Логика высказываний

После Сугихары резкой критике  содержательную интерпретацию L₃ подверг Мо Шо-Куэй. Отмечая, что под возможными высказываниями Лукасевич подразумевает (следуя Аристотелю) высказывания, относящиеся к будущему времени, Шо-Куэй делает такое заключение: «Мы видим, что следующие высказывания не соответствуют нашей интуиции:

½ ≡ ~ ½,

½ ≡ ½ ^ ~ ½,

½ ≡ ½ ٧  ~ ½.

Ибо мы рассматриваем  высказывание, независимо от того, относится  ли оно к будущему или нет, как  никогда не эквивалентное своему отрицанию; и мы считаем конъюнкцию высказывания и его отрицания всегда ложной, а их альтернативу всегда истинной, а не возможностью».

Интересно, что Прайор несколько позже  в блестящем очерке на страницах иллюстрированного литературно- политического еженедельника «Listener» отмечает, что никто еще не дал удовлетворительного формального представления связей между временем и модальностями, хотя ближе всех к этому подошел Лукасевич. Прайор считает, что достижением Лукасевича, имеющим большие последствия для логики, является его L₃. Как раз здесь Прайор подробно разбирает возражение Гонсета (без ссылки на него), замечая, что по обычным двузначным допущениям ни одна логическая связка не является более очевидной и истинностно - функциональной, чем ^, но трудно сохранить этот истинностно - функциональный характер ^в L₃.

Позднее Т. Чэпмен  возражает против L₃ как средства для преодоления явной несовместимости между индетерминизмом и двузначным характером любых высказываний на том основании, что в L₃ закон непротиворечия не имеет места. На то же самое, но десятью годами раньше, указывают известные историки логики В. и М. Ниль, в силу чего они вообще считают логику L₃ неприемлемой.

Таким образом, основная трудность при содержательной интерпретации L₃ заключается в строго истинностно-функциональном характере логических связок ^ и ٧, а попытки их истолкования в не истинностно - функциональном смысле, что является следствием рассмотрения формально-логических свойств L₃ в контексте фундаментального философского понятия «возможности» («случайности»), требуют построения иных логик.

На другую трудность, вызванную этим смыслом нового истинностного значения, обратил внимание Т. Котарбиньский. Отметив, что вопрос о роли многозначной логики для защиты индетерминизма является спорным, Котарбиньский продолжает: «довольно загадочной остается и проблема интерпретации как знака половинчатости (а также других знаков логических значений в n - язычных системах), так и существующего в системе Лукасевича функтора М, читающегося “возможно, что... “. Ведь именно он должен вводить понятие возможности в исчисление высказываний, но, с другой стороны, и знак половинчатости тоже должен говорить о какой-то “возможности” высказывания, логическим значением которого он является». Таким образом, Котарбиньский указывает на несовместимость в одной логической системе двух разных видов возможности (оба встречающихся у Аристотеля), один из которых есть «билатеральная возможность» (двусторонняя), относящаяся к будущим случайным событиям, а другой вид возможности — «унитеральная возможность» (односторонняя), описываемая обычными свойствами оператора М, например, p → Mp и не верно, что

p → ~M ~ p, т.е. не верно p → Lp,. Однако в L₃ имеет место p →(p → Lp).

Наиболее интересной попыткой дать интуитивную интерпретацию L₃ является статья Е. Слупецкого, Е.Брыля и Т. Пруцналя. Слупецкий исходит из работы Лукасевича «О детерминизме», которая не была известна Прайору. Кратко суть этой интерпретации состоит в следующем. Все события Z разделены на прошлые, настоящие и будущие и предполагается, что операции над событиями, а именно сложение ﮟ, умножение ∩ и дополнение ‾ удовлетворяют аксиомам булевой алгебры, как это принято в теории вероятностей, т.е. структура Z= <Z, ﮟ, ∩, ‾ > есть булева алгебра. Событие является фактически детерминированным, если существует в прошлом или в настоящем факт, являющийся его причиной; и событие недетерминировано, если неверно, что оно детерминировано и в то же время неверно, что противоположное событие является детерминированным. Отсюда утверждение об истинности высказывания р, описывающего событие Е, эквивалентно утверждению о детерминированности этого события и т.д. Слупецкий отмечает, что такое понимание логических значений совпадает с намерениями Лукасевича. Предполагается, например, что дизъюнкция двух высказываний описывает сумму событий, описанных её аргументами, и т.д. Исходя из этого, а, также приняв некоторые естественные утверждения о причинных связях, обосновываются таблицы истинности, которые в точности совпадают с матричными определениями дизъюнкции, конъюнкции и отрицания в L₃. Однако более тщательный анализ, проведенный М. Новаком, показывает, что допущения относительно Z должны быть модифицированы так, чтобы выглядела как решетка де Моргана, а не как алгебра Буля.

