Логика высказываний

 

 

 

≡	1	½	0
1	1	½	0
½	½	1	½
0	0	½	1

         

 

 

 

 

Оценка множества формул For в трехзначной логике Лукасевича есть функция v: For → {0, ½, 1}, «совместимая» с приведенными выше таблицами. Формула А называется тавтологией, если при любой оценке принимает выделенное значение 1. Множество данных тавтологий называется трёхзначной (матричной) логикой Лукасевича и обозначается посредством L_3.

Первая аксиоматизация множества тавтологий L₃ принадлежит ученику Лукасевича М. Вайсбергу

1. (p → q ) → (( q → r ) → (p → r )

2. p → (q → p )

3. (~ p → ~ q ) → ( q → p )

4. ((p → ~ p ) → p) → p

 

Правила вывода такие же, как и  для классической логики:

• R1. Modus ponens.
• R2. Подстановка.

 

Аксиоматизация Вайсберга означает, что для L₃, как и для С₂, имеет место

Теорема адекватности: Для всякой формулы А, ├А в L₃ т.т.т. когда     ╞А     в L₃.

 

Таким образом, как и  классическая логика, исчисление L₃ непротиворечиво и дедуктивно полно. На этом фундаментальные сходства между С₂ и L₃заканчиваются.

 

2.5. Отличия  трехзначной  логики Лукасевича L₃ от      классической.

 

Обратим внимание на одно весьма важное свойство истинностных таблиц для L₃, а именно: на классическом множестве истинностных значений, т.е. на множестве {1, 0} определение логических связок L₃ совпадает с определением связок классической двузначной логики С₂. Отсюда следует, что любая тавтология L₃ есть тавтология С₂, но не наоборот.

Например, легко проверить, что закон сокращения

               (p → (p → q )) → (p → q)

не есть тавтология в L₃? Обратим внимание, что если в аксиоматизации Вайсберга аксиому (4) заменить на закон сокращения, то получим аксиоматизацию С₂. Это следует из того факта, что из аксиом Вайсберга (1), (2) и закона сокращения выводима самодистрибутивность. Таким образом, аксиоматизацию L₃ можно представить как замену в аксиоматизации С₂ закона сокращения на аксиому Вайсберга (4).

На самом деле введение Лукасевичем в логику третьего истинностного значения, промежуточного между истиной и ложью, имело весьма радикальные последствия для самой логики, самым важным из которых оказалось то, что ни закон исключённого третьего p ٧ ~ p, ни закон непротиворечия  ~ (p ^ ~ p) не являются законами L₃ : эти формулы принимают значение 1/2, когда р имеет значение 1/2. Реакция на подобную ревизию классической логики была весьма неоднозначной, наиболее важные содержательные аспекты, которой мы рассмотрим ниже.

 

Наиболее существенное отличие L₃ от С₂ состоит в следующем. Как явствует из раздела (1.3), классическая двузначная логика является функционально полной. В L₃ это не так, однако если к последней добавить оператор Слупецкого Тр, который переводит любое значение р в ½:

 

Р	Тр
1	½
½	½
0	½

 

 

то получим функционально полную трехзначную логику, которую обозначим посредством L₃^Т.

Теперь, если к аксиомам Вайсберга  для L₃ добавить две аксиомы, содержащие оператор Слупецкого Тр:

                   5. Тр → ~ Тр

                   6. ~ Тр → Тр

 

то получим аксиоматизацию трехзначной логики Слупецкого L₃^Т. Заметим, что в классической логике никакие формулы вида и не являются тавтологиями.

В дальнейшем мы уточним функциональные свойства функционально не полной L_{3 .} При обобщении L₃ на произвольный конечный случай, т.е. на L_n, (n ≤ 2, n € N) функциональные свойства последней окажутся решающим моментом для всего нашего исследования.

 

§2. Трехзначная модальная логика Лукасевича

 

2.1.Обратим внимание еще на одну особенность L₃ , которая состоит в том, что теперь мы можем конструировать новые логические связки, не существующие в С₂. Этот факт для Лукасевича оказался весьма существенным, поскольку он показал, что в рамках двузначной логики нельзя построить модальную логику, но теперь, введя в логику третье истинностное значение, Лукасевич ставит задачу дать такое определение оператора возможности Мр, чтобы для всех теорем о модальных предложениях, начиная от Аристотеля и вплоть до Лейбница, существовала бы, по крайней мере, одна интерпретация в трёхзначной логике L₃, посредством которой каждая такая теорема была бы истинной. Все эти теоремы были в итоге сведены Лукасевичем к трем группам:

(I) ~ Mp → ~ p

(II)  ~ p → ( ~ p → ~ Mp )

(III) Mp ^ M ~ p для некоторого р.

