Лекции по "Статистике"

• ускорение к постоянной базе:

Темп роста характеризует интенсивность изменения уровня ряда характеризуется отношением текущего уровня к уровню применяемого за базу. В зависимости от того изменится ли это в виде коэффициента или в виде процентов, она называется коэффициентом или темпом роста.

Темпы роста цепной (Т_Р^Ц) и базисный (Т_Р^Б):

; 

Темп прироста показывает относительную скорость изменения уровня ряда. Показывает, на какой % должен увеличиться текущий уровень ряда по сравнению с базисным уровнем.

Темпы прироста цепной (Т_П^Ц) и базисный (Т_П^Б):

Т_П^Ц = Т_Р^Ц - 100 %

Т_П^Б = Т_Р^Б - 100 %

Абсолютное значение 1% прироста = 0,01 части базисного уровня или является отношением абсолютного значения прироста к соответствующему темпу прироста.

Абсолютное значение 1% прироста (A_I):

Пункт прироста (снижения): П_Р^Ц = Т^Ц_РI - Т^Ц_Р(I-1)                 П_Р^Б = Т^Б_РI - Т^Б_Р(I-1)

Коэффициенты опережения (отставания):

              

где Т'_Р, Т"_Р - темпы роста в сравниваемых рядах динамики;

Т'_П, Т"_П - темпы прироста в сравниваемых рядах динамики.

Средние характеристики рядов динамики включают следующие  показатели:

Средний уровень ряда для интервального ряда ( Y ):

где n - число уровней  ряда.

Средний уровень ряда для моментного ряда ( Y_ХР ):

Средний абсолютный прирост:

Средний коэффициент  роста:

          или           

Средний темп роста:

Средний темп прироста:

Средние показатели динамики применяют для характеристики интенсивности  изменения уровней динамики.

Сравнение интенсивности  изменений уровней рядов во времени возможно с помощью коэффициентов опережения (отставания), представляющих собой отношение базисных темпов роста (или прироста) двух рядов динамики за одинаковые отрезки времени:

где       - базисные темпы роста и прироста первого и второго рядов динамики (соответственно).

Коэффициенты  опережения (отставания) могут быть исчислены на основе сравнения средних темпов роста (или прироста) двух динамических рядов за одинаковый период времени:

- средние темпы роста первого и второго рядов динамики соответственно; п — число лет в периоде.

Коэффициент опережения (отставания) показывает, во сколько  раз быстрее растет (отстает) уровень  одного ряда динамики по сравнению с другим. При этом сравнении темпы должны характеризовать тенденцию одного направления.

 

 

Методы  выявления основной тенденции развития уровней рядов динамики. Прогнозирование  уровней динамических рядов в  финансово-экономическом анализе

        

Уровни ряда динамики формируются под совокупным влиянием  множества длительно и кратковременно действующих факторов и, в том  числе, различного рода случайных обстоятельств. Выявление основной закономерности изменения уровней ряда предполагает количественное выражение основной тенденции их изменения, в некоторой мере свободное от случайных воздействий. Выявление основной тенденции развития (тренда) называется в статистике также выравниванием временного ряда, а методы выравнивания основной тенденции – методами выравнивания.

Выравнивание позволяет  характеризовать особенность изменения  во времени данного динамического  ряда в наиболее общем виде как  функцию времени, предполагая, что через время можно выразить влияние всех основных факторов.

         Изучение случайных колебаний значений уровней ряда осуществляется с помощью нахождения «усредненных» значений. Способы устранения случайных факторов делятся на две большие группы:

1. Способы «механического» сглаживания колебаний путем усреднения значений ряда относительно других, расположенных рядом, уровней ряда.
2. Способы «аналитического» выравнивания, т.е. определения сначала функционального выражения тенденции ряда, а затем новых, расчетных значений ряда.

а) Метод усреднения по левой и правой половине. Разделяют ряд динамики на две части, находят для каждой из них среднее арифметическое значение и проводят через полученные точки линию тренда на графике.

б) Метод укрупнения интервалов. Если рассматривать уровни экономических показателей за короткие промежутки времени, то в силу влияния различных факторов, действующих в разных направлениях, в рядах динамики наблюдается снижение и повышение этих уровней. Это мешает видеть основную тенденцию развития изучаемого явления. Поэтому для наглядного представления тренда применяется метод укрупнения интервалов, основанный на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

в) Метод простой скользящей средней. Сглаживание ряда динамики с помощью простой скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда; затем - средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее – начиная с третьего и т. д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий. Отсюда название – скользящая средняя.

         Каждое звено скользящей средней – это средний уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного периода.

        Алгоритм расчета скользящей  средней следующий для каждого  конкретного ряда динамики (y₁, y₂,…, y_n) :

1.Определить интервал  сглаживания или число входящих в него уровней m (m < n). Если при расчете средней учитываются три уровня, скользящая средняя называется трехчленной, пять уровней – пятичленной и т.д. Если сглаживаются мелкие, беспорядочные колебания уровней в ряду динамики, то интервал (число скользящей средней) увеличивают. Если волны следует сохранить, число членов уменьшают.

