Логика высказываний

7.  Считая утверждение  «В хоккей играют настоящие  мужчины» и «Трус не играет  в хоккей» посылкой и заключением  соответственно сформулируйте подразумеваемую  вторую посылку. Проверьте правильность  умозаключения.

8.   Доказать что  схема умозаключения неправильная тогда и только тогда, когда существует такой набор значений переменных, при котором все формулы, соответствующие посылкам, принимают значение И, а формула, соответствующая заключению - значение Л.

 

Занятие №4.

Софизмы:

1. «Рогатый»

Что ты не терял, то имеешь.

Рога ты не терял.

У тебя рога

Решение:

•    Построим схему  по которой сделано умозаключение. Введём обозначение: «Рога ты не терял» = X, «У тебя рога» = У, тогда получается схема                 X—>У, X

                             У

Это   является   правильной   схемой   умозаключения,   так   как формула ((X—>У)&Х)—>У - тавталогия.

•  Проверим однозначность  употребляемых выражений: рассмотрим выражение «то, что не терял». В  одних случаях оно означает «то, что не потерял, и имел», в других «то, что не потерял, независимо от того имел или нет». Здесь явно прослеживается двусмысленность выражения «то, что не терял», хотя умозаключение построено по правильной схеме.

2.   «Сидящий»

Кто встал, тот стоит.

Сидящий встал.

Сидящий стоит.

3.

Сократ - человек.

Человек - не то же самое, что Сократ.

Сократ - не то же самое, что  человек.

4.«Для того чтобы  видеть, вовсе необязательно иметь  глаза, ведь без правого глаза  мы видим, без левого тоже  видим; кроме левого и правого  глаз, других у нас нет; поэтому ясно, что глаза не являются необходимыми для зрения».

5. Диалог:

- Знаете ли вы, о  чём я сейчас хочу вас спросить?

- Нет.

- Неужели вы не знаете, что лгать нехорошо?

- Конечно, знаю.

-  Но именно об  этом я и собирался вас спросить, а вы ответили, что не знаете; выходит, что вы знаете то, чего вы не знаете.

 

Занятие №5.

1. «2*2=5»

Найти ошибку:

Рассмотрим числовое тождество

                                4:4=5:5

Вынесем за скобки в каждой части этого тождества общий  множитель.     Получим                   4*(1:1)=5*(1:1)

Числа в скобках равны, а значит 4=5 или 2*2=5.

2. «5=1»

Вычтем из каждого  числа одно и то же число 3. получим  числа 2 и -2. При возведении в квадрат  получаются равные числа 4 и 4. значит должны быть равны и исходные числа 5 и 1.

3.   «Все числа  равны между собой».

Пусть а и в - два произвольных числа, причём а ≠ в. Докажем что они равны. Пусть а - в = с. Тогда, а = в + с. Умножим обе части последнего равенства на а - в, получим:

а(а — в)=(в + с)(а —  в)

а² - ав = ва + са -в² - вс

а² - ав-ас = ва -  в² - вс

а(а - в - с) = в (а -в-с)

Отсюда, а = в. То есть два произвольных числа равны между собой.

4. «169=168».

Из картона вырежем  два прямоугольных треугольника с катетами 13 и 5, и две равные прямоугольные  трапеции с основаниями 8 и 5 и высотой 8. Из этих кусков можем сложить квадрат:

Но можем сделать  и прямоугольник:

 

С другой стороны площадь  квадрата равна 169, а площадь прямоугольника 168. В чём ошибка?

5. Рассмотрим систему  уравнений

Уравнение (1) можно переписать в виде (Х—У)³=О. В силу (2) получаем 1³=0 Итак, 1 = О. Найти ошибку.

Занятие №6.

Парадоксы:

1. «Лжец». Человек произносит фразу «Я лгу». Определить говорит он правду или нет.

2. Предлагается ученикам сделать карточку. На лицевой стороне написано: «На обратной стороне написано истинное высказывание». На обратной стороне напишем: «На другой стороне написано ложное высказывание». Истинны или ложны высказывания?

3. «Купец». Один купец из соображений рекламы вывесил объявление на двери магазина: «Сегодня за наличные, завтра в кредит!». Когда покупатели смогут получить товар купца в кредит?

               4. «Крокодил». Крокодил выхватил у женщины стоявшей на берегу реки её ребёнка. На её мольбу вернуть ребёнка, крокодил ответил: «Угадай, отдам я его тебе или нет. Если ответишь правильно, я верну ребёнка. Если не угадаешь, я его не отдам». Подумав, мать ответила: «Ты не отдашь мне ребёнка». Как должен поступить крокодил?

5. «Мэр города». Был издан указ о выделении одного специального города, где жили бы только мэры, не живущие в своём городе. Где должен жить мэр этого специального города?

6. «Каталог всех каталогов». В библиотеке есть множество каталогов. Каждый     каталог     будем     называть нормальным, если в них не упомянуты они сами. Если составлять каталог всех нормальных каталогов, то будет ли этот каталог нормальным?