 

Тщательно анализируя эти три утверждения, Лукасевич показывает, что в рамках классической двузначной логики мы приходим к противоречию, и что ответственность за противоречие несет логический принцип двузначности (бивалентности). Размышления о статусе этого принципа, а также анализ высказывании о будущих случайных событиях опять приводят Лукасевича к идее введения в логику третьего истинностного значения, которое он окончательно интерпретирует как «возможность»

Теперь остается только найти подходящее определение модального оператора возможности Мр в рамках трехзначной логики L₃, что и было сделано в 1921 г. учеником Лукасевича А..Тарским :

       Mp= ~ p → p              

т.е. «возможно, что р» означает «если не-р, то р». Оператор необходимости Lр определяется через исходный оператор Мр обычным образом: Lр = ~ М ~ р. На основе этих определений строятся истинностные таблицы для Мр и Lр.

 

Р	Мр	Lр
1	1	1
½	1	0
0	0	0

 

 

Таким образом, построение модальной логики явилось еще одним источником появления трёхзначной логики Лукасевича.

Обратим внимание, что  можно ввести и другие модальные  операторы, наиболее интересным из которых  является оператор случайности:

               Qp= Мр ^  М ~ р,

который «выделяет» третье истинностное значение (см. выше утверждение III):

 

 

р	Qp
1	0
½	1
0	0

 

 

 

Это позволяет, как отмечает Г.Малиновский сформулировать в L₃ аналогии закона исключенного третьего и закона непротиворечия:

р٧  ~ р ٧  Qp

               ~( р ^ ~ р  ^  ~ Qp)

Между свойствами модальных  операторов L₃ и модальных операторов системы Льюиса S5 имеется некоторое сходство, которое нашло своё точное выражение в работе Р.Вудруффа, где дан перевод L₃ в S5. Таким образом, L₃ можно проинтерпретировать посредством S5.

 

2.2. Трудности интуитивной интерпретации L₃

С формальной точки зрения трехзначная логика Лукасевича выглядит безупречной: показана её непротиворечивость, т.е. в L₃ недоказуема некоторая формула А вместе со своим отрицанием ~ А, доказана дедуктивная полнота L₃ и, как и классическая логика, L₃ является разрешимой. Но поскольку построение L₃, те. введение в логику третьего истинностного значения, имело сугубо содержательные предпосылки, а именно идею отразить в логической форме и индетерминистский статус высказываний о будущих случайных событиях и таким образом опровергнуть фаталистический аргумент Аристотеля. то встает нетривиальный вопрос: насколько формальные свойства L₃оказались адекватными для выражения этой идеи. И вот здесь как раз возникают весьма серьезные затруднения.

Приданию глубокого  философского смысла трехзначной модальной логике Лукасевича посвящена статья создателя временной логики А.. Н. Прайора, который задает следующий вопрос: является ли этот модальный язык действительно подходящим для экспликации тех проблем, которые имел

Лукасевич. Ответ на этот вопрос, подчеркивает Прайор, зависит от интерпретации, которую мы придаем истинностным значениям L₃. В этой работе Прайор впервые обращается к идее  временных высказываний, истинностные значения которых могут изменяться во времени, что было общепринято в античности и в средние века, как он отмечает, но совсем забыто в наше время. По мнению Прайора, Аристотель в девятой главе трактата «Об истолковании» пытается преодолеть истинную трудность — возможность использовать высказывания во вневременном смысле для описания событий типа «завтрашнее морское сражение». И Прайор делает вывод, что Аристотель говорит о некоторых высказываниях, о будущем, как не являющихся ни истинными, ни ложными, поскольку еще нет определенного факта, с которым эти высказывания можно соотнести, однако как утверждение. Так и отрицание подобных высказываний потенциально истинно или потенциально ложно, но не актуально истинно или ложно. Когда же эта потенциальность исчезает со временем, тогда значение «1» приписывается высказываниям определенно истинным, т.е. при описании будущих событий как предопределенных или событий, которые уже стали настоящими или прошлыми. Такие высказывания и являются «необходимыми». Таким образом, утверждение высказываний о состоянии дел в настоящем и прошлом и утверждение их «необходимости» являются эквивалентными в L_3.

Что же касается вообще свойства модальных операторов в L₃ если не принимать третьего истинностного значения, замечает Прайор, то такая особенность достаточно хорошо согласуется с нашим интуитивным понятием «возможности» как того, что каким-то образом оказывается реальным даже тогда, когда того, возможностью чего она является, еще нет. Следствием этого и является двузначный характер модальной части L₃. В итоге Прайор очень высоко оценивает создание Лукасевичем модальной логики и считает, что Лукасевич сделал для аристотелевской проблемы логического фатализма то же, что он сделал для аристотелевской теории силлогистики.

