Теория устойчивости. Фазовые портреты

     Теорема 2. Если функции удовлетворяют условиям теоремы 1 и хотя бы один из корней характеристического уравнения (2.9) имеет положительную действительную часть, то точка покоя системы (2.7), (2,8) является неустойчивой. В этом случае, следовательно, также возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

     Теорема 3. Если в (2.7) все равны нулю, т.е. ограничены по t, а характеристический определитель (2.9) имеет простые корни с нулевой действительной частью, т.е. простой нулевой корень или просто чисто мнимые корни, или нулевой корень и просто чисто мнимые корни, а все остальные корни (если они есть) имеют отрицательные действительные части, то точка покоя устойчива, но не асимптотически.

      ПРИМЕР.

     Исследовать на устойчивость нулевое решение  системы. 

Разлагаем в  окрестности (0,0) в ряды 
 

Тогда система  уравнений первого приближения  для заданной системы запишется  в виде 

Составим и  решим характеристическое уравнение:

     ; .

По теореме 1 точка покоя заданной системы асимптотически устойчива.

5. Особые точки системы двух дифференциальных уравнений первого порядка.

Рассмотрим  систему линейных дифференциальных уравнений

(3.1)

     Будем предполагать, что коэффициенты a, b, c, g постоянные, при этом очевидно, что x=0, y=0 есть решение системы (3.1), в чем убеждаемся непосредственной подстановкой. Исследуем вопрос о том, каким условиям должны удовлетворять коэффициенты системы, чтобы решение x=0, y=0 было устойчиво. Это исследование проводится так.

     Дифференцируем  первое уравнение и исключаем  y и на основании уравнений системы: 

     или

     .(3.2)

     Характеристическое  уравнение дифференциального уравнения  имеет вид

     .

     Это уравнение принято записывать в  виде определителя

     . (3.3)

     Обозначим корни характеристического уравнения  (3.3) через . Устойчивость или неустойчивость системы (3.1) определяется характером корней .

     Рассмотрим  все возможные случаи.

1. Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные: .

Из уравнения (3.2) находим .

Зная x, из первого уравнения (3.1) находим y. Таким образом, решение системы имеет вид 

. (3.4)

     Подберем  так, чтобы решения (3.4) удовлетворяли начальным условиям: 

Решение, удовлетворяющее  начальным условиям, будет 

. (3.5)

Из последних  равенств следует, что при любом ε>0 можно выбрать столь малыми, что для всех t>0будет , т.к. .

     Отметим, что в данном случае

     .

     Рассмотрим  плоскость xOy. Для системы дифференциальных уравнений (3.1) и дифференциального уравнения (3.2) эта плоскость называется фазовой плоскостью. Решения (3.4) и (3.5) системы будем рассматривать как параметрические уравнения некоторой кривой на фазовой плоскости xOy:

     , (3.6)

     . (3.7)

Эти кривые являются интегральными кривыми или траекториями дифференциального уравнения

, (3.8)

которое получается из системы (3.1) путем деления друг на друга правых и левых частей.

     Начало  координат О(0;0) является особой точкой дифференциального уравнения (3.8), так как эта точка не принадлежит к области существования и единственности решения.

     Характер  решений (3.5) и вообще решений системы (3.1) наглядно иллюстрируется расположением интегральных кривых

      (3.9)

образующих общий  интеграл дифференциального уравнения. Постоянная C определяется из начального условия . После подстановки значения C получаем уравнение семейства в форме

(3.10)

В случае решений  (3.5) особая точка называется устойчивым узлом. Говорят, что точка, двигаясь по траектории, неограниченно приближается к особой точке при . Другими словами, если точку в начальный момент времени «вытолкнуть» сколь угодно далеко из состояния покоя О(0;0), то она неминуемо вернется обратно.

     Отметим, что характер поведения траекторий уравнения (3.9) вблизи начала координат при произвольных коэффициентах такой же, какой будет рассмотрен в примерах.

      ПРИМЕР.

     Исследовать устойчивость решения системы уравнений

     

     Характеристическое  уравнение будет

     .

Его корни

Тогда решения , .

Очевидно, что  при. Решение x=0, y=0 устойчиво. Обратимся теперь к фазовой плоскости. Из условия получаем .

