Логика высказываний

 

                                 А< В ≡ ¬◊(А^¬В),

где ◊ обозначает понятие «возможно». Формула читается так: « Тот факт что А строго имплицирует В означает, что невозможно то, что А и не В».

  В системе строгой импликации также введён модальный оператор «необходимо», который получается из формулы ¬◊(¬А), что читается как «А – необходимо» и обозначается ◘. Таким образом ◘А≡¬◊(¬А).

Рассмотрим одну из модальных систем Льюиса – систему S1.

1. Исходные символы: А, В, С и т.д. – некоторые переменные; ¬, ^, <,  ↔, ◊ - операторы.
2. Аксиомы

1. А^В<В^А

2. А^В<А
3. А<А^А
4. (А^В)^С<А^(В^С)
5. А<¬¬А
6. (А<В)^(В<С)<(А<С)
7. А^(А<В)<В

3. Правила вывода

1. правило подстановки

2. любая правильно построенная формула может быть подставлена вместо А, В, С в любом выражении
3. если выводимо А и выводимо В, то выводимо и А^В
4. если выводимо А и А<В, то выводимо В

 

 

Таким образом, Льюис  создал свои новые системы с целью  избежать парадоксов классической импликации, и ввести новую импликацию, названную  им «строгой импликацией», такую чтобы  логическое следование представлялось не чисто формально, а по смыслу была ближе к связке естественного языка «если…, то…». Так к примеру в строгой импликации А<В невозможно утверждать антецедент А и отрицать консеквент В, т.е. в строгой импликации А<В≡¬◊(А^¬В), например в высказывании «Если Солнце – звезда, то оно излучает световую энергию», мы не можем утверждать, что Солнце не излучает световую энергию, сказав что Солнце – звезда. По определению строгой импликации это просто невозможно.

Формулы вида А<(В<А), ¬А<(А<В), где в В имеется знак строгой импликации, а в А его нет, являются недоказуемыми в системе Льюиса. Таким образом исключаются «парадоксальные» формулы, подобные парадоксам классической импликации.

При интерпретации строгой  импликации как логического следования получаем что:

1. Из невозможного высказывания следует любое. Так, к примеру, из утверждения «Москва – столица Германии и Москва – столица РФ» строго имплицируются такие утверждения как «Простые числа делятся только на себя и единицу» или «Возможно завтра будет дождь», или «Математика – царица наук» и т.д. Рассмотрим формулу ¬◊А<(А<В) – доказуема. Пусть в ней А-невозможное высказывание. Тогда получается что А<В, независимо от В является истиной, т.к. ¬◊А означает «невозможно невозможное» является истиной, а строгая импликация от истинных посылок ведёт к истинным следствиям и мы получаем, что из невозможного высказывания следует любое.
2. Необходимое высказывание следует из любого. Рассмотрим строгую импликацию Льюиса А<В≡¬◊(А^¬В). Подставим вместо В «необходимо, что В» - ◘В. Получим А<◘В≡¬◊(А^¬◘В) —невозможно, чтобы А и при этом не являлось необходимым В. Независимо от А рассмотрим: «невозможно чтобы В не являлось необходимым», т.е. В является необходимым что является истиной. Тогда получается, что необходимое высказывание следует из любого.

 

Данные утверждения  есть ничто иное, как парадоксы  строгой импликации. Так устранив одни парадоксы Льюис оказался перед  другими. После Льюиса парадоксальные строгие импликации стали считать  бесполезными в следующих случаях:

1. Если А невозможно, мы не можем использовать А<В как основание для доказательства В.
2. Если В необходимо, то не требуется никаких посылок для его принятия и А<В излишня.

Однако даже сам Льюис  считает, что строгая импликация всё ещё шире логического следования, и для построения логической системы, которая удовлетворяла бы понятию логического следования нам необходимо искать пути для исключения также и парадоксальных формул строгой импликации.