Как уже говорилось, исходными операциями в L₃ являются отрицание и импликация, через которые и определяются дизъюнкция, конъюнкция и модальные операторы. Но легко видеть, что посредством отрицания,  дизъюнкции и конъюнкции нельзя определить импликацию в L_3. Более того, при выделенном значении «1» множество тавтологий в системе с исходными связками {~ ٧,, ^} будет пусто и поэтому, считает Слупецкий, эта система не представляет какого-либо интереса. Однако если к этой системе добавить модальные операторы Тарского, то получим логику S₃, функционально эквивалентную L₃. Чтобы это показать, достаточно через систему связок логики S₃ выразить импликацию р →q из L₃. Слупецкий это делает следующим образом:

p → q = (~ p ٧ q ) ٧ M ( ~ p ^ q )

замечая по этому поводу, что смысл данного выражения. т.е. смысл импликации Лукасевича. довольно-таки неуловим. И поэтому в ‚указанной работе решается проблема, поставленная Слупецким еще в начале 60-х годов, об аксиоматизации трехзначной логики Лукасевича L₃ с множествами исходных связок {٧, ~, L}, {٧, ~, M}, {^, ~, L}, {^, ~, M}. В итоге, как отмечалось выше, дается аксиоматизация L₃ в сигнатуре {٧, ~, N}.

Но Слупецкий обращает внимание и на более существенную трудность. Операции, которые соответствовали бы операторам М и L тем же самым образом, как операции сложения, умножения и дополнения соответствуют

~٧,, ^ не существуют в булевой алгебре. Поэтому, включая модальные высказывания в трехзначную логику, мы должны расширить ранг пропозициональных переменных, до сих пор ограниченный высказываниями, описывающими только события, а это является более сложным и менее интуитивным, замечает Слупецкий. В заключение он отмечает, что хотя интуиции Лукасевича в обосновании трехзначной логики носят общий характер, тем не менее, они чрезвычайно глубоки и представляют огромный интерес. Детальный же анализ требует обширных и трудоемких исследований.

Однако вернемся к  импликации Лукасевича. Вопрос этот не праздный уже потому, что эта связка является единственной исходной бинарной связкой в L₃. К сожалению, можно только предполагать, из каких мотивов исходил Лукасевич при определении свойств p →q. Как отмечает Хао Ван, при введении в логику третьего истинностного значения имеются две альтернативы приписывания значения всей импликации p →q, когда p = ½,

q=½ (Хао Ван третье истинное значение интерпретирует как «неопределенно» и обозначает как «u») В одном случае ½ → ½ = ½, в другом случае ½ → ½ = 1. В первом случае, р → р не является больше универсальным логическим законом. Во втором случае р → ~ р =1, когда р =½. Однако, эти последствия, замечает Хао Ван, не столько являются основанием для отрицания одной из альтернатив, сколько служат иллюстрацией того, что мы еще не владеем достаточно хорошим пониманием импликации, примененной к неопределенным высказываниям, или у нас нет надежного руководящего принципа, позволяющего выбирать между двумя этими альтернативами. Лукасевич выбирает ½ → ½ =1, продолжает Хао Ван, и в качестве преимущества сохраняет закон р → р. Однако такая интерпретация не позволяет идентифицировать p → q с ~p٧  q, поскольку p ٧ ~ p не является больше универсальным логическим законом. Другая альтернатива принята С.К.Клини  в его трехзначной логике К₃, где ~, ٧, ^ есть в точности логические связки из L₃. Посредством этой интерпретации p → q = ~ p ٧ q, и поэтому можно развивать трехзначную логику, не включая → в качестве исходной связки. Но тогда не имеет места р → р.

Обратим внимание, что матричная трёхзначная логика является важным примером алгебры Клини. Поэтому алгебраическая структура Z должна быть скорректирована от решетки де Моргана до алгебры Клини. Что же касается алгебраической структуры L_3, то она намного сложнее.

Интересно, что в дискуссию  о логическом статусе высказываний о будущих случайных событиях, об интерпретации промежуточного (третьего) истинностного значения и об интерпретации самой L₃ были втянуты многие виднейшие логики того времени. Общий итог дискуссии оказался весьма критическим относительно возможности дать какую-либо интуитивно приемлемую интерпретацию трехзначной логики Лукасевича L₃. И для этого, как мы увидим далее, есть серьезные основания. Тем не менее, попытки проинтерпретировать L₃ продолжаются, и одна из последних принадлежит С.А.Павлову, который предложил рассматривать L₃ в рамках разработанного им языка логики ложности (с оператором ложности).