Казалось бы, все трудности преодолены, но дело в том, и это признается всеми сторонниками традиционной интерпретации (в том числе и Лукасевичем), что Аристотель явно утверждал, что альтернатива р٧  ~ р в любом случае является всегда истинной. Однако в L₃, как уже отмечалось, закон исключенного третьего не имеет места. Как предполагает Прайор, Аристотель сказал бы, что обычно (р ٧  q ) = ½ при р = ½  и q = ½ , но если q в (р ٧  q ) становится ~ р, тогда альтернатива принимает значение не ½, а 1. Это позволяет Прайору заключить, что в предполагаемой трехзначной логике Аристотеля дизъюнкция не была бы истинностно - функциональной.

 В целом ряде  более поздних работ, рассматривающих  проблему логической экспликации  высказываний о будущих случайных  событиях посредством L₃, расхождение между Лукасевичем и Аристотелем по поводу р٧  ~ р служит основным возражением против адекватности  L₃ для решения аристотелевской проблемы.

Таким образом, хотя Лукасевич  и ввел строгое различие между принципом бивалентности и законом исключенного третьего, но в его L₃ не принимается ни то, ни другое, что привело к неадекватной экспликации аристотелевской проблемы. Как замечает Прайор, а затем С. Мак-Колл, положение можно было бы исправить, если определить дизъюнкцию не так, как это сделал Лукасевич: p ٧ q = (p → q ) → q, а по-другому, как это обычно делается в классической логике: Тогда p ٧ q ≠ max (v(p), v(q)),  поскольку ½ ٧ ½= 1, но теперь р٧  ~ р будет законом в L_{3 ,} поскольку в этом

случае ½ ٧ ~ ½= 1. Но тогда не является законом (p ٧ p) → p, и это, предполагает Мак-Колл, послужило причиной, по которой Лукасевич выбрал первое определение. И, правда, каким образом можно обосновать дизъюнкцию со свойством ½ ٧ ½= 1? Однако эти примеры указывают на другую особенность L₃, которая заключается в том, что уже в трехзначной логике можно обобщать свойства классических связок по-разному, в результате чего возможны, например, различные дизъюнкции, в то время как в С₂ (как мы видели): .

Неожиданно выяснилось. И самым очевидным образом, что L₃ имеет свойство, которое уже безотносительно к аристотелевской проблеме делает ее уязвимой. Т. Сугихара в рецензии на статью Прайора замечает, что не только формула р٧  ~ р = ½, когда р = ½ но и дуальная ей формула, а именно          p  ^ ~ p  тоже принимает значение ½ когда р = ½ те. закон непротиворечия  

~ (p ^ ~ p) не является законом L₃. Это говорит о том, продолжает Сугихара, что невозможно проинтерпретировать L₃ в терминах случайности. При этом Сугихара ссылается на возражение против L₃, сделанное Ф.Гонсетом и А.. Мостовским. Возражение Гонсета, считающееся неопровержимым доводом против содержательной интерпретации L₃, состоит в следующем. На конференции в Цюрихе (1938 г.) «Проблема обоснования и метод математических наук» при обсуждении доклада Лукасевича  Гонсет обратил внимание, что следующее конъюнктивное высказывание, приведенное Лукасевичем: «Через год я буду в Варшаве и через год я не буду в Варшаве» — имеет истинностное значение 1/2 поскольку само высказывание «Через год я буду в Варшаве» имеет истинностное значение 1/2 в интерпретации Лукасевича, а операции отрицания и конъюнкции это значение не меняют. Однако совершенно ясно, замечает Гонсет, что такое конъюнктивное утверждение должно быть ложным сейчас. Х.Карри в рецензии на доклад Лукасевича отмечает, что остаются неясными её «интуитивные модальные основания», которые, по утверждению Лукасевича, должны представлять L₃. При этом Карри ссылается на уже упомянутое обсуждение доклада. Это же возражение приводит М. Бохеньский в рецензии на две работы К. Клозака. Клозак утверждает, что закон исключенного третьего всегда истинен, на что Бохеньский возражает, говоря, что данное утверждение не признается сторонниками многозначных логик. А более сильным аргументом против таких логик Бохеньский как раз считает замечание Гонсета о том, что закон непротиворечия тоже не имеет в них места. Годом позже Мостовский в рецензии на статью Е. Расевой о многозначных логиках Лукасевича отмечает, что хотя автор дает некоторые иллюстративные примеры, соответствующие интерпретации ½ как «возможности», но обходит молчанием весьма важное замечание Гонсета. Как считает Мостовский, «это замечание разрушает всякую надежду, что будет когда-либо возможно найти разумную интерпретацию трехзначной логики Лукасевича в терминах обыденного языка».