 

 

 

4.2. Релевантная  импликация

Более совершенное описание условного суждения и логического следования дано в 50-е годы немецким логиком В. Аккерманом и американскими логиками А. Андерсоном и Н. Белнапом. Им удалось исключить не только парадоксы классической импликации, но и парадоксы строгой. Введённая ими импликация получила название релевантной (т.е. уместной), поскольку ею можно связывать только утверждения, имеющие какое-то общее содержание.

Система Аккермана обладает следующими свойствами:

1. Если в формуле А→(В→С) знак импликации отсутствует в А, то эта формула недоказуема.
2. Если в формуле А→В формулы А и В таковы, что в них нет одинаковых переменных, то эта формула недоказуема.

 

Отсюда следует что  формулы А→(В→А), ¬А→(А→В), А^¬А→В, ¬(А٧¬А) →В, А→В٧¬В, А→¬(В^¬В) недоказуемы. А значит парадоксы подобные парадоксам классической и строгой импликации при рассмотрении системы Аккермана в качестве теории логического следования получиться не могут.

Исчисление Аккермана  содержит 15 аксиомных схем:

1. А→А
2. (А→В)→((В→С)→(А→С))
3. (А→В)→((С→А)→(С→В))
4. (А→(А→В))→(А→В)
5. А&В→А
6. А&В→В
7. (А→В)&(А→С)→(А→В&С)
8. А→А٧В
9. В→А٧В
10. (А→С)&(В→С)→(А٧В→С)
11. А&(В٧С)→В٧(А&С)
12. (А→В)→(¬В→¬А)
13. А&¬В→¬(А→В)
14. А→¬¬А
15. ¬¬А→А

 

И два правила вывода:

1) А, А→В

          В

2) А, В

      А&В

Операторы необходимости  ◘ и возможности ◊ выводятся с помощью определений:

1. ◘ А≡А→А→А
2. ◊ А≡¬◘¬А

 

Белнап в свою очередь сформулировал 13 условий уместности, которым, по его мнению, должна удовлетворять формальная теория следования:

С1) Если А→В, то ¬А٧В

С2) ¬((¬А٧В→(А→В))

С3) Если А→В, то ◘(¬А٧В)

С4) ¬(◘(¬А٧В) →(А→В))

С5) ¬(А→(В→А)), ¬(¬А→(А→В)), ¬(◘А→(В→А)), ¬(◘¬А→(А→В)),         ¬(А→(В٧¬В)), ¬(¬А&А→В)

С6) ¬(А→(В→С))

С7) ¬(А→В), если А и  В не имеют общей переменной.

С8) А→В, ¬В              ¬А٧¬В

        ¬А              ;      ¬(А&В)         ;     ¬А→¬В если А – формула которую можно получить из В по правилу подстановки.

С9) Если А – аксиома, то А≡И.

С10) Если из «А₁ ,А₂,А₃,…,А_n следует В» – исходное правило вывода, то вывод В из А₁, А₂, А₃,…, А_n должен быть уместным.

C11) А₁& А₂ &А₃ &…& А_n→В выводима ↔ из А₁, А₂, А₃,…, А_n выводимо В.

С12) теория должна быть построена простыми, естественными способами.

С13) теория должна быть достаточно сильной для тех целей, для которых она предназначена.

Итак, при работе Аккермана над проблемой логического следования он создал систему, исключающую парадоксы как классической, так и строгой импликаций, но при этом в данной системе являются недоказуемыми формулы:

1. ¬А&(А٧В) →В
2. ((А→(В→С))&В)→(А→С)

 

 

В рассмотренных нами возможных случаях для решения возникающих проблем мы обращались к сужению понятия классической импликации путём добавления в него операторов возможности и необходимости. Похожий подход был использован Лукасевичем в его трёхзначной логике. Используя третье истинностное значение, он обращается к решению проблемы будущих неопределённых высказываний.

 

Глава II. Трёхзначная логика Лукасевича.

§1. Введение в логику третьего истинностного  значения. Аксиоматизация.