 

 

§3. Погружение классической логики в L_3.

Как говорилось выше, L₃ С₂, но тем не менее можно показать, что L₃ богаче С₂. Покажем, что L₃ содержит трехзначный изоморф классической логики С₂. для этого посредством исходных связок L₃ определим две новые связки:

Ґp = ~ Lp,

p → ₁ q = p→ (p → q);

истинностные таблицы, для которых выглядят так:

 

p	Ґp
1	0
½	1
0	1

→ 1	1	½	0
1	1	½	0
½	1	1	1
0	1	1	1

 
        Обозначим логику со связками Ґ и →₁ как L₃^* . Покажем, что множество формул, доказуемых в L₃^*, есть в точности множество формул, доказуемых в С₂, т.е. есть трехзначный изоморф С₂.

Возьмем аксиоматизацию С₂, предложенную Лукасевичем (см. раздел 1.4). Заменим в аксиомах вхождения и на →₁ и Ґ соответственно. Нетрудно проверить табличным способом, что, с одной стороны, эти аксиомы так же имеют место в L₃^*, как и правила вывода. С другой стороны, всякая тавтология L₃^* является тавтологией С₂, поскольку истинностные таблицы для L₃^* совпадают с истинностными таблицами для С₂ на множестве {0,1}. Таким образом, множества тавтологий L₃^* и С₂ совпадают. Отсюда следует, что L₃ содержит С₂ и, значит, богаче последней.

На самом деле мы показали, что существует перевод (погружение) С₂ в L₃, т.е. указано отображение * языка С₂ в язык L₃:   

(р)* = р,

(А   В)* = А* →₁ В*,

( А)* = Ґ (А)*.

Тогда имеет место  следующая

Теорема. ├А в  С₂ т.т.т., когда А* в ├ L₃.

Существует два способа  для рассмотрения истинностной таблицы для →₁. В первом случае, как мы уже видели, p → ₁ q определяется как ~ Lp ٧ q и приводится аксиоматизация  L₃ с исходными связками ~, L и ٧; во втором случае, p → ₁ q определяется как М ~ р ۷ q и отмечается, что в качестве исходных связок для L₃  можно взять ~, ^, → _1, определив p → q как

        (p → ₁ q) ^(~ q → ₁ ~ р)

Приведенное выше определение p → ₁ q как р → (р → q) принадлежит Р. Вуйцицкому и позволяет легко перейти к n-значной логике Лукасевича посредством итерации “р → ” в определении p → ₁ q. Вуйцицкий исходит из более общей теоремы М. Токажа при доказательстве перевода С₂ в L₃. В работе Эпштейна отмечается, что для формулировки теоремы дедукции импликация Лукасевича → не подходит, поскольку А ^ ~ А ╞ ~ (А→ В) в L₃, но

╞ (А ^ ~ А) → ~ (А → В) в L₃.

 Но для этого  подходит связка → ₁: Если Ґ, А ├ В, то Ґ ├ А → ₁ В.

Конечно, рассмотренный  нами изоморф С₂ не является единственным в L₃. Впервые на то, что трехзначная логика может иметь С₂ в качестве изоморфа, было указано Д. А. Бочваром при построении трехзначной логики бессмысленности В₃, предназначенной для разрешения некоторых парадоксов классической математики. В импликативно-негативной форме этот изоморф выглядит следующим образом:

 

p	Ґp
1	0
½	1
0	1

→L	1	½	0
1	1	0	0
½	1	1	1
0	1	1	1

 
         Понятно, что этот изоморф С₂ содержится в L₃: p →^L q = Lp → Lq.

Н. Решер, имея ввиду, что данный изоморф содержится в В₃, строит (в другой терминологии) также изоморф С₂, содержащийся в L₃:

ךּ р = ~ М р и

  р → ^М q = Mp → Mq

Г.Малиновский приводит еще один изоморф С₂, содержащийся в L_3.

Из наличия в L₃ изоморфа С₂ следует, что можно дать аксиоматизацию L₃ на основе С₂, т.е.. берется аксиоматика С₂ в соответствующем переводе, к ней добавляются аксиомы для дополнительных связок и аксиомы, определяющие взаимоотношение первой группы аксиом со второй. Такой подход положен в основу единого метода аксиоматизации широкого класса многозначных логик, в том числе и n–значных логик Лукасевича.