 

 Занятие №7.

Парадоксы:

1.   «Я знаю, что  ничего не знаю»

2.   «Доказано, доказательств  не существует». Является доказательством  или предполагает уже проведённое  доказательство и одновременно  утверждает, что ни одного доказательства нет.

3.  «Всё истинно». Если  истинно данное высказывание, то  истинно и высказывание противоположное  ему.

4.   «Всякое   правило   имеет  исключения».   Данное  утверждение   само является  правилом.  Тогда как и все  правила оно должно иметь исключения. Таким образом, очевидно, правило «Есть правила без исключений».

5.  Ученикам предлагается  на чистом листе бумаге описать  сам этот лист.

6.  Смог ли бы  поп из детского стишка, так  любивший свою собаку, когда-нибудь  закончить надгробную надпись?

Занятие №8.

Задачи:

1.   Какие высказывания  можно поставить вместо антецедента,  если

на месте консеквента  стоит высказывание «2*2=5», чтобы  сама

импликация была истинной?

2. Дано высказывание  «Если будет хорошая погода, то  я приду к тебе  в  гости».  В каком случае  вы  расцените,  что человек, сказавший это, солгал?

3. Чем есть возможность  обосновать то, что Москва - столица  России, в смысле классической  импликации?

4.          Что с точки зрения классической  импликации можно обосновать  с помощью такого высказывания как «Ведьмы существуют», «2*2=5», «Москва - столица Болгарии»?

Занятие №9.

1.  Определить имеют  ли место парадоксы классической  импликации в системах Льюиса:

                     

2. Рассмотреть в формулах  ниже всевозможные значения X и У:

                      

Занятие №10.

1.         Определить утверждение, связывающее  посылку и следствие в данных  импликациях:

а)  Если на марсе есть вода и кислород, то на нём жизнь  возможна и схожа с жизнью на Земле.

б) Если сегодня будет хорошая погода, то я пойду на прогулку.

в)   Если говорить об операции следования, то здесь невозможно не рассказать о классической импликации.

2.         Что    можно    сказать    о    достаточности    и    необходимости приведённых выше  примеров.

 

 

 

 

Заключение

Данный факультативный курс, в виду сложности некоторых  тем целесообразно применять  в старших классах. Считаю, что  факультативный курс будет интересен, так как опирается на ситуации, которые могут встретиться каждому  человеку в обыденной жизни. При решении каждой задачи ученик опирается не только на какую-то логическую систему, но и на интуицию, чувственное восприятие окружающего мира, в конце концов на свой опыт. Но так как делать это необходимо в системе, то возникает

необходимость рассмотрения парадоксальности использования каждого из элемента данной системы в отдельности. Ошибочное восприятие мира, ошибочная опора только на интуицию или только на какую-то логическую модель приводят к ошибочным выводам, порою противоречащим друг другу.

Неправильные размышления приводят к неправильным умозаключениям и как следствие парадоксальность, несоответствие между чувственным восприятием, интуицией и самой логической моделью.

На каждом занятии  полезно рассматривать биографию  известных учёных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы:

[I]    Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после  уроков. Пособие для учителей. - М.: «Просвещение», 1971

[2] Брадис В.М., Минковский  В.Л., Харчева А.К. Ошибки в математических  рассуждениях. - М.: «Просвещение», 1967

[3] Гетманова А.Д. Логика. Учебное пособие для педагогических  учебных заведений. - М.: «Новая школа», 1995 - 415с.

[4] Зиновьев А.А. Логическое  следование. - «Проблемы логики и  теории познания» - М.: МГУ, 1968 - 318с.

[5] Ивин И.И. Искусство  правильно мыслить - М.: «Просвещение», 1986.-224с.

[6] Калужнин Л.А. Что  такое математическая логика. - М.: «Наука», 1964

[7] Карпенко А.С. Логики  Лукасевича и простые числа  - М.: «Наука», 2000.-319с.

[8] Кондаков Н.И. Логический  словарь. - Москва: «Наука», 1971 -656 с.

[9] Кутасов А.Д. Элементы  математической логики. Пособие  для учащихся 9-10 классов - М.: «Просвещение», 1977

[10] Лаготин Л.А., Макаренков  Ю.А. и др. Математическая логика. Учебное пособие для студентов  математических специальностей  педагогических институтов. - Минск: «Вышэйшая школа», 1991. - 269 с.

[II]    Лакатос  И. Доказательства и опровержения. - М.: «Наука», 1967.

[12] «Логический вывод» /ответственный редактор В.А.Смирнов  -М.:«Наука»,1979-311с.

[13] Никольская И.Л.  Математическая логика: Учебник. - М.: «Высшая школа», 1981 - 127с.

[14] Столяр А.А. Элементы  математической логики. - М.: «Просвещение», 1964

[15] Попов В.А. «Задачник-практикум  по математической логике и  дискретной математике». Учебное  пособие для практических занятий. -Сыктывкар: КГПИ, 2003 - 90с.