1.1.Суть новаторской идеи Лукасевича заключается в том, что в логику вводится третье истинностное значение, промежуточное между «истиной» и «ложью» и интерпретируемое им как «безразлично». В напутственной речи, произнесенной в Варшавском университете 7 марта 19I8 г., Лукасевич скажет, что уже в 1910 г. он пытался сконструировать не-аристотелеву логику, но безрезультатно. Однако  летом 1917 г. ему удалось доказать, что «кроме истинных и ложных высказываний существуют возможные высказывания, к которым объективная возможность относится как нечто третье в добавление к существованию и несуществованию. Это позволяет установить систему трехзначной логики...».

В своей знаменитой статье «О детерминизме» Лукасевич дает философское обоснование введения в логику третьего истинностного значения. Здесь Лукасевич обосновывает, что существуют будущие факты, для которых еще нет соответствующих фактов в настоящем, т.е. нет ничего, что с необходимостью заставило бы нас принять высказывание о таком будущем факте как истинное. Но, с другой стороны, мы не можем утверждать, что такое высказывание ложно, если в настоящее время не существует факта, являющегося причиной того, что будущий факт не произойдет. Такие высказывания Лукасевич называет в этой статье «безразличными» и делает важное заключение, что альтернатива, составленная из двух подобных высказываний, например, «Ян будет завтра в полдень дома, либо Яна завтра не будет в полдень дома», должна быть истинна согласно закону исключенного третьего. Лукасевич утверждает,  что аристотелевское решение проблемы, по-видимому, состоит в том, что альтернатива «завтра произойдет морское сражение или завтра не произойдет морское сражение» уже сегодня истинна, но ни высказывание «завтра будет морское сражение», ни высказывание «завтра не будет морское сражение» сегодня не являются истинными. Эти высказывания касаются будущих случайных событий и, как таковые, они ни истинны, ни ложны.

Предложив такую интерпретацию Аристотеля, Лукасевич, однако, заключает, что доводы Аристотеля подрывают не столько закон исключенного третьего, сколько один из глубочайших принципов всей нашей логики, который им же впервые и установлен, а именно, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно. Этот принцип Лукасевич называет принципом бивалентности. Поскольку принцип бивалентности лежит в самих основах логики, он не может быть доказан. «Ему можно лишь доверять, а доверяет ему тот, кому он кажется очевидным: Поэтому мне ничто не препятствует этот принцип не признать и принять, что кроме истинности и ложности существуют еще другие логические значения, по крайней мере, еще одно, третье логическое значение. [...] Вводя это третье значение в логику, мы изменяем её до основания. Трехзначная система логики... отличается от обычной до сих пор известной двузначной логики в не меньшей степени, нежели системы неэвклидовой геометрии отличаются от эвклидовой геометрии».

Сейчас можно с уверенностью сказать, что подобная высокая оценка относительно создания новой логики вполне соответствует действительности.

 

1.2.Истинностные таблицы.  Аксиоматизация.

К основным проблемам  при построении многозначных логик  относятся, Во-первых, определение логических связок, во-вторых, содержательная интерпретация и, в-третьих, самое сложное, интерпретация самих истинностных значений. Последнюю мы уже рассмотрели (и еще к ней вернемся), вторая проблема не нашла своего решения у Лукасевича, а решение первой предпринято им в статье «О трехзначной логике».

Оставляя классические значения для импликации → и отрицания ~, когда аргументы принимают значения из множества {0, 1}, Лукасевич следующим образом доопределяет логические связки:

(1→ ½ ) = ( ½ → 0) = ½

(0 → ½ ) = ( ½ → ½ ) = ( ½ → 1) =1

~ ½ = ½

Посредством исходных связок определяются другие логические связки:

p ٧ q = (p → q ) → q (дизъюнкция),

p ^ q = ~ ( ~ p ٧ ~ q ) (конъюнкция),

p ≡ q = ( p → q ) ^ (q → p) (эквивалентность).

 

Тогда истинностные таблицы для логических связок выглядят так:

→	1	½	0
1	1	½	0
½	1	1	½
0	1	1	1

 

p	~p
1	0
½	½
0	1

 

 
 

^	1	½	0
1	1	½	0
½	½	½	½
0	0	0	0

٧	1	½	0
1	1	1	1
½	1	½	½
0	1	½	0