2.Вычислить среднее  значение уровней, образующих  интервал сглаживания, которое  одновременно является сглаживающим  значением уровня, находящегося  в центре интервала сглаживания, при условии, что m – нечетное число, по одной из формул:

y_t = Σy / m или ŷ = ŷ_t-1 + (y_t+p - y_t-p-1) / m,

где y_i – фактическое значение I-го уровня;

      m – число уровней, входящих в интервал сглаживания (m = 2p+1);

      y_t – текущий уровень ряда динамики;

      i– порядковый номер уровня в интервале сглаживания;

      p– при нечетном m равно: p = (m-1) / 2.

         Определение скользящей средней  по четному числу членов ряда  динамики несколько сложнее, так как средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимися в середине интервала сглаживания.

3.Сдвинуть интервал  сглаживания на одну точку  вправо, потом вычислить сглаженное  значение для t + 1 члена, снова произвести сдвиг и т.д. В результате последовательного применения приведенной итеративной процедуры получится n – (m – 1) новых сглаженных уровней.

         Первые и последние p членов ряда с помощью данного алгоритма сгладить нельзя, так как их значения теряются.

 

4. По ряду динамики, построенному из средних уровней, выявляют общую тенденцию развития явления.

         Метод скользящей средней вполне  приемлем, если графическое изображение ряда динамики напоминает прямую линию. В этом случае не искажается динамика исследуемого явления. Отрицательной стороной использования метода скользящей средней является образование сдвигов в колебаниях уровней ряда, обусловленных «скольжением» интервалов укрупнения. Сглаживание с помощью скользящей средней может привести к появлению «обратных» колебаний, когда выпуклая «волна» заменяется на вогнутую [8,357].

         В последнее время стала рассчитываться  адаптивная скользящая средняя.  Ее отличие в том, что среднее  значение признака, рассчитываемое  так же, как описано выше, относится не к середине ряда, а к последнему промежутку времени в интервале укрупнения. Причем предполагается, что адаптивная средняя зависит от предыдущего уровня в меньшей степени, чем от текущего. То есть, чем больше промежутков времени между уровнем ряда и средним значением, тем меньшее влияние оказывает значение этого уровня ряда на величину средней.

         Вывод: способы, включенные в  первую группу, ввиду применяемых  методик расчета предоставляют исследователю очень упрощенное, неточное, представление о тенденции в ряду динамики. Однако корректное применение этих способов требует от исследователя глубины знаний о динамике различных социально – экономических явлений.

          Более точным способом отображения  тенденции динамического ряда  является аналитическое выравнивание, т.е. выравнивание с помощью аналитических формул. В этом случае динамический ряд выражается в виде функции y(t), в которой в качестве основного фактора принимается время t, и изменения аргумента функции определяют расчетные значения y_t.

         Фактическими (или эмпирическими)  уровнями ряда динамики называют исходные данные об изменении явления, т.е. данные, полученные опытным путем, посредством наблюдения. Они обозначаются y_i.

         Расчетными (или теоретическими) уровнями  ряда называют значения, полученные  в результате подстановки в уравнение тренда значений t.         Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости y_t. На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции y_t, а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию y_t выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

          Чаще всего при выравнивании  используются следующие зависимости:

         Линейная y_t = a₀ + a₁t;

         Параболическая y_t = a₀ + a₁t + a₂t²_;

              Экспоненциальная y_t = exp(a₀ + a₁)

           или y_t = exp(a₀ + a₁t + a₂t²).

1. Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.
2. Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.
3. Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста, цепных коэффициентов роста, цепных коэффициентов или темпов роста и т.д.)

           Рассмотрим аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой, т.е. аналитическое уравнение вида: y_t = a₀ + a₁t, где t – порядковый номер периодов или моментов времени.

          Параметры a₀ и a₁ прямой рассчитываются по методу наименьших квадратов. Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:

Σy_i = a₀n + a₁Σt_i;

Σy_it_i = a₀Σt_i + a₁Σt_i² .

            Поиск параметров уравнения можно  упростить, если отчет времени  производить так, чтобы сумма  показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю (Σt_i = 0). При нечетном числе уровней ряда динамики для получения Σt_i = 0 уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отчета времени (этому периоду или моменту времени придается нулевое значение). Даты времени, стоящие выше этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1, -2, -3 и т.д.), а ниже – натуральными числами со знаком плюс (+1, +2, +3 и т. д.). При этом условии Σt_i будет равна нулю, и система  нормальных уравнений преобразуется следующим образом:

Σt_i = a₀n;

Σy_it = a₁Σt² , откуда a₀ = Σy_i / n = y; a₁ = Σy_it / Σt² [2,241].

  Целью аналитического выравнивания является: