющей
386. спрогнозировать значение показателей Х I на январь/февраль/март следующего года.
387. Построить модель не случайной составляющей f(t) в виде увранения Фурье (число гармоник: 1, 2, 3) а так же оценить точность модели и построить график.
388. Используя результаты пункта 7 спрогнозировать значение показателей ХI на январь/февраль/март следующего года

 

 

1. создадим вариационный ряд:

3. Индекс сезонности находится  по формуле: Is=Xs/х с чертой: это аналитический показатель рядом динамики характеризующий сезонные колебания

4. Если эмпирические данные значимы, то построенная по ним модель будет точна, и прогнозы будут точные. В качестве критерия проверки гипотезы о статистической существенности спад данных рассмотрим Т-критерий Стьюдента. Суть в том, если расчетное значение критерия Т_наблюдаемого больше Т_критического, то тогда будет наблюдаться статистическая значимость.

5. Для выбора наиболее  точной модели рассчитываем 

6. Берем ту модель, которая  была выбрана в пункте 5 наиболее  точно

Для января

t=13

s=1

I1=1

 

Февраль:

t=14

s=2

I1=2

 

 

Март

t=14

s=4

I1=4

 

 

8пункт: для прогноза величины  объема продаж с помощью уравнения

 

Вставить фото 

 

ВСТАВИТЬ ПРОПУЩЕННУЮ ЛЕКЦИЮ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

На  графе можно не отмечать вероятность перехода системы из состояния перехода системы в него же само. При рассмотрении конкретных систем сначало удобно строить граф состояний, а затем определять вероятность перехода системы из одного состояния в тоже самое (исходя из равенства суммы вероятности 1), а затем составлять матрицу перехода в систему. Рассмотрим задачу, вычисления вероятности перехода из состояния Si в состояние Sj не за один переход, а за М. Пусть искомая вероятность будет обозначена Рj сверху m. Матрица вероятности: Р(m)

Тогда процесс перехода за М шагов может быть представлен в виде следующих этапов: сначало переход за К шагов , а затем оставшиеся m-k шагов. Например вероятность перехода по пути

Si-S1-Sj

Рj1(k) *P1j(m-k)+ P2(n)* P2j(m-n)+

 

Si-S2-Sj

Рj2(k) *P2j(m-k)

Тогда искомая вероятность рассчитывается по формуле

Pij(m)=Pi1(n)* Pij(m-n)+ Pi1(n)* Pij(m-n

При М=2 К=1, то Р2=    Р1=Р*Р=Р2

ПРИМЕР:

 Задана матрица переходов:

Р(1)=Р= (0,1  0,9)

                (0,3  0,7)

Р(3)=Р3

 

(0,1  0,9)     (0,1  0,9)      = (0,28  0,72)

(0,3  0,7)    (0,3   0,7)         (0,24   0,76)

 

 

(0,244  0,756 )    

(0,252  0,748 )

Матрицы, суммы элементов которых равны 1 называются стохастическими. Еслми при некотором N все элементы матрицы Р(n) не равны нулю, то такая матрица называется регулярной, тогда и цепь маркова будет тоже регулярной. Регулярная матрица задает цепь, в которой каждое состояние может быть достигнуто через N шагов из любого состояния.

 

Теорема ( о предельных вероятностях)

Пусть дана регулярная цепь Маркова с N состояния и Р матрица состояния перехода. Тогда существует предел:

Lm Р(n) = Р (бесконечность)

n->бесконечности

Р бесконечность= (Р1…Р2…..Рn)

                        (Р1…Р2…..Рn)

                        (Р1…Р2…..Рn)

Для определения вероятностей  Р1, Р2, Рn порльзуемся формулами:

РТ*Т=Т               Т*(Р-Е)=0

Ерi=1                  Еpi=1

 

Р= (0,1 0,9)

      (0,3 0,7)

1 способ:  Рт= (0,1  0,3)

                             (0,9  0,7)

Р с чертой=(Р1)

                      (Р2)

(0,1  0,3) (Р1) = (Р1)

(0,9  0,7) (Р2)=(Р2)

 

 

0,1 р1 +0,3р2=р1

0,9 р1+0,7р2=р2

Р1+р2=1

 

0,3р2=0,9р1               р2=3р1

0,9р1=0,3рх               р1+3р1=1

Р1+р2=1                      4р1=1

                                      Р1=1/4

                                      Р2=3/4

 

2 способ:

Р= (0,1 0,9)

     (0,3  0,7)

 

(р1  р2)  (0,1 0,9)  - (10)

(р1  Р2)  (0,3 0,7)  - (01)

 

(р1р2) (-0,9  0,9)

              (0,3-0,3) = (оо)

-0,9р1 + 0,3р2=0

0,9р1+0,3р2=0

Р1+р2=1

Имееется система Sпредприятия выпускающего продукт потребления. Будем считать, что система находится в состоянии S1 если предмет пользуется спросом и состоянием S2 в противном случае. Еслми система находится в состоянии S1, то с вероятностью 0,5 она окажетя в этом состоянии к концу недели. С вероятностью 0,5 она может перейти в состояние S2.  Если же система находится в состоянии S2 то выпускается новый продукт потребления, и с вероятностью 0,4 система может вернутся в состояние S1. А с вероятностью 0,6 может остаться в состоянии S2. Тогда матрица вероятности имеет вид:

Р= (0,5 0,5)

      (0,4 0,6)

0,5

               S10,5  0,5 S2                    0,6 

Если начальный вектор Р с чертой(0)=(1   0), то состояние системы через неделю будет характеризоваться вектором: Р с чертой (1)=(  1   0)  * (0,5  0,5)

                                                                                                                                  (0,4  0,6)

= (0,5    0,5)

Через две недели:

Р с чертой (2)= (0,5  0,5) * (0,5  0,5)

                                                 (0,4  0,6)= 0,45 и 0,55

Найдем предельные вероятности:

Рт=(0,5  0,4)

      (0,5  0,6)

 

(0,5  0,4) (Р1)      (Р1)

(0,5  0,6)  (Р2)= (Р2)

 

0,5р1+0,4р2=р1

0,5р1+0,6р2=р2

Р1+р2=1

 

0,4 р2=0,5р1

0,5р1=0,4р2

Р1+р2=1

 

5р1=4р2

Р1+р2=1

Р1=4Р2/5

4р2/5 +р2=1

4р2/5 +5р2=5

9р2=5

Р2=5/9

Р1= 4/8*5/9=4/9

 

 По подсчетам выходит, что  система приближенно 44,4 % времени выпускает качественную пользующуюся спросом продукцию.

Марковский процесс с дискретными состояниями называют гибелью /размножением, если, если графовое состояние можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из промежуточных состояний связано прямой и обратной связью с каждым соседним состоянием, существует возможность перехода из предыдущего состояния в последующее и обратно, но невозможен перескок через состояние.

S1       S2         Sn-1         Sn

Марковские процессы с доходами.

Рассмотрим эргодический Марковский процесс с конечным множественным состояний S1 S2 Sn. Каждому переходу из состояния  в Si Sj поставим соответствие некоторое число Rij которое назовем доходом за один переход из состояния в Si к Sj. Суммарный доход будет случайной величиной зависящей от распределения вероятностей Марковского процесса. Рассчитаем общую величину дохода получаемого в  результате совершения системой М переходов. Пусть Vi(m)средний доход, получаемый после совершения системой М переходов, если процесс начался из состояния Si. Тогда доход за М переходов может быть получен как доход за первый переход + доход за оставшийся М-1 переход. Доход за один переход системы из состояния Si обозначим Qi. Тогда запишем формулу:

Qi=Epij*rij

Ожидаемый доход на оставшиеся М-1 переходов зависит от того, в каком состоянии оказалась система после 1 шага. Пусть это будет cостояние с индексом Мj. Средний доход: Vi=(m-1)

Так как система из Si могла попасть в Sj с вероятностью Рij, ТО СРЕДНИЙ ДОХОД БУДЕТ РАВЕН: Ерij*Vi(m-1), тогда полный доход Vi(m)= EpijVi(m-1).

Или Vi(m)=q1+EpijVj(m-1)

Данные равенства можно записать в векторном виде:

V(m)=q+P*V(m-1)

Данная формула является рекулентной.

 

Учитывая эргодичность Марковского процесса ожидаемый доход Vi(m) при больших М можно вычислить по формуле: Vi(m)=mg+vi

Или векторной форме: V(m)=mg+V

G=Epi*qi

«G»  – это средний ожидаемый доход за один переход если система осуществляет достаточно большое число переходов.

 

ПРИМЕР:

Пусть в примере с предприятием добавлена матрица, элементы которой определяют величину дохода за переход из одного состояния в другое.

R=(9 3)

     (3 -7)

Создадим таблицу:

Vim   m	0	1	2	3	4                5
V1(m)	0	6	7,5	8,55	9,555   10,555
V2(m)	0	-3	-2,4	-1,44	9,444  0,556

1)

M=1

Q i= (Pij*Rj)

Q1= 9*0,5+3*0,5 = 6.

Q2=3*0,4-7*0,6 = -3

Вектор 6 и -3

Это наш доход в первом случае!

 

2)

V(m)=q+P*V(m-1)

(6 ) + (0,5  0,5) * (6)

(-3)  + (0,4 0,6) * (-3) = (6 ) + (1,5)

                                          (-3) +(0,6)  =

= (7,5)

   (-2,4)

 

Рассчитаем «J»

P1= 4/9

Р2=5/9

Q 1=    q2=

4/9*6+5/9*(-3)=9/9

Из таблицы и расчета J следует, что если система начинает функционировать из первого состояния, то будет получен дополнительный доход 10 единиц, а каждая последующая неделя эксплуатации обеспечивает 1 единицу дохода.

Управляемые Марковские процессы.

 При планировании работы  предприятия, исходя из достигнутого  состояния, намечается план на  следующий период, причем планирование  осуществляется с учетом имеющихся  в наличии активных средств. Стратегии  это возможные способы использования этих средств. Различным стратегиям будут соответствовать разные вероятности переходов, а также разные доходы. Для стратегии «К»: Pij(K) Rij(K)

Тогда процесс с множеством таких стратегий называется Марковским управляемым процессом. Поставим задачу, для каждого состояния Si указать номер стратегии  di(m) которая будет использоваться на шаге М и обеспечивать максимально средний доход J за один переход. Множество этих стратегий образуют вектор D(m). Очевидно, что оптимальное поведение системы на шаге М+1  возможно тогда, когда шаг М был оптимальным. Тогда верна следующая формула: Vi(m+1)=Maxk (qik + pijk *Vj(m))