Логика высказываний

Содержание

Введение...................................................................................................................2

Глава I. Классическая логика высказываний и элементы использования

строгой и релевантной импликаций в учебном процессе...................................4

§1 Проблема логического вывода.........................................................................4

§2 Классическая логика высказываний................................................................7

§3.Парадоксы классической импликации...........................................................15

§4 Способы решения парадоксов.........................................................................18

Глава II. Трёхзначная логика Лукасевича...........................................................23

§ 1. Введение в логику третьего истинностного  значения.

Аксиоматизация.....................................................................................................23

§2. Трехзначная модальная логика Лукасевича..................................................26

§3. Погружение классической логики в  Ь₃..........................................................34

§4. Импликация Лукасевича и трехзначная  интуиционистская логика...........36

Заключение.............................................................................................................41

Приложение (факультатив)...................................................................................43

Актуализация.........................................................................................................43

Содержание факультативного курса...................................................................45

Содержание занятий.............................................................................................45

Список используемой литературы:.....................................................................57

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Данная работа посвящена  рассмотрению понятия логическое следование, в связи с попыткой выражения его интуитивного представления, то есть того представления, которое сложилось за последнее время в сознании человечества. Наука новейшего времени, сохраняя глубину фундаментальных принципов, теорий и концепций прошлых периодов своей истории, достигала изощрённых технически и технологически методов и средств получения результатов. Если прибегнуть к метафорическому выражению этой мысли, то можно сказать, что поиск новых знаний происходит в шахтах большой глубины с помощью автоматизированных средств. Сама наука логика, начиная со своего возникновения и заканчивая последними десятилетиями, стремится к такому описанию понятия следование, которое бы в точности совпадало с представлением человека о нём. При таком стремлении очень часто возникают соображения по преобразованию логических операций мозга на описательный уровень. Эти соображения стремятся привести предельно, как только возможно, точно и при этом предельно просто. В связи с этим значительно упрощается смысл следования, что в свою очередь приводит к возникновению парадоксальных ситуаций, решение которых способствует лучшему пониманию понятия следование.

Актуальность темы обусловлена  тем, что если в качестве одной  из главных задач обучения ставить  задачу развития и приобретения свойств  и качеств личности, необходимых для исследовательской и творческой деятельности, то основной можно считать задачу формирования и развития умения мыслить по аналогии, умения обобщать, умения анализировать, наблюдать и делать выводы. А для того чтобы правильно реализовать данные логические понятия недостаточно простого логически последовательного мышления. В процессе решения возникающих проблем важным оказывается, как правило, всё: и последовательность, и интуиция, и эмоции, и образное видение мира, и многое другое. Эффективная тренировка мышления должна способствовать совершенствованию этих сторон.

В данной работе рассмотрена  трёхзначная логика Лукасевича, как  инструмент для решения некоторых  проблем следования, путём добавления третьего истинного значения. Причём здесь закон исключённого третьего рассматривается как парадоксальный.

Работа состоит из двух глав, содержащих 8 параграфов, заключения, списка литературы. Кроме того, в  приложении дан конспект спецкурса (факультатива) по логике для 10-11 классов.

В первой главе рассказывается о классической логике высказываний и о проблеме логического вывода. Рассматривается условное суждение, классическая импликация и парадоксы классической импликации. Далее для попытки решения возникших парадоксов вводятся строгая и релевантная импликация. Во второй главе рассматривается трёхзначная логика Лукасевича как инструмент для решения проблемы, касающейся неопределённости в будущих случайных событиях. Рассматривается связь трёхзначной логики Лукасевича и классической.

Целью данной работы является изучение понятия «логическое следование», и подбор дидактического материала для проведения факультативного курса.

Из данной цели вытекают следующие задачи:

1.          изучение теоретической литературы  по теме.

2.         разработка и апробирование факультатива Практическая значимость работы состоит в том, что рассмотренный

материал представляет большую ценность, как для развития логического мышления, так и для  повышения интереса к математике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Классическая логика высказываний и элементы использования строгой и релевантной импликаций в учебном процессе.

 

§1 Проблема логического вывода

В наши дни, когда человечество всё больше и больше начинает передавать исполнение некоторых логических функций  мозга электронно-вычислительным машинам, большое значение приобретает глубокое знание законов правильного логического мышления. Дело в том, что ЭВМ обрабатывают передаваемую им информацию, осуществляя анализ составных частей и проводя их синтез, а в конце этого сложного и многофазового процесса «умозаключают» по законам общечеловеческой логики, которые заложены в них программой. А эти программы составляет человек, для которого важнейшим условием является то, что машина, получая информацию, по данной программе должна «делать выводы» близкие по своей структуре к выводам другого человека получившего ту же информацию.

 И первостепенное  значение приобретает проблема  логического следования, рассматриваемая  в данной работе. При изучении  такого широкого понятия как  логическое следование мы рассмотрим его сначала на уровне интуиции, то есть проанализируем то понятие логического следования, которое стихийно сложилось в процессе развития человечества. Так, чисто на интуитивном уровне мы можем сделать вывод о том, что логическое  следование должно вести от истинных посылок только к истинным. Например: из высказывания «Земля вертится», не должно следовать «Земля не вертится», из утверждения «Алюминий металл» — «Алюминий стекло», из утверждения типа «натуральное число n делится на 2 » не должно следовать «то же самое число n делится на 3».

Если бы мы пришли к  таким выводам, то установление между  такими утверждениями отношение  следования, не имело бы смысла. Логический вывод превратился бы из способа  развития знаний в средство, которое  стирало бы грань между истиной и заблуждением.

  Заметим, что для понятия логического следования, которое сформировалось за несколько столетий до образования существующей ныне математической (классической) логики характерной особенностью является то, что необходима некоторая смысловая связь между утверждениями. Например: если из утверждения «2*2=4» может, следовало бы утверждение «Солнце-звезда», то такое следование всё-таки плохо согласуется с давно сформировавшимся понятием следствия. Также из утверждения «Заряд электрона Кл.» не может следовать (в понимании общечеловеческой логики) утверждение типа «Человек—часть животного мира», из утверждения «Реклама—двигатель торговли» нормальный человек не сможет сделать вывод что «Человечество обитает на планете Земля».

Итак, мы определяем понятие  логического следования как условное суждение - такое суждение, в котором отображается зависимость того или иного явления от каких-либо условий и в котором основание и следствие соединяются посредством логического союза «если…, то...». Например: «Если тело подвергнуть трению, то тело начнет нагреваться».

Основание условного  суждения (та часть суждения, которая  начинается с союза «если» и до частицы «то») даёт нам знание о  том члене отношения, от существования которого зависит существование другого члена отношения. Следствие (та часть суждения, которая стоит после частицы «то») даёт нам знание о другом члене отношения. Связка свидетельствует о наличии отношения логического следования между основанием и следствием.

Например, в условном суждении «Если разомкнуть электрическую цепь, то тока в цепи не будет». Основанием будет знание о том, что цепь разомкнули, следствием - знание о том, что в цепи тока нет; связка утверждает, что между этими двумя явлениями существует определённая связь, а именно - «если есть одно, то есть и другое».

Всего различают 3 вида условных суждений:

1. суждения, отражающие причинные связи. Например: «Если пропустить свет через призму, то он преломится»;
2. суждения, в которых знание об одном факте есть логическое основание для утверждения нашего знания о другом факте (например, «Если столбик ртути в термометре поднялся, то значит, в комнате стало теплее»);
3. суждения, в которых один факт выдвигается как условие для существования другого («Если завтра будет хорошая погода, то мы отправимся в лес»).

В первом примере пучок  света преломился по той причине, что его пропустили сквозь призму. Во втором примере мы можем утверждать о том, что в комнате стало  теплее, зная, что столбик ртути  в термометре поднялся. В третьем примере, для того чтобы мы отправились на прогулку в лес, необходимо, чтобы в тот день была хорошая погода.

Здесь резонно может  встать вопрос о существовании какой-нибудь проблемы логического следования. Разъясним  это.

Общеизвестным фактом является то, что большая часть утверждений получается путём логического вывода из других утверждений, как логическое следствие последних. Также общеизвестно, что вопрос о том, когда одни утверждения логически следуют из других, с самого начала научной деятельности людей стал одним из важных и получил разработку как основной вопрос особой науки—науки логики.

Имеется ряд обстоятельств  позволяющих говорить о проблеме логического следования. Эти обстоятельства связаны с особенностями современной логики. Именно успехи современной логики в разработке теории вывода породили проблему логического следования:

1)Современная логика, как наука, есть, прежде всего, совокупность определённого рода формальных построений, т.е. для определения того или иного понятия встаёт необходимость выведения определённых теоретических правил (формул) по которым определяется данное понятие, его свойства и взаимоотношения с другими понятиями. А такие построения в свою очередь допускают различные возможности для описания одного и того же понятия. Использование же таких возможностей для описания каких-либо сторон познавательной деятельности человека применимо, но это является не единственно возможным способом применения. Данное использование связано с совокупностью довольно сложных абстракций и допущений, что предполагает некоторое предварительное понимание тех или иных познавательных операций. Таким образом, встаёт вопрос о соответствии формул логических построений такому пониманию этих познавательных операций.

2)При создании таких  формальных построений первостепенное значение приобретают соображения удобства исследования их свойств, соображения математической простоты, изящества и т.п. Очень часто соображения, связанные, связанные с последующим применением таких систем к познавательной деятельности человека вообще не принимаются во внимание, следствием чего может стать возможность отрыва теоретически исследованных фактов от данных полученных опытным путём. По причине чего может возникать вполне очевидное несоответствие между данными фактами и формулами данных построений. Разрешение же вопросов о том, как поступать с такого рода несоответствиями требует модификации имеющихся формальных построений и конструирования новых.

 3) Наконец, мы не можем судить о применимости тех или иных построений в исследовании некоторой предметной области, если она уже не изучена в какой-то мере на описательном уровне, то есть нам необходимы хоть какие-нибудь опытные данные, на основании которых мы сможем говорить о том применимо ли наше построение логической системы к данной предметной области. К сожалению, в современной логике данная сторона дела оказывается сравнительно слабо развитой.

    Всё сказанное относится к логическому следованию в первую очередь. В самом деле, эти обстоятельства не рассматривались в старой (доматематической) логике. Они характерны лишь для современной логики. И только потому, что данные обстоятельства всегда имеют место, мы можем говорить о проблеме логического следования.

 

§2 Классическая логика высказываний.

Посмотрим, что может дать нам классическая логика для определения связи между нашим интуитивным понятием следования и описанием его в математике.

2.1.Логические связки. Истинностные таблицы.

Логика  высказываний (пропозициональная логика) является разделом современной  символической  логики, изучающим сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения.  В отличие от логики предикатов простые высказывания при этом    выступают как целостные образования,   внутренняя структура   которых   не    рассматривается, а учитывается    лишь то, с помощью каких союзов и в каком  порядке  простые высказывания   сочленяются    в  сложные. Под высказыванием понимается то, что выражается повествовательным предложением.

В естественном языке  существует много способов   образования       сложных высказываний  из простых. Мы выберем пять общеизвестных грамматических связок (союзов):  «не», «и», «или», «если..., то» и «если и только если». Процесс символизации   естественного  языка  средствами  логики  высказываний   состоит в следующем.    Элементарные  высказывания  замещаются пропозициональными переменными р, q, r, ... с индексами или без них; указанные выше грамматические связки называются логическими связками   (пропозициональными связками), которые получили  следующие  обозначения  и  названия:  ¬ (отрицание),  ^  или  &  (конъюнкция),  ٧(дизъюнкция), → (импликация), ↔ (эквиваленция);  и, наконец, используются   скобки  (,) для того, чтобы можно было по-разному группировать высказывания     и    тем    самым    определять  порядок выполнения   операций. Отрицание является одноместной связкой, а остальные четыре — двухместными. Выражением языка логики высказываний будем называть любую последовательность указанных выше символов. Некоторые из этих выражений являются правильно построенными. Такие выражения называются формулами, определение которых задастся следующими правилами, где буквы А, В... используются как метапеременные: