Теория устойчивости. Фазовые портреты

     На  фазовой плоскости получим эллипсы 

Особая точка – центр.

7. Пусть

     Решение в этом случае принимает вид 
 

     Очевидно, что при любом ε>0 при достаточно малых будут выполняться соотношения Следовательно решение устойчиво.

8. Пусть

     Решение неустойчиво, т.к. + при .

9. Пусть . Решение будет

.

Так как в данном случае при , то при любом ε>0 можно подобрать что будет при любом . Решение устойчиво.

10. Пусть .

Форма решения  остается  такой же, как и в  предыдущем случае, но при , . Решение неустойчиво.

11. Пусть . Тогда

     ,

     .

Откуда видно, что  и при . Решение неустойчиво.

     Теперь  дадим общий критерий устойчивости решения системы (3.1).

     Запишем корни характеристического уравнения  в форме комплексных чисел:

     ,i.

     Возьмем плоскость  комплексного переменного и будем изображать корни характеристического уравнения точками на этой плоскости. Тогда на основании рассмотренных случаев условие устойчивости решения системы (3.1) можно сформулировать следующим образом.

     Если  ни один из корней характеристического  уравнения не лежит не лежит справа от мнимой оси, причем хотя бы один корень отличен от нуля, то решение устойчиво; если же хотя бы один корень лежит справа от мнимой оси, или оба корня равны нулю, то решение неустойчиво.

     Заключение.

     Разработка  теории устойчивости движения ведется  по многим направлениям. Здесь надо назвать развитие и применение первого  и особенно второго методов Ляпунова, в том числе метода вектор-функций Ляпунова, установление новых теорем, расширяющих и углубляющих эти методы; анализ существования функций Ляпунова и их эффективного построения; исследования устойчивости по первому приближению и в критических случаях, а также при постоянно действующих возмущениях; исследования устойчивости периодических и неустановившихся} движений и устойчивости на конечном интервале времени; развитие теории приводимых и правильных систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений; исследования устойчивости движения по отношению к части переменных, устойчивости гамильтоновых систем и устойчивости в случае внутренних резонансов; разработка методов исследования устойчивости на ЭВМ; распространение методов Ляпунова на системы, описываемые аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнения с последействием), на системы с распределенными параметрами, на сплошные среды и многие другие. Метод функций Ляпунова с успехом применяется также во многих областях анализа, например, в получении оценок приближенных интегрирований, в теории оптимального управления и оптимальной стабилизации, в теории дифференциальных игр, в теории нелинейных колебаний и во многих других областях науки и техники. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Литература.

1. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. - М. Наука, 1966. - 530 с.
2. Овчинников П.Ф., Лисицын Б.Н., Михайленко В.М. Высшая математика.-К.: Выща шк., 1989. – 679 с.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т. Т II. – М.: Интеграл-Пресс, 1998. – 544 с.
4. Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика. Часть 4. Дифференциальные уравнения. Ряды. Функции комплексного переменного. Операционный метод. Учебное пособие. – Томск, Изд. «Дельтаплан», 2007. – 264 с.