Это система  парабол.

Особая точка О(0;0) есть устойчивый узел.

2. Корни характеристического уравнения действительные, положительные и различные: .

     В этом случае решения выражаются также  формулами (3.4) и (3.5) соответственно. Но в данном случае при как угодно малых будет при , так как и при, так как при . На фазовой плоскости особая точка – неустойчивый узел: при точка на траектории удаляется от точки покоя x=0, y=0. Другими словами, если вывести точку из состояния равновесия даже на сколь угодно малую величину, она с ростом времени будет неограниченно удаляться от точки покоя.

      ПРИМЕР.

     Исследовать устойчивость решения системы уравнений

     

     Характеристическое  уравнение будет 

Его корни .

Тогда решение  , .

Решение неустойчиво, т.к. при . Исключая параметр из уравнений получаем

Особая точка О(0;0) есть неустойчивый узел.

3. Корни характеристического уравнения действительные, разных знаков, например .

     Тогда при как угодно малых, если , будет при . Решение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка называется седлом.

      ПРИМЕР.

     Исследовать устойчивость решения системы уравнений

     

     Характеристическое  уравнение будет

     .

Его корни

Тогда решения , .

Решение неустойчиво. Обратимся теперь к фазовой плоскости. Исключая параметр из уравнений получаем .

Особая точка О(0;0) есть седло.

4. Корни характеристического уравнения комплексные с отрицательной действительной частью:

Решение системы (3.1) будет 

, (3.11).

     Если  ввести обозначение

     , , ,

то уравнения  можно переписать в виде 

,

где и – произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий: , при t=0, причем 

откуда находим

(3.12).

     Очевидно, что при любом ε>0 при достаточно малых будут выполняться соотношения 

Решение устойчиво. В данном случае при  

неограниченное  число раз меняя знаки. На фазовой  плоскости особая точка называется устойчивым фокусом.

      ПРИМЕР.

     Исследовать устойчивость решения системы уравнений 

     Характеристическое  уравнение будет 

Его корни .

Находим по формулам (3.12). Подставляя в (3.11), получаем 

.

Очевидно, что  при любых значениях t

.

При имеем . Решение устойчиво.

Выясним характер расположения кривых на фазовой плоскости  в этом случае. Пусть

, ,

, .

Тогда

.

Перейдем к  полярным координатам ρ,θ и установим зависимость ρ=f(θ). Уравнения принимают вид

.

Возводя в квадрат  и складывая, получаем 

Установим зависимость t(θ). Деля уравнения друг на друга получаем 

откуда

 

или 

Обозначая , окончательно получим 

Это семейство логарифмических спиралей. В этом случае при точка по траектории приближается к началу координат. Особая точка O(0;0) есть устойчивый фокус.

5. Корни характеристического уравнения комплексные с отрицательной действительной частью: .

     В этом случае решения выражаются также  формулами (3.11), где . При любых начальных условиях и при величины могут принимать как угодно большие значения. Решение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка называется неустойчивым фокусом. Точка по траектории неограниченно удаляется от начала координат.

      ПРИМЕР.

     Исследовать устойчивость решения системы уравнений

     

     Характеристическое  уравнение будет 

Его корни .

Решение (3.11) с  учетом (3.12) 

.

     На  фазовой плоскости получим кривую в полярных координатах

.

Особая точка – неустойчивый фокус.

6. Корни характеристического уравнения чисто мнимые..

     Решения в этом случае примут вид 

     .

Откуда по (3.12)

     .

     Очевидно, что при любом ε>0 при достаточно малых будут выполняться соотношения 

     Решение устойчиво.

     Проведем  анализ интегральных кривых на фазовой  плоскости. Первое из решений запишем  в виде 

,

     Исключаем параметр из уравнений

     .

     Далее получим 

     Это семейство кривых второго порядка. Каждая из них не имеет неограниченно  отдаленных точек. Следовательно, это семейство эллипсов, окружающих начало координат (при с=0 оси эллипсов параллельны осям координат). Особая точка называется центром.

      ПРИМЕР.

     Исследовать устойчивость решения системы уравнений 

      Характеристическое уравнение будет 

Его корни .

Решение